廣東省揭陽(yáng)市揭西縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二級(jí)數(shù)學(xué)科試題溫馨提示：請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題卡上：考試時(shí)間為120分鐘，滿(mǎn)分150分.一、選擇題（共8小題，滿(mǎn)分40分，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，進(jìn)而通過(guò)交集的定義求得答案.【詳解】對(duì)A，，則，所以.故選：D.2.若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】?jī)牲c(diǎn)求斜率，斜率為傾斜角的正切值.【詳解】斜率，∴傾斜角．故選：A．3.圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)ICME-7）會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為，由此數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）更多低價(jià)優(yōu)質(zhì)資源可家衛(wèi)星MXSJ663A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由幾何關(guān)系得，即可求出等差數(shù)列的通項(xiàng)，從而求得的通項(xiàng).【詳解】由題意知，，且都是直角三角形，所以，且，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，由.故選：B．4.若點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出即可計(jì)算橢圓的離心率.【詳解】因點(diǎn)在橢圓，則，解得，而橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以橢圓離心率.故選：C5.已知，，點(diǎn)P在x軸上，則使取得最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由此求得直線(xiàn)的方程，進(jìn)而求得的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以所在的直線(xiàn)方程為，即，令得，所以.故選：B6.已知圓截直線(xiàn)所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用弦長(zhǎng)公式，列式求解.【詳解】圓的方程，圓心，半徑，圓心到直線(xiàn)的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可知，解得：.故選：B7.以下四個(gè)命題中，正確的是（）A.向量與向量平行B.為直角三角形的充要條件是C.D.若為空間的一個(gè)基底，則，，構(gòu)成空間的另一基底【答案】D【解析】【分析】利用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A，利用三角形中不一定為直角，結(jié)合充要條件概念判斷B，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷C，利用共面向量基本定理及基底的概念判斷D.【詳解】因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)基底，設(shè)，即，無(wú)解，所以，，不共面，則，，構(gòu)成空間的另一基底，故D正確；因?yàn)椋院筒黄叫?，故A錯(cuò)誤；為直角三角形只需一個(gè)角為直角即可，不一定是，所以無(wú)法推出，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤.故選：D.8.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)可表示為，若直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線(xiàn)有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】D【解析】【分析】先求得橫截距和縱截距，然后根據(jù)三角形的面積列方程，解方程求得正確答案.【詳解】可化為①，要使與兩坐標(biāo)軸能?chē)扇切危瑒t且，由①令得；令得，依題意，，所以或,所以或，設(shè)，則或，則或解得或，即或，即或，所以這樣的直線(xiàn)有條.故選：D二、多選題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是其公比，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，遞增的等比數(shù)列包括兩種情況：時(shí)或時(shí).【詳解】由題意知，遞增的等比數(shù)列包括兩種情況：時(shí)或時(shí).故，，故選：BD10.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足圓的方程，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.圓心，半徑為B.過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為C.的最大值是D.的最大值是4【答案】BD【解析】【分析】確定圓心和半徑得到A錯(cuò)誤，計(jì)算切線(xiàn)得到B正確，將CD選項(xiàng)中的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為斜率和到原點(diǎn)的距離，計(jì)算得到C錯(cuò)誤D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，即，圓心為，半徑為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：在圓上，則和圓心均在軸上，故切線(xiàn)與軸垂直，為，正確；對(duì)選項(xiàng)C：表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，如圖所示：當(dāng)與圓相切時(shí)，斜率最大，此時(shí)，，故，故此時(shí)斜率最大為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，故最大值為，正確；故選：BD11.定義，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A.有最大值，無(wú)最小值 B.當(dāng)，的最大值為1C.不等式的解集為 D.的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】BCD【解析】【分析】由題意，寫(xiě)出不同區(qū)間的解析式，并作出函數(shù)圖象，然后由圖象即可逐一判斷.【詳解】由題意得，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象，可得無(wú)最大值，無(wú)最小值，所以A錯(cuò)誤；根據(jù)圖象得，當(dāng)，的最大值為1，所以B正確；由得，，解得：，結(jié)合圖象，得不等式的解集為，所以C正確；由圖象得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以D正確.故選：BCD.12.已知棱長(zhǎng)為2的正方體的中心為，用過(guò)點(diǎn)的平面去截正方體，則（）A.所得的截面可以是五邊形 B.所得的截面可以是六邊形C.該截面的面積可以為 D.所得的截面可以是菱形【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合平面的性質(zhì)，分類(lèi)討論作出截面判斷A、B，求解正六邊形的面積判斷C，根據(jù)平行四邊形的邊長(zhǎng)相等判斷D.【詳解】一個(gè)平面去截正方體，考慮從正方體的上底面開(kāi)始截入，不妨設(shè)上底面與截面的交線(xiàn)為線(xiàn)段，截取有兩種情況，第一種情況是兩點(diǎn)分別在兩對(duì)邊上或兩相鄰邊上，如圖，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，由正方體性質(zhì)及面面平行性質(zhì)定理知截面為平行四邊形.第二種情況，如圖，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)，易知所得截面為六邊形，A錯(cuò)誤，B正確.當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，正六邊形的邊長(zhǎng)為，它的面積為，C正確.當(dāng)截面為平行四邊形時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知，若四邊形為菱形，則，可得，可得，可得或，可得或，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于與幾何體相關(guān)的截面問(wèn)題，做出截面是解題關(guān)鍵.我們通常可利用空間幾何公理及推論或?qū)ζ矫嫜由暾页龉簿€(xiàn)，共面關(guān)系；也利用面面平行的性質(zhì)做出截面在平行平面上的交線(xiàn).三、填空題（共4小題，滿(mǎn)分20分，每小題5分）13.已知圓，圓，若圓與圓相外切，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】由題意知，，所以，因?yàn)閮蓤A外切，所以，解得.故答案為：2.14.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至、小寒、大寒的日影子長(zhǎng)的和是43.5尺，芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺，則立春的日影子長(zhǎng)為_(kāi)________尺.【答案】12.5【解析】【分析】由題意構(gòu)造等差數(shù)列，進(jìn)而得出和d關(guān)系，求出和d，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出即可.【詳解】從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這12個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，由題意知，，解得，所以立春的日影長(zhǎng)為尺故答案為：12.515.函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則______．【答案】0【解析】【分析】由題可得，函數(shù)的周期T＝8，求出，得出，即得.【詳解】由圖象可知，函數(shù)的周期T＝8，所以，故，因?yàn)?，，所以．故答案為?.16.雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)雙曲線(xiàn)鏡面反射，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線(xiàn)新聞燈”，就是利用了雙曲線(xiàn)的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線(xiàn)燈”的軸截面是雙曲線(xiàn)一部分，如圖②，其方程為，為其左右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿(mǎn)足，，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線(xiàn)定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線(xiàn)定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率．【詳解】由題可知共線(xiàn)，共線(xiàn)，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因?yàn)?，故解得，則，在中，，即，所以．故答案為：．四、解答題（共6小題，滿(mǎn)分70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知.（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)即可求得.（2）利用面積公式和余弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，得，在中，，在中，.小問(wèn)2詳解】，由余弦定理得，，，的周長(zhǎng)為.18.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為6．（1）求C的方程；（2）若直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得的值，由，即可得所求方程（2）先用點(diǎn)差法及中點(diǎn)公式求出直線(xiàn)的斜率，然后利用點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)C的焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，所以，所以，所以C的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，代入橢圓方程得兩式相減可得，即．由點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，得，則l的斜率，所以l的方程為，即．19.如圖，在直三棱柱中，，E為的中點(diǎn)，．（1）證明：．（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可證明;(2)建系,利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求解.小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，平面,平面,所以，又由題可知，，,平面且,所以平面,又因?yàn)槠矫?所以.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建系如圖，由，，可得，則有設(shè)平面的一個(gè)方向量為,所以即令則，所以因?yàn)槠矫?所以為平面的一個(gè)法向量，所以,,即二面角的余弦值等于.20.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列滿(mǎn)足，且.（1）證明：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）令為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)造得解決即可；（2）由（1）得，錯(cuò)位相減解決即可.【小問(wèn)1詳解】由，得，又，是首項(xiàng)為5，公差為3的等差數(shù)列.，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以①②，①-②得：，.21.某校為了解高一學(xué)生周末的“閱讀時(shí)間”，從高一年級(jí)中隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲得了每人的周末“閱讀時(shí)間”（單位：小時(shí)），按照分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中的值；（2）估計(jì)該校高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”的中位數(shù)；（3）采用分層抽樣的方法從這兩組中抽取7人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人恰好在同一組的概率.【答案】（1）（2）小時(shí)（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的面積之和等于1即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)中位數(shù)的概念設(shè)出中位數(shù)，然后列出方程即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)古典概型的計(jì)算公式即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意，高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”在的頻率分別為，.由，得【小問(wèn)2詳解】設(shè)該校高一學(xué)生周末“閱讀時(shí)間”的中位數(shù)為小時(shí).因?yàn)榍?組頻率和為，前4組頻率和為，所以由，得.故可估計(jì)該校高一學(xué)生周末“閱讀