高中常用函數(shù)性質(zhì)及圖像匯總

高中常用函數(shù)性質(zhì)及圖像匯總匯報人：XXX2024-01-22contents目錄函數(shù)基本概念與性質(zhì)一次函數(shù)與二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)與反三角函數(shù)冪函數(shù)與分式函數(shù)復合函數(shù)與抽象函數(shù)01函數(shù)基本概念與性質(zhì)函數(shù)定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。函數(shù)的表示方法解析法、列表法、圖象法。函數(shù)定義及表示方法在函數(shù)定義域內(nèi)，若對于任意兩個自變量x1、x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）。若對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)），則稱函數(shù)為奇函數(shù)（或偶函數(shù)）。函數(shù)單調(diào)性與奇偶性奇偶性單調(diào)性周期性：若存在一個正數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x+T)=f(x)，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的周期。函數(shù)周期性若存在一個正數(shù)M，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有|f(x)|≤M，則稱函數(shù)為有界函數(shù)。有界性若函數(shù)不滿足有界性的條件，則稱函數(shù)為無界函數(shù)。無界性函數(shù)有界性與無界性02一次函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)一次函數(shù)$f(x)=kx+b$（$kneq0$）具有線性性質(zhì)，即函數(shù)值隨自變量線性變化。圖像一次函數(shù)的圖像是一條直線，斜率為$k$，截距為$b$。當$k>0$時，直線從左至右上升；當$k<0$時，直線從左至右下降。一次函數(shù)性質(zhì)及圖像二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$aneq0$）具有拋物線性質(zhì)，即函數(shù)值隨自變量呈拋物線變化。性質(zhì)二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，開口方向由系數(shù)$a$決定。當$a>0$時，拋物線開口向上；當$a<0$時，拋物線開口向下。對稱軸為$x=-frac{2a}$，頂點坐標為$left(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。圖像二次函數(shù)性質(zhì)及圖像二次函數(shù)最值問題最大值/最小值對于開口向上的拋物線（$a>0$），函數(shù)在頂點處取得最小值；對于開口向下的拋物線（$a<0$），函數(shù)在頂點處取得最大值。求解方法通過配方或利用頂點公式，可求得二次函數(shù)的最值。形如$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）的方程稱為一元二次方程。一元二次方程一元二次方程的解即為對應二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標。通過求解一元二次方程，可以得到二次函數(shù)的零點（即與x軸交點）。二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系03指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)010405060302指數(shù)函數(shù)定義：形如$y=a^x$（$a>0$，$aneq1$）的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖像過定點$(0,1)$。當$a>1$時，在定義域內(nèi)為增函數(shù)；當$0<a<1$時，在定義域內(nèi)為減函數(shù)。指數(shù)函數(shù)的值域為$(0,+infty)$。指數(shù)函數(shù)圖像：根據(jù)$a$的不同取值，圖像會呈現(xiàn)不同的單調(diào)性，但都會經(jīng)過定點$(0,1)$。指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及圖像對數(shù)函數(shù)定義：形如$y=log_ax$（$a>0$，$aneq1$）的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)。對數(shù)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖像過定點$(1,0)$。當$a>1$時，在定義域內(nèi)為增函數(shù)；當$0<a<1$時，在定義域內(nèi)為減函數(shù)。對數(shù)函數(shù)的定義域為$(0,+infty)$，值域為$(-infty,+infty)$。對數(shù)函數(shù)圖像：根據(jù)$a$的不同取值，圖像會呈現(xiàn)不同的單調(diào)性，但都會經(jīng)過定點$(1,0)$。對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及圖像VS通過換元法、配方法、待定系數(shù)法等方法將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進行求解。對數(shù)方程解法通過對數(shù)運算性質(zhì)（如換底公式、對數(shù)的和差公式等）將對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進行求解。指數(shù)方程解法指數(shù)方程和對數(shù)方程解法指數(shù)函數(shù)應用舉例在經(jīng)濟學中，復利公式就是一種指數(shù)函數(shù)的應用；在物理學中，放射性元素的衰變也遵循指數(shù)規(guī)律。對數(shù)函數(shù)應用舉例在音樂中，音階的頻率與音高之間的關(guān)系可以用對數(shù)函數(shù)來描述；在化學中，酸堿滴定實驗中的pH值計算也涉及對數(shù)運算。指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)應用舉例04三角函數(shù)與反三角函數(shù)三角函數(shù)定義三角函數(shù)的周期性三角函數(shù)的奇偶性三角函數(shù)的增減性三角函數(shù)基本概念和性質(zhì)01020304正弦、余弦、正切等函數(shù)在直角三角形中的定義及在各象限的符號規(guī)律。正弦、余弦函數(shù)周期為2π，正切函數(shù)周期為π。正弦函數(shù)為奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)，正切函數(shù)為奇函數(shù)。在各象限內(nèi)，正弦、余弦函數(shù)的增減性及其與角度的關(guān)系。三角函數(shù)圖像變換規(guī)律函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中，A表示振幅，控制圖像上下伸縮。ω控制周期，ω越大周期越小，反之周期越大。φ控制圖像的左右平移，φ>0時圖像左移，φ<0時圖像右移。函數(shù)圖像在垂直方向上的平移，由k控制，上移k個單位或下移|k|個單位。振幅變換周期變換相位變換垂直變換反三角函數(shù)定義域正弦、余弦函數(shù)的值域[-1,1]，正切函數(shù)的定義域為除去形如kπ+π/2(k∈Z)的點的全體實數(shù)。要點一要點二反三角函數(shù)值域反正弦、反余弦函數(shù)的值域為[-π/2,π/2]，反正切函數(shù)的值域為(-π/2,π/2)。反三角函數(shù)定義域和值域利用三角函數(shù)解決三角形中的角度和邊長問題。三角函數(shù)在幾何中的應用振動、波動等問題中，利用三角函數(shù)描述周期性變化。三角函數(shù)在物理中的應用利用反三角函數(shù)解三角方程，如sinx=a(a∈[-1,1])的解為x=arcsina+2kπ(k∈Z)。反三角函數(shù)在解方程中的應用將復合函數(shù)中的三角函數(shù)部分用反三角函數(shù)表示，便于求解和分析。反三角函數(shù)在復合函數(shù)中的應用三角函數(shù)和反三角函數(shù)應用舉例05冪函數(shù)與分式函數(shù)冪函數(shù)定義和性質(zhì)形如y=x^a(a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。定義冪函數(shù)的性質(zhì)取決于指數(shù)a的值。當a>0時，冪函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當a<0時，冪函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；當a=0時，冪函數(shù)為常數(shù)函數(shù)。性質(zhì)形如y=(ax+b)/(cx+d)（其中a、b、c、d為常數(shù)，且c≠0）的函數(shù)稱為分式函數(shù)。分式函數(shù)的性質(zhì)取決于分子和分母的系數(shù)。當c>0時，分式函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當c<0時，分式函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。同時，分式函數(shù)在其定義域內(nèi)具有連續(xù)性和可導性。定義性質(zhì)分式函數(shù)定義和性質(zhì)冪函數(shù)圖像特點冪函數(shù)的圖像經(jīng)過原點（0,0），且當x>0時，圖像位于第一象限；當x<0時，圖像位于第三象限。隨著a值的增大或減小，圖像的形狀會發(fā)生變化。分式函數(shù)圖像特點分式函數(shù)的圖像通常具有兩條漸近線，一條是水平漸近線y=a/c（當x→∞或x→-∞時），另一條是垂直漸近線x=-d/c（當y→∞或y→-∞時）。在兩條漸近線之間，圖像呈現(xiàn)特定的形狀和變化趨勢。冪函數(shù)和分式函數(shù)圖像特點冪函數(shù)應用舉例在物理學中，冪函數(shù)可以用來描述物體自由落體的速度v與時間t的關(guān)系，即v=gt^2（其中g(shù)為重力加速度）。此外，冪函數(shù)還可以用于描述放射性元素的衰變規(guī)律等。分式函數(shù)應用舉例在經(jīng)濟學中，分式函數(shù)可以用來描述某種商品的需求量與價格之間的關(guān)系。例如，需求函數(shù)Q=a-bP/（其中a、b為常數(shù)，P為商品價格）就是一個典型的分式函數(shù)。此外，分式函數(shù)還可以用于描述電路中的電流、電壓關(guān)系等。冪函數(shù)和分式函數(shù)應用舉例06復合函數(shù)與抽象函數(shù)設(shè)函數(shù)$y=f(u)$的定義域為$D_f$，值域為$R_f$，函數(shù)$u=g(x)$的定義域為$D_g$，值域為$R_g$，且$R_gsubseteqD_f$，則函數(shù)$y=f[g(x)]$稱為由函數(shù)$u=g(x)$與函數(shù)$y=f(u)$復合而成的復合函數(shù)。定義復合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”原則，即內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相同時，復合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相反時，復合函數(shù)為減函數(shù)。性質(zhì)復合函數(shù)定義和性質(zhì)定義沒有給出具體解析式，只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。性質(zhì)抽象函數(shù)的性質(zhì)通常通過給定的條件進行推導，如對稱性、周期性、單調(diào)性等。抽象函數(shù)定義和性質(zhì)復合函數(shù)圖像特點復合函數(shù)的圖像可以通過內(nèi)外層函數(shù)的圖像進行合成得到。當內(nèi)外層函數(shù)均為基本初等函數(shù)時，可以通過基本初等函數(shù)的圖像變換得到復合函數(shù)的圖像。抽象函數(shù)圖像特點抽象函數(shù)的圖像通常無法直接畫出，但可以通過給定的條件推斷出圖像的一些特征，如對稱性、周期性等。復合函數(shù)和抽象函數(shù)圖像特點在解決實際問題時，經(jīng)常會遇到需要通過多個步驟或多個因素共同影響才能得到結(jié)果的情況，這時就可以通過建立復合函數(shù)模型來描述這種關(guān)系。例如，在經(jīng)濟學中，