函數(shù)的基本概念

高等數(shù)學(xué)王莉莉wanglili0835@126.com一、函數(shù)的定義二、函數(shù)的幾種特性三、初等函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的基本概念四、小結(jié)思考題定義一、函數(shù)的定義說(shuō)明：⑷不同的對(duì)應(yīng)法則表示不同的函數(shù)，如)(xfy=、)(xgy=、)(xyj=等等;⑸函數(shù)有三種表示法：解析法、圖像法、表格法；

⑹在解析法中，函數(shù)的解析式有兩類(lèi)，一類(lèi)僅有一個(gè)解析式表示的函數(shù)，例如，圓的面積S與半徑R的關(guān)系是；另一類(lèi)是由一個(gè)以上的解析式表示的函數(shù),在定義域內(nèi)的不同范圍用不同的解析式表示,這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).這種函數(shù)例如，某市出租車(chē)的乘車(chē)費(fèi)y(元)與里程x(公里)之間的關(guān)系是：注意：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).練習(xí)書(shū)P6：1、2二、函數(shù)的幾種特性1.奇偶性設(shè)函數(shù)

y=f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果對(duì)任意

x∈D，恒有f(-x)=f(x)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；如果對(duì)任意

x∈D，恒有f(-x)=－f(x)，則稱(chēng)函f(x)為奇函數(shù)；否則稱(chēng)非奇非偶函數(shù).如，y=cos

x在區(qū)間(－∞,+∞)上是偶函數(shù)；如，y=

x3

在區(qū)間(－∞,+∞)上是奇函數(shù)；如，y=

x4+sin2x在(－∞,+∞)上是非奇非偶函數(shù).2.單調(diào)性設(shè)函數(shù)

y=f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間IìD，如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩點(diǎn)

x1,x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)≤f(x2)，則稱(chēng)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

I上單調(diào)增加；當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)≥

f(x2)，則稱(chēng)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

I上單調(diào)減少.3.周期性設(shè)函數(shù)

y=f(x)的定義域?yàn)镈，若存在常數(shù)T>0，為周期函數(shù)，稱(chēng)T為

f的一個(gè)周期.說(shuō)明：周期通常指的是最小正周期.使對(duì)任意

x∈D，恒有f(x+T)=f(x)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)如，y=sin

x是以2p為周期的函數(shù).4.有界性設(shè)函數(shù)

y=f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間IìD，如果存在一個(gè)正數(shù)M，使對(duì)任意的

x∈

I，都有∣f(x)∣≤M,則稱(chēng)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

I上有界；否則稱(chēng)為無(wú)界.三、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)⑴

冪函數(shù)：(a為常數(shù))⑵

指數(shù)函數(shù)：⑶

對(duì)數(shù)函數(shù)：⑷

三角函數(shù)：⑹常值函數(shù)：⑸反三角函數(shù)：y=arcsin

x

y=arccos

xy=arctan

x

y=arccot

x1、冪函數(shù)y=xa(a是常數(shù))2、指數(shù)函數(shù)3、對(duì)數(shù)函數(shù)4、三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)5、反三角函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)

y=f(u)，u=g(x)，且g(x)的值域與f(u)的定義域相交不空，則變量y通過(guò)

u

的聯(lián)系也是變量x的函數(shù)，我們稱(chēng)

y是x的復(fù)合函數(shù)，記作y=f[g(x)].其中

u

稱(chēng)作中間變量x.例如，判斷下列兩組函數(shù)是否可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù).(1)y=u1/2

，u=1+sinx

;(2)y=lg

u

，u=－x2.注意：⑴在復(fù)合函數(shù)中可以出現(xiàn)一個(gè)以上的中間變量；⑵一個(gè)復(fù)合函數(shù)可以分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)(掌握).例如，y=(sin5x)3可以分解成：y=u3,u=sinv,v=5x.練習(xí)下列函數(shù)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？3.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算以及有限次復(fù)運(yùn)算所構(gòu)成，并能用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù).如：注意：分段函數(shù)一般