復(fù)變函數(shù)第四版課件-章節(jié)

復(fù)變函數(shù)第四版課件復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性微分方程積分與全純函數(shù)冪級數(shù)與展開式傅里葉分析contents目錄01復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)是形式為a+bi（a,b∈R）的數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，滿足i^2=-1。復(fù)數(shù)的定義復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)復(fù)數(shù)可以用平面上的點來表示，橫坐標為實部，縱坐標為虛部。復(fù)數(shù)可以進行加、減、乘、除等運算，滿足交換律、結(jié)合律和分配律。030201復(fù)數(shù)及其性質(zhì)以實軸為橫軸，虛軸為縱軸，原點為起點的平面稱為復(fù)平面。復(fù)平面每個復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對應(yīng)一個點(a,b)。點的表示每個復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對應(yīng)一個向量從原點出發(fā)，終點在(a,b)。向量的表示復(fù)數(shù)的幾何表示

復(fù)數(shù)在平面上的向量表示向量的起點和終點向量的起點是實軸上的點，終點是虛軸上的點。向量的長度和方向向量的長度是復(fù)數(shù)的模，方向與實軸之間的夾角是復(fù)數(shù)的輻角。向量的旋轉(zhuǎn)通過旋轉(zhuǎn)向量可以表示復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)。02復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限是函數(shù)在某點附近的性質(zhì)，與實數(shù)函數(shù)的極限定義類似，但需要考慮復(fù)數(shù)域的特性。極限的定義復(fù)變函數(shù)的極限具有與實數(shù)函數(shù)類似的性質(zhì)，如局部有界性、局部保序性等。極限的性質(zhì)對于一些特定的復(fù)變函數(shù)，其在無窮遠點的極限也是需要考慮的。無窮遠點的極限復(fù)變函數(shù)的極限連續(xù)性的性質(zhì)連續(xù)性具有一些重要的性質(zhì)，如閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界，連續(xù)函數(shù)可以一致逼近等。連續(xù)性的定義如果復(fù)變函數(shù)在某點處的極限值等于該點的函數(shù)值，則函數(shù)在該點連續(xù)。連續(xù)性的應(yīng)用連續(xù)性在解決一些實際問題時非常有用，如求解微分方程、積分方程等。復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)值隨自變量變化的速率，其定義與實數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義類似。導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，如鏈式法則、乘積法則、商的法則等。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)在解決一些實際問題時非常有用，如求解微分方程、優(yōu)化問題等。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)03微分方程舉例dy/dx=y,其中y(x)是未知函數(shù)，x是自變量。解法通過積分求解一階微分方程，得到函數(shù)的表達式。定義一階微分方程是包含一個導(dǎo)數(shù)項的方程。一階微分方程123高階微分方程包含多個導(dǎo)數(shù)項的方程。定義d^2y/dx^2=y''，其中y''表示y的二階導(dǎo)數(shù)。舉例通過求解高階微分方程，得到函數(shù)的表達式。解法高階微分方程定義dy1/dx=y2,d^2y2/dx^2=y1，其中y1和y2是未知函數(shù)。舉例解法通過求解線性微分方程組，得到函數(shù)的表達式。線性微分方程組是由多個線性微分方程組成的方程組。線性微分方程組04積分與全純函數(shù)03積分定理復(fù)平面上的積分定理包括柯西定理、格林定理和斯托克斯定理等。01復(fù)平面上的路徑在復(fù)平面上，積分可以通過沿著不同的路徑進行計算，包括直線、圓、橢圓等。02積分公式復(fù)平面上的積分公式與實數(shù)域上的類似，但需要考慮復(fù)數(shù)的模和幅角。復(fù)平面的積分全純函數(shù)的定義全純函數(shù)是指在其定義域內(nèi)解析的函數(shù)，即其導(dǎo)數(shù)在任何點上都存在。留數(shù)定理留數(shù)定理是全純函數(shù)的一個重要性質(zhì)，它描述了函數(shù)在閉曲線上的積分與其留數(shù)的乘積。留數(shù)的計算留數(shù)的計算涉及到對函數(shù)進行極點的分析，并利用極點處的函數(shù)值進行計算。全純函數(shù)與留數(shù)定理柯西積分公式是復(fù)變函數(shù)中的一個基本公式，它描述了函數(shù)在給定點上的值與其積分之間的關(guān)系。柯西積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式是關(guān)于全純函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的公式，它描述了函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù)與其積分之間的關(guān)系。高階導(dǎo)數(shù)公式柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式在解決復(fù)變函數(shù)的定積分、微分和積分方程等問題中有著廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用舉例柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式05冪級數(shù)與展開式冪級數(shù)展開式的定義冪級數(shù)是一種無窮級數(shù)，可以表示為$f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+cdots$的形式，其中$a_0,a_1,a_2,ldots$是常數(shù)，$z$是復(fù)數(shù)。冪級數(shù)展開式的性質(zhì)冪級數(shù)具有收斂性、唯一性和可加性等性質(zhì)。收斂性是指級數(shù)的部分和序列收斂到某個值；唯一性是指不同的冪級數(shù)展開式對應(yīng)不同的函數(shù)；可加性是指函數(shù)的有限個不重疊的區(qū)間上的冪級數(shù)展開式之和仍為該函數(shù)的冪級數(shù)展開式。冪級數(shù)展開式的應(yīng)用冪級數(shù)展開式在復(fù)變函數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，如求解微分方程、研究函數(shù)的性質(zhì)和計算積分等。冪級數(shù)展開式泰勒級數(shù)展開式的定義泰勒級數(shù)是冪級數(shù)的一種特殊形式，可以表示為$f(z)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n$的形式，其中$f^{(n)}(a)$表示函數(shù)$f(z)$在點$a$處的導(dǎo)數(shù)。泰勒級數(shù)展開式的性質(zhì)泰勒級數(shù)具有收斂性、唯一性和可加性等性質(zhì)。收斂性是指級數(shù)的部分和序列收斂到某個值；唯一性是指不同的泰勒級數(shù)展開式對應(yīng)不同的函數(shù)；可加性是指函數(shù)的有限個不重疊的區(qū)間上的泰勒級數(shù)展開式之和仍為該函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式。泰勒級數(shù)展開式的應(yīng)用泰勒級數(shù)展開式在復(fù)變函數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，如求解微分方程、研究函數(shù)的性質(zhì)和計算積分等。泰勒級數(shù)展開式洛朗茲級數(shù)是復(fù)變函數(shù)中的一種特殊形式的冪級數(shù)，可以表示為$f(z)=sum_{n=-infty}^{infty}c_n(z-a)^n$的形式，其中$c_n$是復(fù)常數(shù)，$z$是復(fù)數(shù)。洛朗茲級數(shù)具有收斂性、唯一性和可加性等性質(zhì)。收斂性是指級數(shù)的部分和序列收斂到某個值；唯一性是指不同的洛朗茲級數(shù)展開式對應(yīng)不同的函數(shù)；可加性是指函數(shù)的有限個不重疊的區(qū)間上的洛朗茲級數(shù)展開式之和仍為該函數(shù)的洛朗茲級數(shù)展開式。洛朗茲級數(shù)展開式在復(fù)變函數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，如求解微分方程、研究函數(shù)的性質(zhì)和計算積分等。洛朗茲級數(shù)展開式的定義洛朗茲級數(shù)展開式的性質(zhì)洛朗茲級數(shù)展開式的應(yīng)用洛朗茲級數(shù)展開式06傅里葉分析將周期函數(shù)表示為無窮級數(shù)，其中每個項都是正弦或余弦函數(shù)。傅里葉級數(shù)將非周期函數(shù)表示為積分形式，通過積分來描述函數(shù)的頻率和振幅。傅里葉積分傅里葉級數(shù)與傅里葉積分頻移性質(zhì)對函數(shù)進行平移后再進行傅里葉變換，相當于將頻譜進行平移。共軛性質(zhì)如果一個函數(shù)的實部和虛部互為共軛，則其傅里葉變換的實部和虛部也互為共軛。線性性質(zhì)如果對兩個函數(shù)的和或差進行傅里葉變換，結(jié)果等于對每個函數(shù)分別進行傅里葉