高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 每日一題規(guī)范練（第五周）理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

每日一題規(guī)范練(第五周)[題目1](本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－cos2x－eq\f(1,2).(1)求f(x)的最小值，并寫(xiě)出取得最小值時(shí)的自變量x的集合；(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c＝eq\r(3)，f(C)＝0，若sinB＝2sinA，求a，b的值．解：(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1＋cos2x,2)－eq\f(1,2)＝sin(2x－eq\f(π,6))－1.當(dāng)2x－eq\f(π,6)＝2kπ－eq\f(π,2)，即x＝kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)時(shí)，f(x)min＝－2.此時(shí)自變量x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,6)，k∈Z)))).(2)由f(C)＝0，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C－\f(π,6)))＝1，又C∈(0，π)，所以2C－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)?C＝eq\f(π,3).在△ABC中，sinB＝2sinA，由正弦定理得，b＝2a.又c＝eq\r(3)，由余弦定理得，(eq\r(3))2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)，所以a2＋b2－ab＝3.②聯(lián)立①②得a＝1，b＝2.[題目2](本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，an＞0(n∈N*)，S6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝logeq\s\do9(\f(1,2))a2n－1，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,bnbn＋1)))的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn.解：(1)因?yàn)镾6＋a6是S4＋a4，S5＋a5的等差中項(xiàng)，所以2(S6＋a6)＝S4＋a4＋S5＋a5，所以S6＋a6－S4－a4＝S5＋a5－S6－a6，化簡(jiǎn)得4a6＝a4設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝eq\f(a6,a4)＝eq\f(1,4)，因?yàn)閍n＞0(n∈N*)，所以q＞0，所以q＝eq\f(1,2)，所以an＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－2).(2)由(1)得，bn＝logeq\s\do9(\f(1,2))a2n－1＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2n－3)＝2n－3，設(shè)Cn＝eq\f(2,bnbn＋1)＝eq\f(2,（2n－3）（2n－1）)＝eq\f(1,2n－3)－eq\f(1,2n－1)，所以Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝(eq\f(1,－1)－eq\f(1,1))＋(eq\f(1,1)－eq\f(1,3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋…＋(eq\f(1,2n－3)－eq\f(1,2n－1))＝－1－eq\f(1,2n－1)＝－eq\f(2n,2n－1).[題目3](本小題滿分12分)某部門(mén)為了了解一企業(yè)在生產(chǎn)過(guò)程中的用水量情況，對(duì)其每天的用水量做了記錄，得到了大量該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖(單位：噸)．若用水量不低于95噸，則稱這一天的用水量超標(biāo)．(1)從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至多有1天的用水量超標(biāo)的概率；(2)以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，估計(jì)該企業(yè)未來(lái)3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，記隨機(jī)變量X為未來(lái)這3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布和數(shù)學(xué)期望．解：(1)記“從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，至多有1天的用水量超標(biāo)”為事件A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,12))＋eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(168,220)＝eq\f(42,55).(2)以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，易知用水量超標(biāo)的概率為eq\f(1,3).X的所有可能取值為0，1，2，3，易知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3－k)，k＝0，1，2，3，則P(X＝0)＝eq\f(8,27)，P(X＝1)＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝eq\f(1,27).所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×eq\f(1,3)＝1.[題目4](本小題滿分12分)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝A1D，AB＝BC，∠ABC＝(1)證明：AD⊥BA1；(2)若平面ADD1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直線BA1與平面A1B1CD(1)證明：取AD中點(diǎn)O，連接OB，OA1，BD，如圖1.圖1因?yàn)锳A1＝A1D，所以AD⊥OA1.又∠ABC＝120°，AD＝AB，所以△ABD是等邊三角形，所以AD⊥OB，所以AD⊥平面A1OB，因?yàn)锳1B?平面A1OB，所以AD⊥A1B.(2)解：因?yàn)槠矫鍭DD1A1⊥平面ABCD平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD又A1O⊥AD，所以A1O⊥平面ABCD，所以O(shè)A、OA1、OB兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、OA1所在射線為x、y、z軸建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)AB＝AD＝A1D＝2，則A(1，0，0)，A1(0，0，eq\r(3))，B(0，eq\r(3)，0)，D(－1，0，0)．則eq\o(DA1,\s\up14(→))＝(1，0，eq\r(3))，eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＝(－1，eq\r(3)，0)，eq\o(BA1,\s\up14(→))＝(0，－eq\r(3)，eq\r(3))．設(shè)平面A1B1CD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(CD,\s\up14(→))＝x－\r(3)y＝0，,n·\o(DA1,\s\up14(→))＝x＋\r(3)z＝0，))令x＝eq\r(3)，則y＝1，z＝－1，所以n＝(eq\r(3)，1，－1)．設(shè)直線BA1與平面A1B1CD所成角為θ，則sinθ＝|cos〈n，eq\o(BA1,\s\up14(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·\o(BA1,\s\up14(→)),|n||\o(BA1,\s\up14(→))|)))＝eq\f(|－\r(3)－\r(3)|,\r(5)·\r(6))＝eq\f(\r(10),5).[題目5](本小題滿分12分)設(shè)f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x|x|.(1)求g(x)在x＝－1處的切線方程；(2)令F(x)＝x·f(x)－g(x)，求F(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1＞x2，都有m[g(x1)－g(x2)]＞x1f(x1)－x2f(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)解：(1)當(dāng)x＜0時(shí)，g(x)＝－eq\f(1,2)x2，g′(x)＝－x，故g(－1)＝－eq\f(1,2)，g′(－1)＝1，所以g(x)在x＝－1處的切線方程是y＋eq\f(1,2)＝1×(x＋1)，即x－y＋eq\f(1,2)＝0.(2)由題意知，F(xiàn)(x)＝xlnx－eq\f(1,2)x|x|＝xlnx－eq\f(1,2)x2(x＞0)，F(xiàn)′(x)＝lnx－x＋1，令t(x)＝F′(x)＝lnx－x＋1，則t′(x)＝eq\f(1,x)－1，令t′(x)＞0，解得0＜x＜1，令t′(x)＜0，解得x＞1，故F′(x)在(0，1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，故F′(x)≤F′(1)＝0，故F(x)在(0，＋∞)上遞減．(3)已知可轉(zhuǎn)化為x1＞x2≥1時(shí)，mg(x1)－x1f(x1)＞mg(x2)－x2f(x2令h(x)＝mg(x)－xf(x)＝eq\f(m,2)x2－xlnx，則h(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)，故h′(x)＝mx－lnx－1≥0恒成立，即m≥eq\f(lnx＋1,x)恒成立，令m(x)＝eq\f(lnx＋1,x)，則m′(x)＝－eq\f(lnx,x2)，所以當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，m′(x)≤0，m(x)單調(diào)遞減，m(x)≤m(1)＝1，即m≥1，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，＋∞)．[題目6](本小題滿分12分)已知平面上動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(eq\r(3)，0)的距離與到直線x＝eq\f(4\r(3),3)的距離之比為eq\f(\r(3),2)，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)設(shè)M(m，n)是曲線E上的動(dòng)點(diǎn)，直線l的方程為mx＋ny＝1.①設(shè)直線l與圓x2＋y2＝1交于不同兩點(diǎn)C，D，求|CD|的取值范圍；②求與動(dòng)直線l恒相切的定橢圓E′的方程；并探究：若M(m，n)是曲線H：Ax2＋By2＝1(A·B≠0)上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在與直線l：mx＋ny＝1恒相切的定曲線H′？若存在，直接寫(xiě)出曲線H′的方程；若不存在，說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)P(x，y)，由題意，得eq\f(\r(（x－\r(3)）2＋y2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(4\r(3),3))))＝eq\f(\r(3),2)，整理，得eq\f(x2,4)＋y2＝1，所以曲線E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)①圓心(0，0)到直線l的距離為d＝eq\f(1,\r(m2＋n2))，因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)C，D，所以|CD|2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,m2＋n2)))，又eq\f(m2,4)＋n2＝1(n≠0)，故|CD|2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,3m2＋4)))，由0＜d＜1，得m＞0，又|m|≤2，所以0＜m≤2.所以0＜1－eq\f(4,3m2＋4)≤eq\f(3,4)，因此|CD|2∈(0，3]，|CD|∈(0，eq\r(3)]，故|CD|的取值范圍為(0，eq\r(3)]．②當(dāng)m＝0，n＝1時(shí)，直線l的方程為y＝1；當(dāng)m＝2，n＝0時(shí)，直線l的方程為x＝eq\f(1,2).根據(jù)橢圓對(duì)稱性，猜想E′方程為4x2＋y2＝1.下證：直線mx＋ny＝1(n≠0)與4x2＋y2＝1相切，其中eq\f(m2,4)＋n2＝1，即m2＋4n2＝4，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x2＋y2＝1，,y＝\f(1－mx,n)，))消去y得，(m2＋4n2)x2－2mx＋1－n2＝0，即4x2－2mx＋1－n2＝0，所以Δ＝4m2－16(1－n2)＝4(m2＋4n2－4)＝從而直線mx＋ny＝1與橢圓E′：4x2＋y2＝1恒相切．若點(diǎn)M(m，n)是曲線H：Ax2＋By2＝1(A·B≠0)上的動(dòng)點(diǎn)，則直線l：mx＋ny＝1與定曲線H′：eq\f(x2,A)＋eq\f(y2,B)＝1(A·B≠0)恒相切．[題目7]1.(本小題滿分10分)[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＋4sinθ＝ρ.(1)寫(xiě)出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點(diǎn)M在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(2，2)．若直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|MA|·|MB|的值．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))消去參數(shù)t可得y＝eq\r(3)(x－2)＋2，所以直線l的普通方程為eq\r(3)x－y＋2－2eq\r(3)＝0.因?yàn)棣裺in2θ＋4sinθ＝ρ，所以ρ2sin2θ＋4ρsinθ＝ρ2.因?yàn)棣裺inθ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y.(2)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝2＋\f(\r(3),2)t))代入拋物線方程x2＝4y中，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(t,2)))eq\s\up12(2)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),2)t))，即t2＋(8－8eq\r(3))t－16＝0.因?yàn)棣ぃ?，且點(diǎn)M在直線l上，所以此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為直線l與