7.6高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

7.5內(nèi)容回憶可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令連續(xù)n次不定積分(且不要常數(shù))為n-1次多項式.整理ppt第六節(jié)高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

*四、常數(shù)變易法〔略〕一、高階線性微分方程的概念

第七章整理pptn階線性微分方程的一般形式為稱為二階線性微分方程.

時,稱為非齊次方程;

時,稱為齊次方程.一、高階線性微分方程的概念復(fù)習(xí):

一階線性方程通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y整理ppt證畢二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)

定理1.整理ppt說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解

并不是通解但是那么為解決通解的判別問題,

下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與

線性無關(guān)概念.

整理ppt定義:是定義在區(qū)間I上的

n個函數(shù),使得那么稱這n個函數(shù)在I上線性相關(guān),否那么稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I上都線性相關(guān);又如，假設(shè)在某區(qū)間I上那么根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間I上都

線性無關(guān).假設(shè)存在不全為0的常數(shù)整理ppt兩個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個恒為0,那么必線性相關(guān)整理ppt定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,那么數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為推論.是n階齊次方程

的n個線性無關(guān)解,

那么方程的通解為整理ppt三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

是二階非齊次方程的一個特解,

Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.那么是非齊次方程的通解.證:將代入方程①左端,得②①整理ppt是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù),例如,

方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②是通解.整理ppt定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)

定理3,定理4均可推廣到n階線性非齊次方程.

整理ppt定理5.是對應(yīng)齊次方程的n個線性無關(guān)特解,

給定n階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,那么非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解整理ppt常數(shù),那么該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,

是任意例1.提示:都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)(89考研)整理ppt例2.微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解

.解:是對應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無