【北師大版】八年級數(shù)學(xué)上冊：第2章《實(shí)數(shù)》全章教學(xué)案（含答案）

第二章實(shí)數(shù)

本/章/整/體/說/課

*教學(xué)目標(biāo)

”知識寫技能N

1.了解平方根、立方根、二次根式、最簡二次根式、實(shí)數(shù)及其相

關(guān)概念;會(huì)求平方根、立方根;能進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算和簡單

的二次根式化簡，發(fā)展運(yùn)算能力.

2.結(jié)合具體情境理解估算的意義,能進(jìn)行簡單的估算,進(jìn)一步發(fā)

展數(shù)感和估算能力.

喳程W者好

經(jīng)歷數(shù)系擴(kuò)充、探求實(shí)數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算規(guī)律、借助計(jì)算器探索數(shù)

學(xué)規(guī)律等活動(dòng)過程,發(fā)展抽象概括能力，并在活動(dòng)中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生

獨(dú)立思考、合作交流的意識和能力.

*情—撲面/

能運(yùn)用實(shí)數(shù)的運(yùn)算解決簡單的實(shí)際問題,提高應(yīng)用意識,發(fā)展解

決問題的能力,從中體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

以教材分析

一、本章主要內(nèi)容及要求

1.體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號的過程,理解實(shí)數(shù).

2.掌握必要的運(yùn)算（包括估算）技能.

3.了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會(huì)用根號表示數(shù)的

平方根、算術(shù)平方根、立方根.

4.了解乘方與開方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)的平

方根,會(huì)用立方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根,會(huì)用計(jì)

算器求平方根和立方根.

5.了解無理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念,知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，

能求實(shí)數(shù)的相反數(shù)與絕對值.

6.能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍.

7.了解近似數(shù),在解決實(shí)際問題中，能用計(jì)算器進(jìn)行近似計(jì)算,并

會(huì)按問題的要求對結(jié)果取近似值.

8.了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅

限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡單四則運(yùn)算.

二、教材分析

從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)是初中階段數(shù)系擴(kuò)充的最后一個(gè)階段，中學(xué)

階段的多數(shù)問題是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的，同時(shí)實(shí)數(shù)也是后繼內(nèi)容（如

一元二次方程、函數(shù)等）學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).因此,本章學(xué)習(xí)內(nèi)容具有基礎(chǔ)性,

應(yīng)要求學(xué)生能熟練掌握有關(guān)實(shí)數(shù)的運(yùn)算,適應(yīng)后續(xù)學(xué)習(xí)的需要.學(xué)生

以前經(jīng)歷過數(shù)系的第一次擴(kuò)充，已經(jīng)積累了一些數(shù)系擴(kuò)充的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),

感受到數(shù)系擴(kuò)充是源于實(shí)際生活的需要.本章再次引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)系

擴(kuò)充的過程,感受數(shù)系擴(kuò)充的必要性.本章大致按照如下線索展開內(nèi)

容:無理數(shù)的引入一一無理數(shù)的表示一一實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及其運(yùn)算

（包括簡單的二次根式的化簡），實(shí)數(shù)的應(yīng)用貫穿于內(nèi)容的始終.

具體地,教材首先通過拼圖活動(dòng)和計(jì)算器探索活動(dòng),給出無理數(shù)

的概念;然后通過具體問題的解決，引入平方根、立方根的概念和開方

運(yùn)算.由于在實(shí)際生活和生產(chǎn)中，人們常常通過估算來求無理數(shù)的近

似值,為此教材安排了一節(jié)“估算”，介紹估算的方法，包括通過估算

比較大小、檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的合理性等.接著,教材用類比的方法引入實(shí)

數(shù)的相關(guān)概念、運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)等,最后，介紹了二次根式的概念及

其化簡和運(yùn)算.

在呈現(xiàn)具體內(nèi)容時(shí),教材關(guān)注現(xiàn)實(shí)性,力求從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，以他

們熟悉或感興趣的問題情境引入學(xué)習(xí)主題.但考慮到本章內(nèi)容的特點(diǎn),

以及隨著學(xué)生年齡的增長，他們的思維水平也在不斷提高，因此本章

在關(guān)注現(xiàn)實(shí)性的同時(shí),更加關(guān)注數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的挑戰(zhàn)性,為此提供了

許多有趣而富有數(shù)學(xué)含義的問題,如a可能是整數(shù)嗎?a可能是分?jǐn)?shù)

嗎？……讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考,進(jìn)一步提高學(xué)生的抽象思維水平.

a教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

1.經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，了解無理數(shù)的概念和意義.

2.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會(huì)用根號表示數(shù)的

平方根、立方根;能用平方運(yùn)算與立方運(yùn)算求某些數(shù)的平方根與立方

根;會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根，并能探索一些有趣的數(shù)學(xué)規(guī)律.

3.能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍,包括通過估算比較大

小,檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的合理性等.

4.了解實(shí)數(shù)的概念,會(huì)按要求對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類，了解實(shí)數(shù)的相反

數(shù)和絕對值的意義,知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對應(yīng)的關(guān)系，了

解有理數(shù)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律對實(shí)數(shù)仍然適用.

5.能對帶根號的數(shù)進(jìn)行化簡，并能利用化簡進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單

四則運(yùn)算.

6.能運(yùn)用實(shí)數(shù)的運(yùn)算解決簡單的實(shí)際問題.

【難點(diǎn)】

L無理數(shù)概念的理解及應(yīng)用.

2.解決與實(shí)數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)的思維轉(zhuǎn)化.

3.運(yùn)算性質(zhì)的掌握與應(yīng)用.

a教學(xué)建議

1.注重概念的形成過程,讓學(xué)生在概念的形成過程中，逐步理解

所學(xué)的概念.

概念是由具體到抽象、由特殊到一般，經(jīng)過分析、綜合，去掉非本

質(zhì)特征，保持本質(zhì)屬性而形成的.加強(qiáng)概念形成過程的教學(xué),對提高學(xué)

生的思維水平是很有必要的.如無理數(shù)的引入,要讓學(xué)生親身經(jīng)歷活

動(dòng),感受引入的必要性,初步認(rèn)識無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)這一意義，

在教學(xué)時(shí).，教師要鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口，與同伴進(jìn)行合作，并充

分地開展交流.再如平方根的概念,對正數(shù)有兩個(gè)平方根學(xué)生不太容

易接受,往往丟掉負(fù)的平方根,因?yàn)檫@與他們以前的運(yùn)算結(jié)果唯一的

經(jīng)驗(yàn)不符.對此,在平方根的引入時(shí),教師可多提一些具體的問題,如9

的算術(shù)平方根是3,也就是說,3的平方是9.還有其他的數(shù),它的平方

也是9嗎？……旨在引起學(xué)生的思考,讓學(xué)生從具體的例子中抽象出

初步的平方根的概念.接著讓學(xué)生去討論:一個(gè)正數(shù)有幾個(gè)平方根?0

有幾個(gè)平方根?負(fù)數(shù)呢？引導(dǎo)學(xué)生更深刻地理解平方根的概念,特別是

負(fù)數(shù)的情況,然后再通過具體的求平方根的練習(xí)，鞏固新學(xué)的概念.

2.鼓勵(lì)學(xué)生自主探索和合作交流.

本章為學(xué)生提供了許多有趣而富有數(shù)學(xué)含義的問題,教學(xué)中應(yīng)當(dāng)

讓學(xué)生進(jìn)行充分的探索和交流.如面積為2的正方形的邊長a是什么

數(shù)?教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行交流、討論與探索,從中感受無理數(shù)引入

的必要性,并體會(huì)無限不循環(huán)的過程;再如二次根式的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)，

教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷從具體問題到一般規(guī)律的探索過程,鼓勵(lì)學(xué)生借

助計(jì)算器等工具進(jìn)行探索、猜測、驗(yàn)證，并用自己的語言清楚地表達(dá).

3.注意運(yùn)用類比的方法，使學(xué)生清楚新舊知識的區(qū)別和聯(lián)系.

七年級時(shí),學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過有理數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算,本章將學(xué)

習(xí)實(shí)數(shù)的有關(guān)概念及運(yùn)算.在這些概念、運(yùn)算律、運(yùn)算法則的教學(xué)中，

應(yīng)加強(qiáng)類比教學(xué),通過新舊知識的類比、對比,認(rèn)識新舊知識的區(qū)別和

聯(lián)系，促進(jìn)知識系統(tǒng)的構(gòu)建與完善.如實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對值等概念是

完全類比有理數(shù)建立起來的，運(yùn)算律和運(yùn)算法則也是通過類比得出

的.

?課時(shí)劃分

2課

1認(rèn)識無理數(shù)

時(shí)

2課

2平方根

時(shí)

1課

3立方根

時(shí)

1課

4估算

時(shí)

1課

5用計(jì)算器開方

時(shí)

1課

6實(shí)數(shù)

時(shí)

3課

7二次根式

時(shí)

1課

回顧與思考

時(shí)

課/時(shí)/教/學(xué)/詳/案

1認(rèn)識無理數(shù)

Q教學(xué)目標(biāo)

，知識寫技髀

1.通過拼圖活動(dòng),感受無理數(shù)關(guān)系到的實(shí)際背景和引入的必要

性.

2.借助計(jì)算器探索無理數(shù),并從中體會(huì)無限逼近思想.

3.會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是不是無理數(shù).

嚙程局卻1

1.在探究的過程中使學(xué)生感受到數(shù)的擴(kuò)張,積累解決數(shù)學(xué)問題的

經(jīng)驗(yàn)和方法.

2.在探索的過程中體會(huì)無理數(shù)的產(chǎn)生過程,積累解決數(shù)學(xué)問題的

方法和經(jīng)驗(yàn).

嘴勰慝身徜研

1.通過現(xiàn)實(shí)中的實(shí)例，讓學(xué)生認(rèn)識到無理數(shù)與實(shí)際生活是緊密聯(lián)

系的，數(shù)學(xué)是來源于實(shí)踐又應(yīng)用于實(shí)踐的.

2.通過“再創(chuàng)造”的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法和樂趣.

C）教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】理解無理數(shù)的概念.

【難點(diǎn)】判斷一個(gè)數(shù)是不是無理數(shù).

第E課時(shí)

區(qū)L整體設(shè)計(jì)

$教學(xué)目標(biāo)

哪識寫技能）

感受無理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引入的必要性.

嚙程與舞*

經(jīng)歷動(dòng)手拼圖過程,發(fā)展動(dòng)手能力和探索精神.

廣做標(biāo)身.同

通過現(xiàn)實(shí)中的實(shí)例，讓學(xué)生認(rèn)識到無理數(shù)與實(shí)際生活是緊密聯(lián)系

的,數(shù)學(xué)是來源于實(shí)踐又應(yīng)用于實(shí)踐的.

C）教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】感受無理數(shù)產(chǎn)生的背景.

【難點(diǎn)】會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是不是無理數(shù).

（孑教學(xué)準(zhǔn)備

【教師準(zhǔn)備】兩張邊長為1的正方形紙片，多媒體課件.

【學(xué)生準(zhǔn)備】兩張邊長為1的正方形紙片，復(fù)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算

法則及勾股定理有關(guān)知識.

舊教學(xué)過程

E新課導(dǎo)入

導(dǎo)入一：

七年級的時(shí)候,我們學(xué)習(xí)了有理數(shù),知道了整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有

理數(shù),考慮下面的問題：

(1)一個(gè)整數(shù)的平方一定是整數(shù)嗎？

(2)一個(gè)分?jǐn)?shù)的平方一定是分?jǐn)?shù)嗎？

［設(shè)計(jì)意怪口做必要的知識回顧,為第二環(huán)節(jié)埋下伏筆，便于后

續(xù)問題的說理,為后續(xù)環(huán)節(jié)的進(jìn)行起了很好的鋪墊作用.

導(dǎo)入二：

一個(gè)等腰直角三角形的直角邊長為1,那么它的斜邊長等于多少?

利用勾股定理計(jì)算一下.

【總結(jié)】我們在小學(xué)學(xué)了非負(fù)數(shù),在七年級發(fā)現(xiàn)數(shù)不夠用了，

引入了負(fù)數(shù)，即把小學(xué)學(xué)過的正數(shù)、零擴(kuò)充到有理數(shù)的范圍，有理數(shù)包

括整數(shù)和分?jǐn)?shù),那么有理數(shù)范圍是否能滿足我們實(shí)際生活的需要呢？

臣二薪知構(gòu)建

探究活動(dòng)

［過渡語］我們研究一下下面的問題.

1.已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2,算一算斜

邊長x的平方，并提出問題:x是整數(shù)（或分?jǐn)?shù)）嗎？

2.把邊長為1的兩個(gè)小正方形,通過翦、拼,設(shè)法拼成一個(gè)大正方

形，你會(huì)嗎？

出示教材P21圖2-1.

11

11

圖2-1是兩個(gè)邊長為1的小正方形,剪一剪、拼一拼,設(shè)法得到

一個(gè)大的正方形.

問題1

拼成后的正方形是什么樣的呢?

問題2

拼成后的大正方形面積是多少?

問題3

若新的大正方形邊長為a,3=2,貝IJ:①a可能是整數(shù)嗎?②a可能是

分?jǐn)?shù)嗎？

【總結(jié)】沒有兩個(gè)相等的整數(shù)的積等于2,也沒有兩個(gè)相等的

分?jǐn)?shù)的積等于2,因此a不可能是有理數(shù).

［設(shè)計(jì)意圖］選取客觀存在的“無理數(shù)”實(shí)例，讓學(xué)生深刻感受

“數(shù)不夠用了”.巧設(shè)問題背景,順利引入本節(jié)課題.

［過渡語］前面的問題中，我們都不能用有理數(shù)來表示,再看下

面的問題.

思路一

(1)如圖所示，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？

⑵設(shè)該正方形的邊長為8,6滿足什么條件?

(3)6是有理數(shù)嗎？

【問題解答】

(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜邊的平方為5,所以正方形

的面積是5.

(2)4=5.

(3)沒有一個(gè)整數(shù)或分?jǐn)?shù)的平方為5,也就是沒有一個(gè)有理數(shù)的平

方為5,所以。不是有理數(shù).

思路二

在下列正方形網(wǎng)格中，先找出長度為有理數(shù)的線段,再找出長度

不是有理數(shù)的線段.

【問題解答】構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理可得,長度為有理

數(shù)的線段有AB,EF.長度不是有理數(shù)的線段有CD,GH,MN.

［設(shè)計(jì)意圖］創(chuàng)設(shè)從感性到理性的認(rèn)知過程,讓學(xué)生充分感受

“新數(shù)”(無理數(shù))的存在，從而激發(fā)學(xué)習(xí)新知的興趣，讓學(xué)生感受到

無理數(shù)產(chǎn)生的過程,確定存在一種數(shù)與以往學(xué)過的數(shù)不同，了解學(xué)習(xí)

“新數(shù)”的必要性.

［過渡語］我們所學(xué)的有理數(shù)已經(jīng)不夠用了，需要再擴(kuò)大數(shù)的范

圍，先在數(shù)軸中感受一下.

［知識拓展］正方形網(wǎng)格中的線段既可以表示有理數(shù),也可以表

示有理數(shù)之外的數(shù).數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示有理數(shù),也可以表示有理數(shù)

之外的數(shù).比如正方形OCBA的對角線長度就不是有理數(shù),數(shù)軸上的點(diǎn)

〃表示的就是這個(gè)非有理數(shù).網(wǎng)格上長方形（包括正方形）的對角線的

長度都不一定是有理數(shù).

CB

3-2-1O0ALP2345

叵課堂小結(jié)

通過生活中的實(shí)例，證實(shí)了確實(shí)存在不是有理數(shù)的數(shù).

w檢測反饋

1.在直角三角形中兩個(gè)直角邊長分別為2和3,則斜邊的長

（）

A.是有理數(shù)B.不是有理數(shù)

C.不確定D.4

答案:B

2.下列面積的正方形，邊長不是有理數(shù)的是（）

A.16B.25

C.2D.4

答案:C

3.在右面的正方形網(wǎng)格中，按照要求連接格點(diǎn)的線段:長度是有

理數(shù)的線段為,長度不是有理數(shù)的線段

答案:略

區(qū)板書設(shè)計(jì)

第1課時(shí)

L拼接正方形.

2.做一做.

3.a"存在，但不是有理數(shù).

屋布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第21頁隨堂練習(xí)及教材第22頁習(xí)題2.1第1題.

【選做題】

教材第22頁習(xí)題2.1第2題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,則網(wǎng)格上的△/a1中，

邊長不是有理數(shù)的線段有,在圖中再畫一條邊長不是有理數(shù)

的線段.B

【能力提升】

2.在任意兩個(gè)有理數(shù)之間都有無數(shù)個(gè)有理數(shù).假設(shè)a,b是兩個(gè)有理

數(shù),且a<b,在a,b兩數(shù)之間插入一個(gè)數(shù)為.

【拓展探究】

3.把下列小數(shù)化成分?jǐn)?shù).

(1)0.6;(2)0.;(3)0..

4.你會(huì)在下面的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形面積為1)中畫出面積為

10的正方形嗎?試一試.

【答案與解析】

l.AB,BC,AC略(解析:力必=42+后17,^=22+3=13,A^=22+42=20.)

2.(解析:答案不唯一,如插入a和b正中間的數(shù).)

3.解析：(1)0.6=;(2)設(shè)0.=x,貝ij10A=7.,/.9A=7,從而產(chǎn)；(3)設(shè)0.=x,

則100戶34.,，99尸34,從而廣.

解：(1)0.6=.(2)0..(3)0..

4.略

區(qū)教學(xué)反思

電成功之處

大量事實(shí)證明，與生活貼得越近的東西就越容易引起學(xué)生的濃厚

興趣,更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.為此,本課時(shí)通過拼圖游戲引發(fā)學(xué)

生學(xué)習(xí)的欲望,把課程內(nèi)容通過學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)呈現(xiàn)出來,然后進(jìn)行

大膽質(zhì)疑.

不足之處

在教學(xué)過程中，沒有刻意安排一些環(huán)節(jié),幫助理解能力差的學(xué)生

加深對“新數(shù)”的理解.

4,再教設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)更多的實(shí)例讓理解能力差的學(xué)生較好地理解“新數(shù)”.為進(jìn)

一步學(xué)習(xí)“新數(shù)”，即第二課時(shí)的教學(xué)埋下伏筆.

國教材習(xí)題解答

隨堂練習(xí)（教材第21頁）

解：因?yàn)榈冗吶切沃屑舆吷系母咂椒直?所以廬22-12=3,所以力不

可能是整數(shù),也不可能是分?jǐn)?shù).

習(xí)題2.1（教材第22頁）

1.解:答案不唯一.如圖⑴所示,線段AB,AD,AE,DE,BD,比的長度都

是有理數(shù);線段AC,CE,BE的長度都不是有理數(shù).

2.解:答案不唯一.如圖⑵所示的是幾個(gè)符合要求的直角三角形.

舊備課資源

?，經(jīng)典例題

陶一個(gè)正方形木塊的面積為8平方厘米，那么它的邊長滿足

什么條件?可能是整數(shù)嗎?可能是分?jǐn)?shù)嗎？

解:它的邊長的平方為8,沒有整數(shù)的平方為8,所以邊長不可能

為整數(shù),也沒有一個(gè)分?jǐn)?shù)的平方為8,所以邊長不可能為分?jǐn)?shù).

第②課時(shí)

區(qū)L整體設(shè)寸

教學(xué)目標(biāo)

板也只寫技能

掌握無理數(shù)的概念;能用所學(xué)定義正確判斷所給數(shù)的屬性.

喳程W者好

借助計(jì)算器探索無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，從中體會(huì)無限逼近的

思想.

嘴藤蔻身一1殖

在掌握估算方法的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和估算能力.

q）教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】能用所學(xué)定義正確判斷所給數(shù)的屬性.

【難點(diǎn)】無理數(shù)概念的建立.

《「教學(xué)準(zhǔn)備

【教師準(zhǔn)備】計(jì)算器、立方體、多媒體課件.

【學(xué)生準(zhǔn)備】計(jì)算器、復(fù)習(xí)有理數(shù)的分類.

舊教學(xué)過程

E新課導(dǎo)入

導(dǎo)入：

前面我們學(xué)習(xí)了有理數(shù),有理數(shù)是如何分類的呢？

1.有理數(shù)是如何分類的？

【問題解決】

有理數(shù)

2.除上面的數(shù)以外,我們還學(xué)習(xí)過哪些不同的數(shù)？如圓周率

n,0.020020002…上節(jié)課又了解到一些數(shù),如a2=2,Z?2=5中的a,1不是

整數(shù),能不能轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)呢?那么它們究竟是什么數(shù)呢?本節(jié)課我們就

來揭示它們的真面目.

［設(shè)計(jì)意圖］通過這些問題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有理數(shù)不夠用了，存在既

不是整數(shù),也不是分?jǐn)?shù)的數(shù),激發(fā)學(xué)生的求知欲,去揭示它們的真面

目.

國通知構(gòu)建

［過渡語］上一節(jié)我們已經(jīng)感受到數(shù)不夠用了，下面我們繼續(xù)探

索用什么數(shù)來表示.

一、數(shù)的小數(shù)表示

面積為2的正方形的邊長a究竟是多少呢？

(1)如圖所示,三個(gè)正方形的邊長之間有怎樣的大小關(guān)系？說說你

的理由.

(2)邊長a的整數(shù)部分是幾?十分位是幾?百分位呢?千分位

呢？……借助計(jì)算器進(jìn)行探索.

(3)小明將他的探索過程整理如下,你的結(jié)果呢？

邊長a面積S

l<a<21<S<4

1.4<a<1.5L96〈S<2.25

1.41<a<1,421.988K5K2.0164

1.414〈水1.41.999396<S<2.002

15225

1.4142〈水L1.99996164<5'<2.0

41430024449

【思考】a的范圍在哪兩個(gè)數(shù)之間?左面的邊長中，前面的數(shù)值

和后面的數(shù)值相比,哪個(gè)更接近正方形的實(shí)際邊長？

【歸納總結(jié)】a是介于1和2之間的一個(gè)數(shù),既不是整數(shù),也不

是分?jǐn)?shù),則a一定不是有理數(shù).如果寫成小數(shù)形式,它是有限小數(shù)嗎？

事實(shí)上，a=l.41421356---,它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).

【做一做】（1）請大家用上面的方法估計(jì)面積為5的正方形的

邊長6的值（結(jié)果精確到0.1）,并用計(jì)算器驗(yàn)證你的估計(jì).

（2）如果結(jié)果精確到0.01呢？

（提示:精確到0.1,6處2.2,精確到0.01,^2.24）

同樣,對于體積為2的正方體,借用計(jì)算器,可以得到它的棱長

C

c=l.25992105…，它也是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù).

［設(shè)計(jì)意圖］讓學(xué)生有充分的時(shí)間進(jìn)行思考和交流,逐漸縮小范

圍，借助計(jì)算器探索出

a=l.41421356-,b=2.2360679-,c=l.25992105…是無限不循環(huán)小數(shù)

的過程，體會(huì)無限逼近的思想.

二、有理數(shù)的小數(shù)表示，明確無理數(shù)的概念

思路一

請同學(xué)們以學(xué)習(xí)小組的形式活動(dòng).

【議一議】把下列各數(shù)表示成小數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

J3，，，-，?

【答案】3=3.0,=0.8,=0.,-=-0.1,=0..

分?jǐn)?shù)化成小數(shù),最終此小數(shù)的形式有哪幾種情況？

思路二

回憶小學(xué)我們學(xué)過的計(jì)算圓的周長和面積的時(shí)候,用到的K取多

少？（3.14）它是確切的值嗎？（不是,是近似值）那口是有理數(shù)嗎？（不是）

并且,我們還知道,利用計(jì)算機(jī),現(xiàn)在n已經(jīng)算到幾億分位，但是還是

沒有算出來.當(dāng)然，K也不能化為分?jǐn)?shù)的形式,所以n不是有理數(shù),那

n是什么數(shù)呢？

【探究結(jié)論】分?jǐn)?shù)只能化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，即任何

有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).

【強(qiáng)調(diào)】像

0.585885888588885…,1.41421356-,-2.2360679…等這些數(shù)的小數(shù)

位數(shù)都是無限的，并且不是循環(huán)的,它們都是無限不循環(huán)小數(shù).

我們把無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).（圓周率n=3.14159265…也

是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，故皿是無理數(shù)）

【想一想】你能找到其他的無理數(shù)嗎？

［設(shè)計(jì)意圖］通過學(xué)生的活動(dòng)與探究,得出無理數(shù)的概念,通過

師生互動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)，既培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考與小組合作討論的能力，

又感受到無理數(shù)存在的必要性,建立了無理數(shù)的概念.

三、例題講解

也下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)?哪些是無理數(shù)？

3.14,0,,0.1010001000001…（相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次

加2）.

解:有理數(shù)有：3.14,-,0.;

無理數(shù)有：0.1010001000001…（相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次加

2）.

【強(qiáng)調(diào)】1.無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),有理數(shù)是有限小數(shù)或無

限循環(huán)小數(shù).

2.任何一個(gè)有理數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式(qWO,p,q為整數(shù)且互

質(zhì))，而無理數(shù)不能.

［設(shè)計(jì)意圖］通過例題的講解，讓學(xué)生充分理解無理數(shù)、有理數(shù)

的概念、區(qū)別，感受數(shù)的分類.

［知識拓展］確定系=d(020)中正數(shù)x的近似值的方法：

1.確定正數(shù)x的整數(shù)部分.

根據(jù)平方的定義,把x夾在兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)之間，確定其整數(shù)

部分.例如:求f=5中的正數(shù)x的整數(shù)部分，因?yàn)?2<5<32,即22<昌32,

所以2〈水3,因此x的整數(shù)部分為2.

2.確定x的小數(shù)部分十分位上的數(shù)字.

(1)將這兩個(gè)整數(shù)平方和的平均數(shù)與a比較,預(yù)測十分位上數(shù)字

的取值范圍，如兩個(gè)整數(shù)2和3的平方和的平均數(shù)為=6.5>5,所以x的

十分位上的數(shù)字一定比3小,不妨設(shè)x%2.2.

(2)設(shè)誤差為人女必為一個(gè)純小數(shù),且A可能為負(fù)數(shù))，則尸2.2+4,

所以所2+公2=5,所以4.84+4.4人氏5,因?yàn)锳是小數(shù),所以已很小，把

它舍去，所以4.84+4.4公5,所以40.036,所以戶2.2+4

2.2+0.036=2.236.

實(shí)際估算中，整數(shù)部分的數(shù)字容易估計(jì),十分位上的數(shù)字也可以

采用試驗(yàn)的方法進(jìn)行估計(jì)，即2.代4.41,2.22=4.84,2.32=5,29,因?yàn)?/p>

4.84<5<5.29,所以2.22</<2,32,所以2.2〈水2.3,所以十分位上的數(shù)

字為2.

叵課堂小結(jié)

數(shù)

區(qū)檢測反饋

1.下列說法中正確的是（）

A.無限小數(shù)都是無理數(shù)

B.有限小數(shù)是無理數(shù)

C.無理數(shù)都是無限小數(shù)

D.有理數(shù)是有限小數(shù)

答案:C

2.以下各正方形的邊長是無理數(shù)的是（）

A.面積為25的正方形

B.面積為的正方形

C.面積為8的正方形

D.面積為1.44的正方形

解析:52=25,,(1.2)2=1.44.故選C.

3.一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長分別是3和5,則斜邊長a是

有理數(shù)嗎？3

解：由勾股定理得：才=32+5；即#=34.因?yàn)椴淮嬖谟欣頂?shù)的平方

等于34,所以a不是有理數(shù).

4.已知一,5,-1.,Ji,3.1416,,0,42,(-1產(chǎn),-L.4242242224…(相

鄰兩個(gè)4之間2的個(gè)數(shù)逐次加1).

(1)寫出所有有理數(shù)；

(2)寫出所有無理數(shù).

解：(1)有理數(shù)：一,5,-1.,3.1416,,ON?,(-I)?".

(2)無理數(shù):4242242224…(相鄰兩個(gè)4之間2的個(gè)數(shù)逐次

加1).

恒板書設(shè)計(jì)

第2課時(shí)

1?數(shù)的小數(shù)表示.

2.有理數(shù)的小數(shù)表示，明確無理數(shù)的概念.

3.例題講解.

度布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第24頁隨堂練習(xí).

【選做題】

教材第25頁習(xí)題2.2第2,4題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

1.面積為3的正方形的邊長為x,則x()

A.1<^<2B.2<^<3

C.3<K4D.4</5

2.一個(gè)正三角形的邊長是4,高為h,則h是

A.整數(shù)B.分?jǐn)?shù)

C.有限小數(shù)D.無理數(shù)

【能力提升】

3.在直角三角形中，若兩條直角邊的長分別是2和3,則斜邊長的平方

是,則斜邊長是數(shù).

【拓展探究】

4.設(shè)半徑為a的圓的面積為20n.

⑴a是有理數(shù)嗎?說說你的理由；

(2)估計(jì)a的值(精確到十分位,并利用計(jì)算器驗(yàn)證你的估計(jì));

(3)如果精確到百分位呢?

5.在某項(xiàng)工程中，需要一塊面積為3平方米的正方形鋼板.應(yīng)該如何

劃線、下料呢?要解決這個(gè)問題,必須首先求出正方形的邊長,那么,

請你算一算:

⑴如果精確到十分位,正方形的邊長是多少?

⑵如果精確到百分位呢?

【答案與解析】

1-（解析：12=1,22=4.）

2.D（解析：由勾股定理,得力2=42-22=12,沒有整數(shù)或分?jǐn)?shù)的平方等于12,

所以力為無理數(shù).）

3.13無理（解析：由勾股定理，可得斜邊的平方為13,沒有整數(shù)或分

數(shù)的平方為13,所以是無理數(shù).）

4.解：⑴???'才=20Ji，，於20.a不是有理數(shù)，因?yàn)閍既不是整數(shù),也

不是分?jǐn)?shù)，而是無限不循環(huán)小數(shù).（2）5.（3）a、4.47.

5.解析：L72=2.89,1.73=2.9929.

解：（1）1.7米.（2）1.73米.

區(qū)L教學(xué)反思

色成功之處

本節(jié)課借助尋找正方形邊長這一“現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例”，讓學(xué)生

通過估算、借助計(jì)算器進(jìn)行探索、討論等途徑，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣,

體會(huì)無限逼近的數(shù)學(xué)思想,得到無理數(shù)的概念.

（電不足之處

對基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生和班級,這一探索過程所需時(shí)間較長,會(huì)影

響后面環(huán)節(jié)的進(jìn)行.

q再教設(shè)計(jì)

知識分類整理環(huán)節(jié),學(xué)生自主整理和接受會(huì)有一定困難,若學(xué)生

學(xué)習(xí)例題后再進(jìn)行知識分類整理可能會(huì)更好.

感知過程是學(xué)生理解無理數(shù)這一抽象概念所必需的，所以絕對不

能淡化.

國教材習(xí)題解答

隨堂練習(xí)（教材第24頁）

解:有理數(shù)有:0.4583,3.,-18.無理數(shù)有:一兀.

習(xí)題2.2（教材第25頁）

1.解：―,3.9,-234.10101010…（相令B兩個(gè)1之間有1個(gè)0）是有理

數(shù),0.12345678910111213-

（小數(shù)部分由相繼的正整數(shù)組成）是無理數(shù).

2.提示：⑴x不是有理數(shù).（2）x-3.2.（3）43.16.

3.（1）X（2）（3）X（4）X

4.解:,n-1,3.4141141114…（相鄰兩個(gè)4之間1的個(gè)數(shù)逐次加1）等,

答案不唯一.

一備課資源

Q教學(xué)建議

由于本節(jié)的重點(diǎn)之一是讓學(xué)生經(jīng)歷借助計(jì)算器探索無理數(shù)是無

限不循環(huán)小數(shù)的過程，因此,要重視教材創(chuàng)設(shè)（或相同類型）的問題,針

對內(nèi)容應(yīng)該花較多的時(shí)間，教師應(yīng)積極引導(dǎo)，讓學(xué)生有充足的時(shí)間借

助計(jì)算器進(jìn)行思考和交流,循序漸進(jìn)地縮小范圍，體會(huì)無限逼近的思

想.

本節(jié)滲透了用有理數(shù)近似地表示無理數(shù)和用有理數(shù)逼近無理數(shù)

的數(shù)學(xué)思想，通過探索,學(xué)生容易理解“無限”，但對“不循環(huán)”一般

不會(huì)有清楚的認(rèn)識，只有逐步滲透理解，教學(xué)中不必多說.“逼近”思

想可以借用中央電視臺的“幸運(yùn)52”的猜商品的價(jià)格游戲進(jìn)行解釋.

為進(jìn)一步讓學(xué)生理解無理數(shù)的概念,應(yīng)強(qiáng)調(diào)“無限不循環(huán)小數(shù)”

與“無限循環(huán)小數(shù)”的聯(lián)系和區(qū)別，前者不能化為分?jǐn)?shù),后者可以化為

分?jǐn)?shù)，但如何化成分?jǐn)?shù),教師不必深入講解.

鼓勵(lì)學(xué)生自學(xué)教材中的“讀一讀”，了解無理數(shù)產(chǎn)生的歷史背景

和人類的科學(xué)精神,特別是對學(xué)有余力的學(xué)生,在教師引導(dǎo)下,可閱讀

“邊長為1的正方形的對角線的長是無理數(shù)”的嚴(yán)格證明.

經(jīng)典例題

陶一根長為5米的電線桿豎立于地面，為

保證它的安全,要用三根鋼絲把它固定,要求每根鋼絲一頭拉著

電線桿的最上端,一頭系在離電線桿3米遠(yuǎn)的地面木樁上,則每根鋼

絲的長要滿足什么條件?它是有理數(shù)嗎?大概是多長？

（解析）每根鋼絲的長要滿足它的平方等于52+32,它不是有理

數(shù),大概是5.8米.

解：由勾股定理,得鋼絲長的平方等于52+32=34,但是找不到一個(gè)

整數(shù)的平方是34,也找不到一個(gè)分?jǐn)?shù)的平方是34,所以,它不是有理

數(shù),5.82=33.64,接近于34,所以大概為5.8米.

2平方根

教學(xué)目標(biāo)

■知:一技能1

1.了解數(shù)的算術(shù)平方根、平方根的概念,會(huì)用根號表示一個(gè)數(shù)的

算術(shù)平方根和平方根.

2.了解開方與平方是互逆運(yùn)算,會(huì)利用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的

算術(shù)平方根和平方根.

噎程期好

通過教學(xué)過程的參與，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,提高數(shù)學(xué)表達(dá)和

運(yùn)算能力.

嘴感態(tài)度身.如

1.通過與“加法的逆運(yùn)算是減法、乘法的逆運(yùn)算

是除法”作類比,讓學(xué)生體會(huì)平方和開方互為逆運(yùn)算的同時(shí)，領(lǐng)會(huì)

數(shù)學(xué)中處處蘊(yùn)含著辯證法.

2.使學(xué)生通過開方運(yùn)算的學(xué)習(xí)，解決實(shí)際生活中的一些具體問

題.

0教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

1.數(shù)的算術(shù)平方根、平方根的概念,會(huì)用根號表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)

平方根和平方根.

2.()2=a(aN0)的得出和應(yīng)用.

【難點(diǎn)】

1.利用這個(gè)互逆的關(guān)系求某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根和平方根.

2.()2二a(020)和二|a|的區(qū)別和聯(lián)系.

第①課時(shí)

區(qū)L整體設(shè)寸

?教學(xué)目標(biāo)

，知識寫技能?

1.了解數(shù)的算術(shù)平方根的概念,會(huì)用根號表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方

根.

2.了解一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根與平方是互逆的運(yùn)算,會(huì)利用這個(gè)

互逆的關(guān)系求某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.

.過程寫方

在合作交流等活動(dòng)中，培養(yǎng)合作精神和創(chuàng)新精神.

.情感態(tài)度身.顫"

積極參與教學(xué)活動(dòng),發(fā)展對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲.

C)教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】算術(shù)平方根的概念、性質(zhì)，會(huì)用根號表示一個(gè)數(shù)的算

術(shù)平方根.

［難點(diǎn)］對算術(shù)平方根的概念和性質(zhì)的理解.

(jJ教學(xué)準(zhǔn)備

【教師準(zhǔn)備】掛圖、多媒體課件.

【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)無理數(shù)的概念.

舊教學(xué)過程

E新課導(dǎo)入

［過渡語］知道無理數(shù)的存在,上節(jié)給出的問題我們需要解決

了.

導(dǎo)入一：

上節(jié)課學(xué)習(xí)了無理數(shù)，了解到無理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引入的必

要性,掌握了無理數(shù)的概念,知道有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別是:有理數(shù)是

有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù),無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).比如上一節(jié)課

我們做過的：由兩個(gè)邊長為1的小正方形,通過剪一剪，拼一拼,得到

一個(gè)邊長為a的大的正方形,那么有才=2,a=,2是有理數(shù),而

a是無理數(shù).在前面我們學(xué)過:若肛a,則a叫x的平方,反過來x叫a

的什么呢?本節(jié)課我們一起來學(xué)

習(xí).1

導(dǎo)入二：

前面我們學(xué)習(xí)了勾股定理,請大家根據(jù)勾股定理,結(jié)合圖形完成

填

空:/=,y-,z-,w-,

［設(shè)計(jì)意圖］導(dǎo)入一和導(dǎo)入二都是帶著問題進(jìn)入到這節(jié)課的學(xué)

習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的必要性.能表示

x=2,y=3,z2=4,/=5;能求得2=2,但不能求得x,y,獷的值.

【說明】導(dǎo)入一是由上節(jié)課”數(shù)怎么又不夠用了”的例子，起

到了承前啟后的作用，導(dǎo)入二是由學(xué)生學(xué)習(xí)了第一章“勾股定理”后

的應(yīng)用，說明學(xué)習(xí)這節(jié)課的必要性.相對而言，建議選用導(dǎo)入二.

場新知構(gòu)建

［過渡語］有上一章的勾股定理,我們得到/=2,/=3,/=4,獷=5,

如何求出x,y,z,獷是現(xiàn)在所需要考慮的.

一、情境引出新概念

思路一

/=2,y=3,Z2=4,步=5,已知塞和指數(shù),求底數(shù)x,y,z,%你能求出來

嗎？

思路二

在七年級學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘方時(shí)一,知道自然數(shù)的平方，比如

12=1,22=4,32=9,…，但是，你能找到哪個(gè)數(shù)的平方是2嗎?哪個(gè)數(shù)的平

方是3嗎?哪個(gè)數(shù)的平方是5嗎?那你能估計(jì)一下嗎？

［設(shè)計(jì)意圖］讓學(xué)生體驗(yàn)概念形成過程,感受到概念引入的必要

性.學(xué)生可以估算出x,y是1到2之間的數(shù)，獷是2到3之間的數(shù)，但

無法表示其y,以從而激發(fā)學(xué)生繼續(xù)往下學(xué)習(xí)的興趣,進(jìn)而引入新的運(yùn)

算一一開方.

【說明】無論是導(dǎo)入一，還是導(dǎo)入二，都會(huì)激發(fā)學(xué)生繼續(xù)往下學(xué)

習(xí)的興趣,都可以提出同樣的問題“已知事和指數(shù),求底數(shù)，你能求出

來嗎？”

二、在上面思考的基礎(chǔ)上，明晰概念

一般地,如果一個(gè)正數(shù)X的平方等于a,即標(biāo)a,那么這個(gè)正數(shù)X

就叫做a的算術(shù)平方根,記作,讀作“根號a”.

特別地,我們規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0,即=0.

［設(shè)計(jì)意圖］對算術(shù)平方根概念的認(rèn)識，了解算術(shù)平方根的概念,

知道平方運(yùn)算和求正數(shù)的算術(shù)平方根是互逆的.

三、例題講解

例1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

(1)900;(2)1;(3);(4)14.

〔解析〕體驗(yàn)求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的過程,利用平方運(yùn)算

求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的方法,讓學(xué)生明白有的正數(shù)的算術(shù)平方根

可以開出來,有的正數(shù)的算術(shù)平方根只能用根號表示,如14的算術(shù)平

方根是.

解：(1)因?yàn)?02=900,所以900的算術(shù)平方根是30,即=30.

⑵因?yàn)?、1,所以1的算術(shù)平方根是1,即=1.

⑶因?yàn)椋缘乃阈g(shù)平方根是，即.

(4)14的算術(shù)平方根是.

［設(shè)計(jì)意圖］通過對例題的解答,加深學(xué)生對算術(shù)平方根概念的

理解,會(huì)求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根,更進(jìn)一步了解算術(shù)平方根的性質(zhì)：

一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù),0的算術(shù)平方根是0,負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平

方根?體驗(yàn)求一個(gè)正數(shù)算術(shù)平方根的過程,并為下面的實(shí)驗(yàn)應(yīng)用奠定

良好的基礎(chǔ).

例2自由下落物體下落的距離s(m)與下落時(shí)間t(s)的關(guān)系為

s-4.912.有一鐵球從19.6m高的建筑物上自由下落,到達(dá)地面需要多

長時(shí)間？

(解析〕用算術(shù)平方根的知識解決實(shí)際問題.利用等式的性質(zhì)

將爐4.9t2進(jìn)行變形,再用求算術(shù)平方根的方法求得題目的解.

解：將戶19.6代入公式廣4.91，

得」4,所以i==2(s).

即鐵球到達(dá)地面需要2s.

【說明】強(qiáng)調(diào)實(shí)際問題Z是正數(shù)，用的是算術(shù)平方根，此題是為

得出下面的結(jié)論做鋪墊的.觀察我們剛才求出的算術(shù)平方根有什么特

占

［設(shè)計(jì)意圖］讓學(xué)生認(rèn)識到算術(shù)平方根定義中的兩層含義：中的

a是一個(gè)非負(fù)數(shù),a的算術(shù)平方根也是一個(gè)非負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方

根.這也是算術(shù)平方根的性質(zhì)一一雙重非負(fù)性.再一次深入地認(rèn)識算

術(shù)平方根的概念，明確只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根.

［知識拓展］算術(shù)平方根有如下性質(zhì)：

(1)一個(gè)正數(shù)a有一個(gè)算術(shù)平方根,就是.

(2)0有一個(gè)算術(shù)平方根,就是①

(3)負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.

(4)只要有意義,就表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即20.

(5)中的a是一個(gè)非負(fù)數(shù),即a^Q.

叵課堂小結(jié)

1.算術(shù)平方根的概念,式子中的雙重非負(fù)性:一是a，0,二是20.

2.算術(shù)平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù);0的算

術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.

3.求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根的運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆的運(yùn)算,利

用這個(gè)互逆運(yùn)算關(guān)系求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.

w檢測反饋

1.若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是,那么這個(gè)數(shù)是.

答案：7

2.的算術(shù)平方根是.

答案：

3.的算術(shù)平方根是.

答案：

4.若=2,貝I"研2)2=.

解析:本題考查算術(shù)平方根的定義,掌握表示方法和實(shí)質(zhì)是關(guān)鍵.

故填16.

5.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

36,,15,0.64,10:,.

解：=6,,,=0.8,=10；,=1.

6.如圖所示,從帳篷支撐竿48的頂部A向地面拉一根繩子/C固

定帳篷.若繩子的長度為5.5米，地面固定點(diǎn)。到帳篷支撐竿底部〃的

距離是4.5米，則帳篷支撐竿的高是多少米？BC

解：由題意得4>5.5米，給4.5米，N4吐90°,在中,

由勾股定理得A爐（米）.所以帳篷支撐竿的高是米.

區(qū)板書設(shè)計(jì)

第1課時(shí)

1.情境引出新概念.

2.在上面思考的基礎(chǔ)上，明晰概念.

3.例題講解.

叵布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第27頁隨堂練習(xí)第1,3題.

【選做題】

教材第27頁習(xí)題2.3第3,4題.

二、課后作業(yè)

【基礎(chǔ)鞏固】

L填空.

(1)81的算術(shù)平方根是.

(2)0.1是的算術(shù)平方根.

⑶一個(gè)正方形的面積變?yōu)樵瓉淼?倍,它的邊長變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍.

(4)一個(gè)正方形的面積變?yōu)樵瓉淼?倍,它的邊長變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍.

(5)一個(gè)圓的面積變?yōu)樵瓉淼摹ū叮陌霃阶優(yōu)樵瓉淼摹?/p>

倍.

2.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

1.96106121

【能力提升】

3.的算術(shù)平方根,若5是的算術(shù)平方根,則

<3=.

4.一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根等于它本身的2倍,這個(gè)數(shù)是

5.x為何值時(shí)，有意義?

【拓展探究】

6.已知一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是a,則該自然數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)的

算術(shù)平方根是（）

A.a+1B.

C.a2+lD.

7.求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根,有些數(shù)可以直接求得,如,有些數(shù)則不能

直接求得,如，但可以通過計(jì)算器求得.還有一種方法可以通過一組數(shù)

的內(nèi)在聯(lián)系,運(yùn)用規(guī)律求得,請同學(xué)們觀察下表:

0.10.00116016000

n16

6600

40.40.0440400

⑴表中所給的信息中，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（請將規(guī)律用文字表達(dá)出

來）

⑵運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,探究下列問題.

已知q1.435,求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:①0.0206;②206;③20600.

【答案與解析】

1.（1）9（2）0.01（3）2（4）3（5）（解析:設(shè)現(xiàn)在圓的半徑為￡原

來圓的半徑為r,則n/,所以廬r.）

2.解:=L4,,=11.

3.224（解析：=4,=2;52=a+l,a=24.）

4.0或4（解析：設(shè)這個(gè)數(shù)為x,則=2司所以A=4/,解得A=0或尸4.）

5.解：由題意得-20,所以xWO.

6.D（解析:一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是a,這個(gè)自然數(shù)是才,故該自然

數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)是/+1,其算術(shù)平方根是.）

7.解析：（1）從被開方數(shù)和算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)位數(shù)考慮解

答.（2）根據(jù)⑴中的規(guī)律解答即可.解：（1）被開方數(shù)擴(kuò)大或縮小102n

倍,非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根就相應(yīng)地?cái)U(kuò)大或縮小10〃倍;或者說成被開方

數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)2〃位,算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向左或向

右移動(dòng)n位.（2）①=0.1435.②=14.35.③=143.5.

舊教學(xué)反思

成功之處

本節(jié)課通過勾股定理和七年級學(xué)過的有理數(shù)的平方引入，在學(xué)生

已有知識的基礎(chǔ)上，引入新概念、算術(shù)平方根的本質(zhì)特征.通過練習(xí)，

可以使學(xué)生掌握和理解.

(和不足之處

由于學(xué)生是第一次接觸算術(shù)平方根,時(shí)間短,可

能有的學(xué)生不能真正地理解和掌握,或者不能掌握實(shí)質(zhì)，給以后

的學(xué)習(xí)帶來很多麻煩.

?再教設(shè)計(jì)

在教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況,在學(xué)有余力的情況下,可以對的

雙重非負(fù)性的知識進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?

國教材習(xí)題解答

隨堂練習(xí)(教材第27頁)

［解:=6,,,=0.9,.

2.解解比.

3.解：/斤=4.8(m).

習(xí)題2.3(教材第27頁)

1.解：(1)=7.(2).(3)=0.3.(4)-=-8.

2.解:它們的算術(shù)平方根依次是11,,1.4,103.

3.解:每塊地磚的邊長是=0.3(m).

4.解:設(shè)原正方形的邊長為a,變化后的正方形的邊長為x.①

所以產(chǎn)2a(負(fù)值舍)，故邊長變?yōu)樵瓉淼?倍.②*=9才,所以戶3a(負(fù)值

舍)，故邊長變?yōu)樵瓉淼?倍.③f=100君所以尸10a(負(fù)值舍)，故邊長

變?yōu)樵瓉淼?0倍.④*=〃才,所以尸a(負(fù)值舍)，故邊長變?yōu)樵瓉淼谋?

一備課資源

(事經(jīng)典例題

鶴求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.

(1)；⑵10'；

(3);(4)(3-it)2.

〔解析〕前三個(gè)是以不同形式給出的幾個(gè)數(shù)，必須先化簡，如(1)

中=4,(2)中10'=10000,(3)中|-169|=169,然后求它們的平方根，(4)

題要特別注意判斷n與3的大小.

解：(1)因?yàn)?4,

所以的算術(shù)平方根是2.

(2)因?yàn)?0=10000,

所以104的算術(shù)平方根為100.

(3)因?yàn)閨-1691=169,

所以|T69|的算術(shù)平方根為13.

(4)因?yàn)镴i>3,所以n-3>0,

所以(3-口產(chǎn)的算術(shù)平方根為m3

［解題策略］出現(xiàn)求類似(3-n)2形式的數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，注

意判斷括號內(nèi)數(shù)的正負(fù).求一個(gè)式子的算術(shù)平方根時(shí),應(yīng)先求出這個(gè)

式子的值,再求這個(gè)值的算術(shù)平方根.

第②課時(shí)

區(qū)L整體設(shè)計(jì)

Q教學(xué)目標(biāo)

.知識與技能一

1.了解數(shù)的平方根、開平方的概念，會(huì)用根號表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的

平方根.

2.了解開方與乘方是互逆的運(yùn)算,會(huì)利用這個(gè)互逆的關(guān)系求某些

非負(fù)數(shù)的平方根.

嚏理筋制

經(jīng)歷平方根概念的形成過程,發(fā)展求同和求異的思想,通過比較,

提高思考問題、辨析問題的能力.

嘴勰慝身徜則

在學(xué)習(xí)的過程中，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

1.數(shù)的平方根的概念,會(huì)用根號表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根.

2.=a(a20)的得出和應(yīng)用.

【難點(diǎn)】

1.開方與乘方是互逆的運(yùn)算,會(huì)利用這個(gè)互逆的關(guān)系求某些非負(fù)

數(shù)的平方根.

2.=a(a2O)和=|a|的區(qū)別和聯(lián)系.

教學(xué)準(zhǔn)備

【教師準(zhǔn)備】練習(xí)題的多媒體課件.

【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)算術(shù)平方根的概念.

舊教學(xué)過程

反新課導(dǎo)入

［過渡語］上節(jié)學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根,首先我們復(fù)習(xí)一下.

導(dǎo)入一：

1.什么叫算術(shù)平方根？

3的平方等于9,那么9的算術(shù)平方根就是3.

的平方等于，那么的算術(shù)平方根就是.

展廳的地面為正方形,其面積為49平方米,則其邊長為7米.

2.到目前為止,我們已學(xué)過哪些運(yùn)算?這些運(yùn)算之間的關(guān)系如何?

平方有沒有逆運(yùn)算？

平方與算術(shù)平方根之間是什么關(guān)系？

【例如】正方形月夕⑦的面積為1,則邊長為1.將它擴(kuò)展,若其

面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則邊長為;若其面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則邊長為:

若其面積變?yōu)樵瓉淼摹ū?則邊長為.

導(dǎo)入二：

【問題】平方等于9,,49的數(shù)還有嗎？

回憶在七年級學(xué)習(xí)有理數(shù)的平方時(shí)一，我們是如何找到平方等于

9,,49的數(shù)的？根據(jù)平方的定義,32=9,(-3)2=9,,,72=49,(-7)2=49.

［設(shè)計(jì)意圖］這一環(huán)節(jié)主要是復(fù)習(xí)舊知識和提出問題，由上節(jié)課

的“算術(shù)平方根”的求法使學(xué)生能明白“平方”和“算術(shù)平方根”的

關(guān)系，讓學(xué)生在幾何圖形中認(rèn)識、熟悉它們的互化關(guān)系.并把上節(jié)課的

思考題制作成Flash情景引入,增加動(dòng)畫效果.借助多媒體吸引學(xué)生

的注意力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

【說明】數(shù)學(xué)知識源于生活,并服務(wù)于生活.這兩種方法通過生

活中的具體問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并讓他們產(chǎn)生解決問題的強(qiáng)烈

欲望.

臣二薪知構(gòu)建

一、共同探究

思路一

［過渡語］根據(jù)我們的實(shí)踐,平方為9的數(shù)不只有3,那請同學(xué)們

填寫下面的空.

填空.

形成概念：

一般地,如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即那么這個(gè)數(shù)x就叫

做a的平方根（也叫做二次方根）.

表達(dá)式為:若則x叫做a的平方根.記作士.

【例如】（±4y=16,貝IJ+4和-4都是16的平方根，即16的平

方根是±4.4是16的算術(shù)平方根.

【結(jié)論】一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根;0只有一個(gè)平方根,它是0本

身；負(fù)數(shù)沒有平方根.

【定義】求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方,a叫做被開

方數(shù).

思路二

前面我們學(xué)習(xí)算術(shù)平方根,知道9的算術(shù)平方根是3,根據(jù)七年級

我們學(xué)過的平方的意義，-3的平方也是9,也就是說,平方為9的數(shù)有

兩個(gè):3和-3.一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根有一個(gè),通過進(jìn)一步的思考知

道平方為a的數(shù)有兩個(gè),另外一個(gè)我們也不能把它給丟了，今天再學(xué)

習(xí)一個(gè)平方根的概念.

［過渡語］知道了平方根的定義,和我們上一節(jié)學(xué)習(xí)的算術(shù)平方

根的聯(lián)系和區(qū)別是什么呢？

給出幾組具體的數(shù)據(jù)，由平方探知開平方與平方的互逆關(guān)系.

平方根與算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別.

【聯(lián)系】

1.包含關(guān)系:平方根包含算術(shù)平方根,算術(shù)平方根是平方根的一

種.

2.只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根.

3.0的平方根是0,算術(shù)平方根也是0.

【區(qū)別】

1.個(gè)數(shù)不同：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，但只有一個(gè)算術(shù)平方根.

2.表示法不同:平方根表示為土，而算術(shù)平方根表示為.

［設(shè)計(jì)意圖］形成“平方根”的概念.在列舉一些具體數(shù)據(jù)的感

性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，由平方運(yùn)算反推出平方根的概念和定義,并讓學(xué)生

非常熟練地進(jìn)行平方和平方根之間的互化，并明白它們之間的互逆關(guān)

系，辨析概念“平方根”與“算術(shù)平方根”的區(qū)別與聯(lián)系，使之與上

節(jié)課緊密聯(lián)系.由于遵循了從具體到抽象的過程,注重學(xué)生原有認(rèn)知

基礎(chǔ)的回顧,并和原有的概念進(jìn)行了比較與辨析，因此,學(xué)生對這一抽

象的概念掌握得比較牢靠.

【說明】平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別是本節(jié)課的一大難點(diǎn)，也

是學(xué)生經(jīng)常容易出錯(cuò)的地方.對這兩個(gè)概念加以比較與區(qū)別有利于學(xué)

生的理解與掌握.

二、例題講解

(教材第28頁例3)求下列各數(shù)的平方根.

(1)64;(2);(3)0.0004;

(4)(-25)2;(5)11.

解：⑴因?yàn)?±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±=±8.

⑵因?yàn)椋缘钠椒礁峭?，即?±.

(3)因?yàn)?±0.02)=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02,即±

=±0.02.