蘇教版 第9章《平行四邊形》單元測試卷（A）

第9章《平行四邊形》單元測試卷（A）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.（2020?江陰市模擬）下列圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）

2.（2020秋?淮陰區(qū)期中）如圖，點4、B、C、D、。都在方格紙的格點上，若△COO是由

△48。繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得，則旋轉(zhuǎn)的角度是（）

3.（2020春?海陵區(qū)期末）如圖，在△4BC中，D,E分別為A8,AC的中點，連接OE,

若BC=10,則CE的長為（）

5

,2

4.（2020秋?蘇州期中）如圖，在平行四邊形4BCD中，AB=a,BC=b,AB邊上的高為c,

BC邊上的高為“，則下列式子成立的是（）

A.a：c=b：dB.a：b=c：dC.ab=cdD.uc—bd

5.（2020春?海陵區(qū)校級期中）如圖，中，對角線AC、BZ）相交于O,過點。作OE

_LAC交4。于E,若AE=4,DE=3,AB=5,則AC的長為（）

A.3V2B.4在C.5V2D.1A/2

6.（2020春?太倉市期中）如圖所示,平行四邊形ABCD中，AC=4cm,BD=6cm,則邊

I

4。的長可以是（)

A.4cmB.5cmC.6cmD.1cm

7.（2020春?江陰市校級月考）如圖，四邊形ABC。中，AC,8。交于點O,則根據(jù)下列條

件能判定它是正方形的是（）

A.NDAB=90°且AC=BCB.AB=BC^.AC=BD

C.ZDAB=900且AC_LBQD.AC±BDKAO=BO=CO=DO

8.（2020春?常州期中）如圖，矩形A5CO中，/BOC=120°,BD=\2,點P是邊上

一動點，則OP的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

9.（2020春?海陵區(qū)期末）如圖，AC,8。是菱形4BCC的對角線，于點”，若AC

10.（2020?姑蘇區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，ZBAC=90Q,AB=AC=4死，。為△

48c內(nèi)一點，ZBAD=15°,A￡）=6,連接8。，將△48。繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，

使AB與AC重合,點D的對應(yīng)點為點E,連接DE,DE交AC于點F,則CF的長為（）

A.276B.275C.2>/3D.20

二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上

11.（2018春?相城區(qū)期中）一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°,能與另一個圖形重合，那么這

兩個圖形成—對稱.

12.（2020春?泰州月考）如圖，在四邊形A8C。中，點E、尸分別是邊AB、AO的中點，

2

BC=5,CD=3,EF=2,ZAFE=45°,則NAQC的度數(shù)為.

13.（2020秋?瓜州縣期末）如圖，在矩形A8CD中，AB=8,BC=6,點尸為邊4B上任意

一點，過點P作PEJ_AC,PFVBD,垂足分別為E、F,貝lj

14.（2020秋?南京期末）如圖，在△ABC中，A8=AC,BC=6,AF_L2C于點RBELAC

于點E,且點。是AB的中點，△OE尸的周長是11,則AB=

15.（2020秋?思明區(qū)校級期末）如圖，在△4BC中，AB=AC,AD1.BC,垂足為。，E是

則AB的長為.

16.（2020秋?玄武區(qū)期中）如圖，在AABC中，AB=2,BC=4.1,ZB=60°,將△ABC

繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△AQE,當點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上時，則

CD的長為.

17.（2020秋?蘇州期中）如圖.平行四邊形A與平行四邊形8部分重疊在一起，重疊部分

的面積是A的士是B的士則平行四邊形A與平行四邊形B的面積比是.

18.（2020春?輝縣市期末）如圖，在等邊三角形A8C中，BC=6cm,射線AG〃BC,點E

從點4出發(fā)沿射線AG以\cmls的速度運動，點廠從點B出發(fā)沿射線BC以2cmJs的速度

運動.如果點E、F同時出發(fā)，設(shè)運動時間為f（s）當f=.s時，以A、C、E、F為

頂點四邊形是平行四邊形.

3

三、解答題(本大題共8小題，共64分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

19.(2020春?灌云縣期中)如圖，。是△ABC邊BC的中點，連接A。并延長到點E,使

DE=AD,連接2E.

(1)圖中哪兩個圖形成中心對稱？

(2)若△AQC的面積為4,求aABE的面積.

20.(2020秋?崇川區(qū)校級期中)如圖，在10X10的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，△4BC是

格點三角形(頂點在網(wǎng)格線的交點上).

(1)先作△A8C關(guān)于原點。的成中心對稱的△AiBCi,再把△AiBiCi向上平移4個單

位得到282c2；

(2)A2點的坐標為；

(3)請直接寫出CCi+CiC2=

21.(2020春?儀征市期中)如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩

點，Z1=Z2.

(1)求證：AE=CF；

(2)求證：BE//DF.

4

A

B

22.(2020春?太倉市期中)蘇科版數(shù)學八年級下冊86頁我們學了這樣一條定理：三角形的

中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，請你對這個定理給予證明.

已知：在△ABC中，點。，E分別是A8,AC中點，連接OE.

求證：DE//BC,DE=

23.(2020春?北流市期末)如圖，菱形ABCD的對角線4C、BO相交于點O,過點。作

DE//ACJ3.DE=連接CE、OE,連接AE交。。于點F.

(1)求證：OE=CD：

(2)若菱形ABCD的邊長為2,乙48c=60°.求AE的長.

24.(2020秋?海門市校級月考)如圖1,等邊三角形AABC中，。為AABC內(nèi)一點，將4

CAZ)繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角60°得到△CBE,點A,。的對應(yīng)點分別為點8、E,

且A、D、E三點在同一直線上.

(1)填空：NCDE=____；

(2)若過點C作CFLAE于點F,然后探究線段CF,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的結(jié)論.

5

cc

25.(2020秋?阜寧縣期中)如圖，在銳角三角形4BC中，CD,8E分別是A8,AC邊上的

高，M,N分別是線段BC,OE的中點.

(1)求證：MNLDE.

(2)連接。M,ME,猜想NA與NOME之間的關(guān)系，并證明你的猜想.

(3)當N8AC變?yōu)殁g角時，如圖②，上述(1)(2)中的結(jié)論是否都成立？若成立，直

接回答，不需證明；若不成立，請說明理由.

26.(2020春?儀征市期中)如圖，在矩形中，AB=4cm,8c=11cm,點尸從點。出

發(fā)向終點4運動；同時點。從點8出發(fā)向終點C運動.當P、。兩點其中有一點到達終

點時，另一點隨之停止，點P、。的速度分別為Icm/s,2cm/s,連結(jié)P。、AQ.CP.設(shè)

點尸、Q運動的時間為r(s).

如圖，當r為何值時，四邊形A2QP是矩形？

6

一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.（2020?江陰市模擬）下列圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解析】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

8、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

。、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：A.

2.（2020秋?淮陰區(qū)期中）如圖，點A、B、C、D、。都在方格紙的格點上，若△CD。是由

△A8O繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得，則旋轉(zhuǎn)的角度是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)判斷即可.

【解析】觀察圖象可知，/AOC=/8。力=90°,

...旋轉(zhuǎn)角為90°,

故選：D.

3.（2020春嗨陵區(qū)期末）如圖，在AABC中，D,E分別為AB,4c的中點，連接OE,

若8c=10,則OE的長為（）

7

【分析】根據(jù)三角形的中位線等于第三邊的一半進行計算即可.

【解析】?:D、E分別是△ABC邊A3、AC的中點，

是△ABC的中位線，

BC=10,

:.DE=1fiC=5.

故選:B.

4.（2020秋?蘇州期中）如圖，在平行四邊形A8CD中，AB=a,BC=b,A8邊上的高為c,

BC邊上的高為“，則下列式子成立的是（）

A.a：c=b：dB.a：h=c：dC.ab=cdD.ac=hd

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，S=ABCD=BC.DF=AB,DE,代入數(shù)據(jù)進行計算即

可得出結(jié)論.

【解析】'：AB=a,BC=b,AB邊上的高為c,8c邊上的高為“，

ASnABCD=BC-DF=AB*DE,即bd=ac,

故選：D.

5.（2020春?海陵區(qū)校級期中）如圖，中，對角線4C、BO相交于O,過點。作OE

_L4C交AO于E,若4E=4,OE=3,AB=5,則AC的長為（）

A.372B.4&C.5>/2D.彳血

【分析】連接CE,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO=C。，CD=AB=5,然后判斷出?！?/p>

垂直平分AC,再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得CE=AE=4,利

8

用勾股定理的逆定理得到NCEZ）=90°,得到aAEC是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理

即可求得結(jié)論.

【解析】連接CE,

；四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AO=CO,CD=AB=5

,：OELAC,

：.0E垂直平分AC,

：.CE=AE=4,

\'DE=3,

ACE1+DE2=42+32=52^CD2,

.\ZCED=90°,

；.N4EC=90°,

...△AEC是等腰直角三角形，

：.AC=、:IAE=4\，2

故選：B.

6.（2020春?太倉市期中）如圖所示，平行四邊形ABCD中，AC=4cm,BD=6cm,則邊

AO的長可以是（）

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出A。的范圍即可判斷；

【解析】.四邊形ABCD是平行四邊形，AC=4a〃，BD—6cm,

.?.OA=,AC=2,0。=13。=3,

.,.1<AD<5,只有4c,"適合,

9

故選：A.

7.（2020春?江陰市校級月考）如圖，四邊形ABC。中，AC,8。交于點O,則根據(jù)下列條

件能判定它是正方形的是（）

A.ZDAB=90Q且AO=BCB.AB^BCB.AC=BD

C.ZDAB=90QB.ACLBDD.AC1BDS.AO^BO^CO=DO

【分析】根據(jù)正方形的判定對角線相等且互相垂直平分是正方形對各個選項進行分析從

而得到答案.

【解析】A,不能判定它是正方形；

B,不能判定它是正方形；

C,不能判定它是正方形；

D,能，因為對角線相等且互相垂直平分；

故選：D.

8.（2020春?常州期中）如圖，矩形ABCC中，/8OC=120°,8￡>=12,點P是邊上

一動點，則OP的最小值為（）

C.5D.6

【分析】由矩形的性質(zhì)可得OA=O3=OC=OD==8￡>=6,由等腰三角形的性質(zhì)可求/

OAD=ZODA=30°,由直角三角形的性質(zhì)可求解.

【解析】???四邊形ABC。是矩形，

：.OA=OB=OC=OD=杷。=6,

VZBOC=120°=ZAODf

10

：.ZOAD=ZODA=30°,

當0P_L4。時，OP有最小值,

：.OP=^IOD=3,

故選：A.

9.（2020春?海陵區(qū)期末）如圖，AC,BO是菱形ABC。的對角線，BHLAD于點H,若AC

C.4.8D.5

【分析】利用菱形的對角線互相平分線且垂直即可得出菱形的邊長，再利用菱形面積公

式求出的長即可.

【解析】設(shè)AC、BO交于點。，如圖：

,在菱形4BC。中，AC=4,BD=3,

：.AO=-CO=^AC=2,BO=DO=3BD=^,AC1.BD,

——z

5

-

：.AD=vO/4-+0D-=j2-+（I）-2

???菱形ABCD的面積=4。'8"=^ACXBD,

11

10.（2020?姑蘇區(qū)校級二模）如圖，在aABC中，ZBAC=90°,AB=4C=4死，D為4

A8C內(nèi)一點，ZBAD=15°,AD=6,連接B。，將△ABQ繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，

使AB與AC重合，點。的對應(yīng)點為點E,連接。交4c于點F,則CF的長為（）

A.276B.2遍C.2>/3D.20

【分析】過點A作AGLOE于點G,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出/AEZ）=NADG=45°,ZAFD

=60°,利用銳角三角函數(shù)分別求出AG,GF,AF的長，即可求出CF=AC-AP=2、運.

【解析】過點4作4GLDE于點G,

由旋轉(zhuǎn)知：AD=AE,NDAE=9Q°,ZCAE=ZBAD=]5°,

...NAEC=NAQG=45°,

在△?!￡；尸中，ZAFD^ZAED+ZCAE=60°,

在RtZVLDG中，AG=Z）G=與=3、C,

在RtZ\4『G中，GF==V6,AF=2FG=2展,

v3

：.CF=AC-AF=4歷一2、用=2歷，

故選：A.

二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上

11.（2018春?相城區(qū)期中）一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°,能與另一個圖形重合，那么這

兩個圖形成中心對稱.

【分析】直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)分析得出答案.

12

【解析】一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180。，能與另一個圖形重合，那么這兩個圖形成中心

對稱.

故答案為：中心.

12.（2020春?泰州月考）如圖，在四邊形ABCD中，點E、尸分別是邊AB、AD的中點，

BC=5,8=3,EF=2,ZAFE=45°,則/AQC的度數(shù)為135°.

的逆定理得到/BOC=90°,計算即可.

【解析】連接BD,如圖所示：

，：E、F分別是邊AB、AD的中點,

J.EF//BD,BD=2EF=4,

：.ZADB^ZAFE^45°,

：BC=5,CD=3,

：.BD2+CD2=25,BC2=25,

:.BD2+CD2^BC2,

：.ZBDC=90Q,

AZADC=ZADB+ZBDC=\35°,

13.（2020秋?瓜州縣期末）如圖，在矩形ABC。中，AB=8,8c=6,點尸為邊A8上任意

24

一點，過點尸作PEJ_AC,PFLBD,垂足分別為E、F,則尸七+尸產(chǎn)=一.

一5一

13

【分析】連接OP.由勾股定理得出AC=10,可求得OA=O8=5,由矩形的性質(zhì)得出S

矩形ABCZ)=48?8C=48,SAAOB="s矩形ABCD=12,0A=08=5,I±1S/、AOB=SCAOP+S8

BOP=±OA?PE+±0B?PF=±OA(PE+PF)=1x5X(PE+PF)=12求得答案.

【解析】連接。尸，如圖：

?.?四邊形A8C￡＞是矩形，

.../ABC=90°,OA=OC,OB=OD,AC^BD,

：.OA=OB,AC=VAB:+BC:=V8:+6:=10,

?'?SIHKABCD=AB,BC=4S,SAAOB=炬形ABCD=12，OA—OB—5,

1111

：.S^AOB=S^AOP+S^BOP=^OA^PE^r^OB^PF=^OA(PE+PF)x5X(PE+PF)=12,

24

：.PE+PF=~

故答案為一.

14.(2020秋?南京期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=6,AF_LBC于點F,BEVAC

于點E,且點。是AB的中點，△QEF的周長是11,則AB=8.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE=O尸=2A3,EF=^BC,

14

然后代入數(shù)據(jù)計算即可得解.

【解析】'：AF±BC,BE1AC,。是AB的中點,

：.DE=DF=^AB,

"：AB=AC,AFLBC,

，點尸是8c的中點，:.BF=FC=3,

'：BE±AC,

：.EF=^?BC^?,,

：.4DEF的周長=DE+DF+EF=AB+3=11,

.?.AB=8,

故答案為：8.

15.（2020秋?思明區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,ADLBC,垂足為。，E是

AC的中點.若DE=3,則A8的長為6.

【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)推知△4OC是直角三角形；然后在直角三角形4DC中，利用直

角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，求得AC=6；最后由等腰三角形A8C的兩腰A2

—AC,求得A2=6.

【解析】..?在△ABC中，AD1BC,垂足為。，

...△ADC是直角三角形；

是AC的中點.

:.DE=（直角三角形的斜邊上的中線是斜邊的一半）,

又,：DE=3,AB=AC,

：.AB=6f

故答案為：6.

15

16.（2020秋?玄武區(qū)期中）如圖，在AABC中，AB=2,BC=4.1,ZB=60°,將AABC

繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△AQE,當點8的對應(yīng)點。恰好落在BC邊上時，則

CD的長為2.1

【分析】由將AABC繞點4按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△AOE,當點B的對應(yīng)點E）恰好

落在BC邊上，可得A￡>=AB,又由/B=60°,可證得△48。是等邊三角形，繼而可得

BD=AB=2,則可求得答案.

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD^AB,

VZB=60°,

...△A3。是等邊三角形，

；.8力=48=2,

；BC=4.1,

：.CD=BC-BD=4A-2=2.1.

故答案為：2.1.

17.（2020秋?蘇州期中）如圖.平行四邊形A與平行四邊形B部分重疊在一起，重疊部分

的面積是A的士是8的士則平行四邊形A與平行四邊形8的面積比是2：3

46

【分析】設(shè)重疊部分的面積為“，依據(jù)重疊部分的面積是A嶺是8嶺即可得到平

行四邊形A與平行四邊形B的面積比.

【解析】設(shè)重疊部分的面積為a,

:重疊部分的面積是A嶗'是ME'

16

???平行四邊形A的面積為4a,平行四邊形B的面積為6a,

平行四邊形A與平行四邊形B的面積比是4G6a=2：3,

故答案為：2：3.

18.(2020春?輝縣市期末)如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm,射線AG〃BC,點E

從點A出發(fā)沿射線AG以IcmJs的速度運動，點F從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度

運動.如果點E、F同時出發(fā)，設(shè)運動時間為r(s)當尸2或6s時,以A、C、E、

【分析】分別從當點尸在C的左側(cè)時與當點尸在C的右側(cè)時去分析，由當AE=CF時，

以A、C、E、尸為頂點四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案.

【解析】①當點尸在C的左側(cè)時，根據(jù)題意得：AE=tcm,BF=2tcm,

則CF=BC-BF=6-2t(an),

'：AG//BC,

.,.當AE=CF時，四邊形AECF是平行四邊形，

即t—6-2t,

解得一=2；

②當點F在C的右側(cè)時，根據(jù)題意得：AE=tcm,BF=2tcm,

則CF=BF-BC=2t-6(cm),

'JAG//BC,

...當AE=C尸時，四邊形AEFC是平行四邊形，

即t=2t-6,

解得：r=6；

綜上可得：當f=2或6s時，以A、C、E、產(chǎn)為頂點四邊形是平行四邊形.

故答案為：2或6.

三、解答題(本大題共8小題，共64分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

19.(2020春?灌云縣期中)如圖，。是△ABC邊3c的中點，連接AO并延長到點E,使

DE=AD,連接BE.

17

(1)圖中哪兩個圖形成中心對稱？

(2)若△AOC的面積為4,求aABE的面積.

【分析】(1)直接利用中心對稱的定義寫出答案即可；

(2)根據(jù)成中心對稱的圖形的兩個圖形全等確定三角形BDE的面積，根據(jù)等底同高確

定ABO的面積，從而確定ABE的面積.

【解析】(1)圖中△ADC和三角形E38成中心對稱；

(2):△AOC和三角形EDB成中心對稱，△ADC的面積為4,

的面積也為4,

?.?。為8C的中點，

，/XAB。的面積也為4,

所以aABE的面積為8.

20.(2020秋?崇川區(qū)校級期中)如圖，在10X10的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，△48C是

格點三角形(頂點在網(wǎng)格線的交點上).

(1)先作△A8C關(guān)于原點。的成中心對稱的△AiBiCi,再把△4B1C1向上平移4個單

位得到△A2B2C2；

(2)A2點的坐標為(3,4)；

(3)請直接寫出CCi+CiC2=2力+4.

18

■y

0123456

【分析】(1)利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征寫出Ai、Bi、Ci的坐標，再描點得到△

A\B\C\,然后利用點平移的坐標特征寫出A2、B2、C2的坐標，然后描點得到AA282c2；

(2)由(1)得到A2點的坐標：

(3)利用兩點間的距離公式計算CC\和C1C2的長度即可.

【解析】(1)如圖，△A13C1和AA282c2為所作;

(3)CCi+CiC2=、/2：+2==2、2+4.

故答案為(3,4),2V2+4.

21.(2020春?儀征市期中)如圖，四邊形A8C。是平行四邊形，E、尸是對角線AC上的兩

點，Z1=Z2.

(1)求證：AE=CFx

(2)求證：BE//DF.

19

【分析】（1）證明△AOE會△CB尸（4SA）,即可證得AE=C/；

（2）證四邊形EBFQ是平行四邊形，即可得出結(jié)論.

【解析】（1）證明：?.?四邊形ABCZ）是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,NDAE=NBCF,

"：Z\=ZDAE+ZADE,N2=NBCF+NCBF,Z1=Z2,

ZADE^ZCBF,

^DAE=￡.BCF

?.,在△ADE與ACBF中，AD=BC，

Z-ADE=Z.CBF

:./\ADEmACBF（ASA）,

：.AE=CF,

（2）證明：VZ1=Z2,

J.DE//BF.

又；由（1）知△ADE彩△CBF,

：.DE=BF,

四邊形EBFD是平行四邊形，

J.BE//DF.

22.（2020春?太倉市期中）蘇科版數(shù)學八年級下冊86頁我們學了這樣一條定理：三角形的

中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，請你對這個定理給予證明.

已知：在△ABC中，點。，E分別是AB,AC中點，連接OE.

求證：DE//BC,DE=^BC.

【分析】延長OE至點F,使EF=DE,連接CF,證明△4￡￡＞絲根據(jù)全等三角

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形的性質(zhì)得到4O=CF,ZA=ZACF,得到四邊形3CFO為平行四邊形，根據(jù)平行四邊

形的性質(zhì)證明即可.

【解析】證明：延長QE至點R使EF=DE,連接CR

??,點。，E分別是A8,AC中點，

：?AD=DB,AE=EC,

在△AEO和△CEF中，

AE=EC

￡AED=乙CEF，

(DE=EF

AAED^ACEF(SAS),

：.AD=CFfZA=ZACFf

:,BD=CF,BD//CF,

???四邊形BCFD為平行四邊形，

:?DE〃BC,DE=*iDF=3BIC.

23.(2020春?北流市期末)如圖，菱形ABCD的對角線AC.BD相交于點。，過點D作

DE//ACS.DE=^AC,連接CE、OE,連接AE交。力于點F.

(1)求證：OE=CD；

(2)若菱形ABC。的邊長為2,N4BC=60°.求AE的長.

【分析】(1)先求出四邊形OCEQ是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直求出N

CO￡>=90°,證明OCED是矩形，可得OE=C。即可；

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(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC=A8,再根據(jù)勾股定理得出AE的長度即可.

【解析】(1)證明：在菱形ABC。中，OC=《AC.

：.DE=OC.

\'DE//AC,

...四邊形OCED是平行四邊形.

'CACLBD,

平行四邊形OCE。是矩形.

:.OE=CD.

(2)在菱形ABCQ中，NA8C=60°,

：.AC=AB=2.

在矩形OCE￡>中，

CE=OD=\AD:-AO:=、氏

在RtZ\ACE中，

AE=V/4C-+CE-=y/1.

24.(2020秋?海門市校級月考)如圖1,等邊三角形aABC中，。為△ABC內(nèi)一點，將4

繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角60°得到△C8E,點A,。的對應(yīng)點分別為點8、E,

且4、D、E三點在同一直線上.

(1)填空：ZCDE=60°；

(2)若過點C作CFLAE于點R然后探究線段CF,AE,2E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的結(jié)論.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得C￡>=CE,ZDCE=60°,可得△CZ)E是等邊三角形，

即可求解；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE=AD,由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得

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DF=*F,即可求解.

【解析】（1）；如圖，

圖1

:將△C