2015年理科數(shù)學(xué)海南省高考真題含答案

2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（海南卷）理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上。2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A=｛2，1,0,2｝，B=｛x|（X1）（x+2）＜0｝,則A∩B=（A）｛－1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛1，0，1｝（D）｛0，1，2｝2.若a為實(shí)數(shù)且（2+ai）（a2i）=－4i，則a=（A）1（B）0（C）1（D）2根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖。以下結(jié)論不正確的是（A）逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著（B）2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)（C）2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)（D）2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)4.等比數(shù)列｛an｝滿足a1=3，a1+a（A）21（B）42（C）63（D）845.設(shè)函數(shù)f(x)=，則f(－2（A）3（B）6（C）9（D）12一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的與剩余部分體積的比值為（A）（B）（C）（D）7.過三點(diǎn)A（1,3），B（4,2），C（1,7）的圓交于y軸于M、N兩點(diǎn)，則=（A）2（B）8（C）4（D）108.右邊程序抗土的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”。執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為則輸出的a（A）0（B）2（C）4（D）14已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（A）36π（B）64π（C）144π（D）256π如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，∠BOP=x。將動(dòng)點(diǎn)P到AB兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x的圖像大致為已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為(A)(B)2(C)(D)12.設(shè)函數(shù)f’(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R(A)(－∞，－1)∪(0，1)(B)(－1，0)∪(1，＋∞)(C)(－∞，－1)∪(－1，0)(D)(0，1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生必須做答.第22題~第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。13.設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋14.若x，y滿足約束條件，則z=x15.(a＋x)(1＋x)4的展開式中x16.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=－1，an+1三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）?ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC面積的2倍。(Ⅰ)求；(Ⅱ)若AD=1，DC=，求BD和AC的長(zhǎng).18.（本小題滿分12分）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）；（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)不等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意記時(shí)間C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”。假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率19.（本小題滿分12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說出畫法和理由）（Ⅱ）求直線AF與平面α（本小題滿分12分）已知橢圓C：9x2+y2=m2(m>0)QUOTE，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.（=1\*ROMANI）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；（=2\*ROMANII）若l過點(diǎn)(，m),延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否平行四邊行？若能，求此時(shí)l的斜率，若不能，說明理由.21.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)fx(Ⅰ)證明：f(x)在（－∞，0）單調(diào)遞減，在（0，（Ⅱ）若對(duì)于任意x1,x2∈[1,1],都有｜f(x請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).22.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，圓O與ABC的底邊BC交于M、N兩點(diǎn)與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB、AC分別相切于E、F兩點(diǎn).（=1\*ROMANI）證明：EF平行于BC（=2\*ROMANII）若AG等于圓O的半徑，且AE=MN=,求四邊形EBCF的面積。23（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1:，其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=2sinθ，曲線C3：ρ=（=1\*ROMANI）.求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)（=2\*ROMANII）.若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求的最大值（24）（本小題滿分10分）選修45不等式選講設(shè)a、b、c（=1\*ROMANI）若ab＞cd，則；（=2\*ROMANII）是的充要條件.（24）（本小題滿分10分）選修45不等式選講設(shè)均為正數(shù)，且,證明：（=1\*ROMANI）若，則；（=2\*ROMANII）是的充要條件.2015年海南省數(shù)學(xué)理科高考試題及答案解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。已知集合A=｛2，1,0，1,2｝，B=｛x|（X1）（x+2）＜0｝,則A∩B=（）（A）｛1,0｝（B）｛0,1｝（C）｛1,0,1｝（D）｛,0,，1，2｝【答案】A【解析】由已知得，故，故選A（2）若a為實(shí)數(shù)且（2+ai）（a2i）=4i,則a=（）（A）1（B）0（C）1（D）2【答案】B【解析】（3）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖。以下結(jié)論不正確的是()逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【答案】D【解析】由柱形圖得，從2006年以來，我國(guó)二氧化硫排放量呈下降趨勢(shì)，故年排放量與年份負(fù)相關(guān)．（4）等比數(shù)列｛an｝滿足a1=3，=21，則()（A）21（B）42（C）63（D）84【答案】B【解析】（5）設(shè)函數(shù),()（A）3（B）6（C）9（D）12【答案】C【解析】由已知得，又，所以，故．（6）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為．（7）過三點(diǎn)A（1,3），B（4,2），C（1,7）的圓交于y軸于M、N兩點(diǎn)，則=（A）2（B）8（C）4（D）10【答案】C【解析】（8）右邊程序抗土的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”。執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18，則輸出的a=A.0B.2C.4D.14【答案】B【解析】程序在執(zhí)行過程中，，的值依次為，；；；；；，此時(shí)程序結(jié)束，輸出的值為2，故選B．（9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C．10.如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x．將動(dòng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則f（x）的圖像大致為【答案】B【解析】的運(yùn)動(dòng)過程可以看出，軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，且，且軌跡非線型，故選B．（11）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（A）√5（B）2（C）√3（D）√2【答案】D【解析】（12）設(shè)函數(shù)f’(x)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的x的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】記函數(shù)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，且．當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A．二、填空題（13）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，則所以．（14）若x，y滿足約束條件，則的最大值為____________．【答案】（15）的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則__________．【答案】【解析】由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．（16）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則________．【答案】【解析】由已知得，兩邊同時(shí)除以，得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以．三．解答題17．（本題滿分12分）中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，，求和的長(zhǎng)．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．(Ⅱ)因?yàn)椋裕诤椭?，由余弦定理得，．．?Ⅰ)知，所以．考點(diǎn)：1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理．18．（本題滿分12分）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從，兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）；AA地區(qū)B地區(qū)456789（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意記時(shí)間C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”．假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）將兩地區(qū)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分的個(gè)位數(shù)分別列與莖的兩側(cè)，并根據(jù)數(shù)字的集中或分散來判斷平均值和方差的大小；（Ⅱ）事件“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”分為兩種情況：當(dāng)B地區(qū)滿意度等級(jí)為不滿意時(shí)，A地區(qū)的滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意；當(dāng)B地區(qū)滿意度等級(jí)為滿意時(shí)，A地區(qū)滿意度等級(jí)為非常滿意．再利用互斥事件和獨(dú)立事件的概率來求解．試題解析：（Ⅰ）兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下AA地區(qū)B地區(qū)4567896813643245564233469688643321928651137552表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意”．則與獨(dú)立，與獨(dú)立，與互斥，．．由所給數(shù)據(jù)得，，，發(fā)生的概率分別為，，，．故，，，，故．考點(diǎn)：1、莖葉圖和特征數(shù)；2、互斥事件和獨(dú)立事件．19．（本題滿分12分）如圖，長(zhǎng)方體中,，，，點(diǎn)，分別在，上，．過點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．DDD1C1A1EFABCB1（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說出畫法和理由）；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）由線面平行和面面平行的性質(zhì)畫平面與長(zhǎng)方體的面的交線；（Ⅱ）由交線圍成的正方形，計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，并求平面的法向量和直線的方向向量，利用求直線與平面所成角的正弦值．試題解析：（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖：（Ⅱ）作，垂足為，則，，因?yàn)闉檎叫?，所以．于是，所以．以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．設(shè)是平面的法向量，則即所以可?。郑剩灾本€與平面所成角的正弦值為．考點(diǎn)：1、直線和平面平行的性質(zhì)；2、直線和平面所成的角．20．（本題滿分12分）已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．(Ⅰ)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅱ）若過點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由．【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）能，或．【解析】試題分析：(Ⅰ)題中涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)問題，故可以采取“點(diǎn)差法”或“韋達(dá)定理”兩種方法求解：設(shè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程并作差，出現(xiàn)弦的中點(diǎn)和直線的斜率；設(shè)直線的方程同時(shí)和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦的中點(diǎn)，并尋找兩條直線斜率關(guān)系；（Ⅱ）根據(jù)(Ⅰ)中結(jié)論，設(shè)直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得坐標(biāo)，利用以及直線過點(diǎn)列方程求的值．試題解析：(Ⅰ)設(shè)直線，，，．將代入得，故，．于是直線的斜率，即．所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值．（Ⅱ）四邊形能為平行四邊形．因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，．由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由得，即．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即．于是．解得，．因?yàn)?，，，所以?dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形．考點(diǎn)：1、弦的中點(diǎn)問題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系．21．（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)．(Ⅰ)證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍．【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：(Ⅰ)先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的范圍討論導(dǎo)函數(shù)在和的符號(hào)即可；（Ⅱ）恒成立，等價(jià)于．由是兩個(gè)獨(dú)立的變量，故可求研究的值域，由(Ⅰ)可得最小值為，最大值可能是或，故只需，從而得關(guān)于的不等式，因不易解出，故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和符號(hào)，從而得解．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．（請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。高三網(wǎng)）22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，為等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)，圓與的底邊交于、兩點(diǎn)與底邊上的高交于