第4章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻譜分析

2024/1/311第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析2024/1/3124.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2 傅里葉級(jí)數(shù)4.3 周期信號(hào)的頻譜4.4

非周期信號(hào)的頻譜(傅里葉變換)4.5

傅里葉變換的性質(zhì)4.7 周期信號(hào)的傅里葉變換4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析4.9

取樣定理2024/1/3134.1信號(hào)分解為正交函數(shù)矢量的分量和矢量的分解平面矢量分解圖空間中的矢量分解圖2024/1/314正交信號(hào)空間設(shè)n個(gè)函數(shù)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間內(nèi)滿足下列特性：——常數(shù)則稱此函數(shù)集為正交函數(shù)集，這n個(gè)構(gòu)成一個(gè)n維正交信號(hào)空間。任意一個(gè)代表信號(hào)的函數(shù)f(t)，在區(qū)間內(nèi)可以用組成信號(hào)空間的這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似。4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)的分量和信號(hào)的分解2024/1/315在使近似式的均方誤差最小條件下，可求得均方誤差4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)的分量和信號(hào)的分解

若令趨于無(wú)限大，的極限等于零則此正交函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。（定義1）——代表函數(shù)和間的相似程度或相關(guān)程度2024/1/316滿足等式i為任意整數(shù)則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。如果在正交函數(shù)集外,不存在函數(shù)，其中4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)的分量和信號(hào)的分解完備正交函數(shù)集〔定義2〕2024/1/317完備---有兩層意思：1.如果在區(qū)間內(nèi)與正交，則必屬于這個(gè)正交集。2.若與正交，但中不包含，則此集不完備。4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)的分量和信號(hào)的分解即：函數(shù)f(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)可展開(kāi)成完備正交函數(shù)空間中的無(wú)窮級(jí)數(shù)。2024/1/318如果在區(qū)間內(nèi)，復(fù)變函數(shù)集滿足那么稱為正交函數(shù)集。4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)的分量和信號(hào)的分解復(fù)變函數(shù)的正交特性假設(shè)復(fù)變函數(shù)集是完備的，那么2024/1/319周期信號(hào)f(t)在區(qū)間(t0,t0+T)可以展開(kāi)成在完備正交信號(hào)空間中的無(wú)窮級(jí)數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號(hào)所展開(kāi)的無(wú)窮級(jí)數(shù)就分別稱為“三角型傅里葉級(jí)數(shù)〞或“指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)〞，統(tǒng)稱傅里葉級(jí)數(shù)。

1822年法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉〔1768－1830〕在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論〞著作，提出并證明了將周期函數(shù)展開(kāi)為三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)的原理。4.2傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/31104.2傅里葉級(jí)數(shù)Dirichlet條件：(1)在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積； (2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)有限值的不連續(xù)點(diǎn)；(3)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值。1829年，Dirichlet給出了補(bǔ)充，只有當(dāng)周期信號(hào)f(t)滿足Dirichlet條件時(shí)，才能展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。(電子技術(shù)中的周期信號(hào)大都滿足條件。)2024/1/3111三角函數(shù)集是完備正交函數(shù)集4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/31124.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)：2024/1/31134.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/31144.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角形傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/3115例：將以下圖所示方波信號(hào)f(t)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)解：4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/31164.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/3117所以，所示信號(hào)的傅里葉展開(kāi)式為：思考：取多少次諧波才能有效表示這個(gè)信號(hào)？？？均方誤差為考慮時(shí)，本例中：4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/31184.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/3119吉布斯〔Gibbs〕現(xiàn)象4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)

用有限次諧波分量來(lái)近似原信號(hào)，在不連續(xù)點(diǎn)附近出現(xiàn)起伏，起伏頻率隨諧波分量增加而增加，起伏峰值不隨諧波分量增加而減少，起伏峰值有9%的超量。2024/1/3120假設(shè)給定的函數(shù)f(t)具有某些特點(diǎn)，那么，有些傅里葉系數(shù)將等于零，從而使傅里葉系數(shù)的計(jì)算簡(jiǎn)化。f(t)為偶函數(shù)4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/3121

偶函數(shù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有

直流項(xiàng)與余弦項(xiàng)。4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/3122f(t)為奇函數(shù)奇對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含有正弦項(xiàng)4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/3123f(t)為奇諧函數(shù)(半波鏡像信號(hào))f(t)為偶諧函數(shù)(半波重疊信號(hào))偶諧信號(hào)只含有正弦與余弦的偶次諧波分量和直流分量，而無(wú)奇次諧波分量。奇諧信號(hào)只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無(wú)直流和偶次諧波分量。4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/3124周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為三角型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/3125復(fù)指數(shù)函數(shù)集是完備正交函數(shù)集4.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)2024/1/31264.2傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)展開(kāi)為指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)：2024/1/31274.2傅里葉級(jí)數(shù)從三角型傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)出指數(shù)形式2024/1/31284.2傅里葉級(jí)數(shù)從三角型傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)出指數(shù)形式假設(shè)f(t)為實(shí)函數(shù)2024/1/3129例

試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解:因此，

f

(t)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為4.2傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式2024/1/3130例

求Fn解:

根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的定義可得4.2傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式2024/1/31314.2傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)總結(jié)2024/1/3132從功率的角度來(lái)考察周期信號(hào)時(shí)域和頻域特性間的關(guān)系4.3周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的功率直流功率諧波功率

物理意義：任意周期信號(hào)的平均功率等于信號(hào)所包含的直流、基波以及各次諧波的平均功率之和。2024/1/3133例

求f

(t)的功率。解：4.3周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的功率2024/1/3134頻譜的概念或

通過(guò)研究傅里葉系數(shù)Fn

、

An和

來(lái)研究信號(hào)的特性，它們是頻率的函數(shù)，反映了組成信號(hào)各頻率分量的幅度、相位的分布情況，又稱為頻譜函數(shù)。4.3周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜2024/1/3135單邊幅度譜和雙邊幅度譜4.3周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜2024/1/31364.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜

周期性矩形脈沖的頻譜是離散的，僅含有的分量，其相鄰兩譜線的間隔是。周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜()2024/1/3137周期矩形脈沖信號(hào)的頻帶寬度(帶寬，)周期矩形信號(hào)的譜線幅度按的規(guī)律變化。在處，即處，包絡(luò)為零，其相應(yīng)的譜線亦等于零。周期矩形脈沖信號(hào)包含無(wú)限多條譜線，但其信號(hào)能量主要集中在第一個(gè)零點(diǎn)以內(nèi)。在允許一定失真條件下，只需傳送頻率較低的那些分量就足夠表達(dá)原信號(hào)。4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜2024/1/3138物理意義：在信號(hào)的有效帶寬內(nèi)，集中了信號(hào)絕大局部諧波分量。假設(shè)信號(hào)喪失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。當(dāng)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配〞4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜通常把稱為周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度或有效帶寬，簡(jiǎn)稱帶寬。2024/1/3139周期矩形脈沖信號(hào)的脈沖寬度與帶寬、幅度頻譜的關(guān)系結(jié)論：脈沖寬度越窄，有效帶寬越寬，高頻分量越多。即信號(hào)信息量大、傳輸速度快，傳送信號(hào)所占用的頻帶越寬。4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜2024/1/3140周期矩形脈沖信號(hào)頻譜中周期與譜線密度的關(guān)系4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜2024/1/3141非周期信號(hào)結(jié)論：當(dāng)不變，T增大，譜線間隔減小，譜線逐漸密集，幅度減小。

連續(xù)頻率，幅度4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜2024/1/3142周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)離散性——譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間的間隔為。這種頻譜常稱為離散頻譜。收斂性——各頻譜線的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸減小，當(dāng)諧波次數(shù)無(wú)限增高時(shí)，譜線的高度也無(wú)限減小。諧波性——譜線在頻譜軸上的位置是基頻的整數(shù)倍。4.3周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖的頻譜假設(shè)信號(hào)時(shí)域波形變化越平緩，高次諧波成分就越少，幅度頻譜衰減越快；假設(shè)信號(hào)時(shí)域波形變化跳變?cè)蕉?，高次諧波成分就越多，幅度頻譜衰減越慢。2024/1/3143求其傅里葉級(jí)數(shù)。例：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)的間隔為T，用符號(hào)

T(t)表示周期單位沖激序列：解：

T(t)是周期函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)：4.3周期信號(hào)的頻譜周期單位沖激序列的頻譜2024/1/3144FS4.3周期信號(hào)的頻譜周期單位沖激序列的頻譜

可見(jiàn)，周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含位于

=0,Ω,2Ω,,nΩ,的頻率分量，且分量大小相等，均等于1/T。2024/1/3145頻譜密度函數(shù)4.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換2024/1/3146此時(shí)，為了說(shuō)明幅度間的相對(duì)差異，有必要引入一個(gè)新的量——“頻譜密度函數(shù)〞設(shè)周期信號(hào)4.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換那么2024/1/31474.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換2024/1/3148頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別〔1〕周期信號(hào)的頻譜為離散的， 非周期信號(hào)的頻譜和頻譜密度均為連續(xù)的。〔2〕周期信號(hào)的頻譜為Fn的分布，表示每個(gè)諧波分量的復(fù)振幅；非周期信號(hào)的頻譜為FnT的分布，表示每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅，即頻譜密度函數(shù)。

兩者關(guān)系：4.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換時(shí)域非周期<->頻域連續(xù)時(shí)域周期<->頻域離散2024/1/31494.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉反變換2024/1/31504.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換模相位實(shí)部虛部非周期信號(hào)可以分解為無(wú)數(shù)個(gè)虛指數(shù)信號(hào)的線性組合，這些信號(hào)的頻率是連續(xù)的，幅度為無(wú)窮小。2024/1/3151例

試求圖示非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜密度函數(shù)。

解：

非周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的時(shí)域表示式為由傅里葉變換定義式，可得

4.4非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換非常重要的公式！信號(hào)在時(shí)域有限，那么在頻域?qū)o(wú)限延續(xù)2024/1/31521t0f(t)4.4非周期信號(hào)的頻譜常用信號(hào)的傅里葉變換單邊指數(shù)信號(hào)2024/1/31534.4非周期信號(hào)的頻譜常用信號(hào)的傅里葉變換001t0f(t)2024/1/3154f(t)0t4.4非周期信號(hào)的頻譜常用信號(hào)的傅里葉變換0雙邊指數(shù)信號(hào)2024/1/3155物理意義：在時(shí)域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。因此，這種頻譜常稱為“均勻譜〞或“白色譜〞4.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換單位沖激函數(shù)時(shí)域內(nèi)的無(wú)限窄<->頻域內(nèi)的無(wú)限寬2024/1/31564.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換時(shí)域內(nèi)的無(wú)限寬<->頻域內(nèi)的無(wú)限窄2024/1/31574.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換單位沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜2024/1/31584.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換符號(hào)函數(shù)的頻譜sgn函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，但它可以看作是奇雙邊指數(shù)函數(shù)f2(t)當(dāng)α→0時(shí)的極限。2024/1/31594.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換2024/1/31604.4非周期信號(hào)的頻譜奇異函數(shù)的傅里葉變換單位階躍信號(hào)2024/1/3161傅里葉變換的性質(zhì)線性奇偶性對(duì)稱性尺度變換時(shí)移特性卷積定理時(shí)域微分和積分頻域微分和積分4.5傅里葉變換的性質(zhì)2024/1/3162說(shuō)明：和信號(hào)的頻譜等于各個(gè)單獨(dú)信號(hào)的頻譜之和。4.5傅里葉變換的性質(zhì) 線性線性例：2024/1/3163奇偶性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 奇偶性2024/1/3164時(shí)域?qū)嵟?lt;->頻域?qū)嵟紩r(shí)域?qū)嵠?lt;->頻域虛奇4.5傅里葉變換的性質(zhì) 奇偶性2024/1/3165例：求取樣函數(shù)Sa(t)的頻譜函數(shù).解：根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)即4.5傅里葉變換的性質(zhì) 對(duì)稱性對(duì)稱性2024/1/3166根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)，那么有即4.5傅里葉變換的性質(zhì) 對(duì)稱性2024/1/3167例：求函數(shù)t-1

的頻譜函數(shù).解：可得那么4.5傅里葉變換的性質(zhì) 對(duì)稱性2024/1/3168尺度變換4.5傅里葉變換的性質(zhì) 尺度變換2024/1/31694.5傅里葉變換的性質(zhì) 尺度變換2024/1/3170時(shí)移特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 時(shí)移特性2024/1/3171例：求以下所示三脈沖信號(hào)的頻譜。解：令f0(t)表示矩形單脈沖信號(hào)4.5傅里葉變換的性質(zhì) 時(shí)移特性2024/1/3172其頻譜如下：4.5傅里葉變換的性質(zhì) 時(shí)移特性2024/1/3173頻移特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 頻移特性2024/1/31744.5傅里葉變換的性質(zhì) 頻移特性2024/1/3175卷積定理4.5傅里葉變換的性質(zhì) 卷積定理

卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理中占有重要地位，應(yīng)用最廣。2024/1/3176例:余弦脈沖信號(hào)解：利用卷積定理求其頻譜。

把余弦脈沖信號(hào)看成是矩形脈沖信號(hào)Ｇ(t)與周期余弦信號(hào)相乘。4.5傅里葉變換的性質(zhì) 卷積定理2024/1/3177時(shí)域頻域4.5傅里葉變換的性質(zhì) 卷積定理2024/1/3178微分特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 微分特性2024/1/3179積分特性4.5傅里葉變換的性質(zhì) 積分特性2024/1/3180解(a)：(b)：例：求圖所示信號(hào)的傅里葉變換4.5傅里葉變換的性質(zhì) 積分特性2024/1/3181小結(jié)：非周期信號(hào)和周期信號(hào)一樣，可以分解成許多不同頻率的虛指數(shù)分量。由于非周期信號(hào)的周期趨于無(wú)限大，基波頻率趨于無(wú)限小，于是它包含了從零到無(wú)限高的所有頻率分量。由于非周期信號(hào)的周期趨于無(wú)限大，因此它所包含的各頻率分量的幅度趨于零。非周期信號(hào)的頻譜用頻譜密度來(lái)表示。周期信號(hào)其頻譜為離散譜〔傅里葉系數(shù)、頻譜函數(shù)〕,非周期信號(hào)其頻譜為連續(xù)譜〔傅里葉變換、頻譜密度函數(shù)〕。周期信號(hào)與非周期信號(hào)，傅里葉系數(shù)與傅里葉變換，離散譜與連續(xù)譜，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化并統(tǒng)一起來(lái)。4.5傅里葉變換的性質(zhì)2024/1/3182一般非周期信號(hào)〔能量信號(hào)〕的Parseval定理4.7周期信號(hào)的傅里葉變換時(shí)域和頻域的能量關(guān)系2024/1/3183Parseval定理：非周期信號(hào)在時(shí)域中求得的信號(hào)能量等于在頻域中求得的信號(hào)能量。4.7周期信號(hào)的傅里葉變換時(shí)域和頻域的能量關(guān)系2024/1/3184周期信號(hào)非周期信號(hào)周期無(wú)窮大求和變求積分

周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但在允許沖激函數(shù)存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對(duì)可積條件就成為不必要的限制，也就有周期信號(hào)的傅里葉變換。目的：把周期信號(hào)與非周期信號(hào)的分析方法統(tǒng)一起來(lái)，使傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用。4.7周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的頻譜傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉變換FSFTFTFS2024/1/31854.7周期信號(hào)的傅里葉變換常見(jiàn)周期信號(hào)的傅里葉變換虛指數(shù)信號(hào)

同理:

虛指數(shù)信號(hào)的頻譜密度2024/1/3186余弦信號(hào)及其頻譜密度4.7周期信號(hào)的傅里葉變換常見(jiàn)周期信號(hào)的傅里葉變換2024/1/3187正弦信號(hào)及其頻譜密度4.7周期信號(hào)的傅里葉變換常見(jiàn)周期信號(hào)的傅里葉變換2024/1/3188令周期信號(hào)f(t)的周期為T，角頻率為Ω=2

f4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換表示在無(wú)窮小的頻帶范圍內(nèi)〔即諧頻點(diǎn)〕取得了無(wú)限大的頻譜密度值。2024/1/31894.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換例：求周期為T，寬度為τ的矩形脈沖信號(hào)PT(t)的頻譜密度函數(shù)解：PT(t)的傅里葉系數(shù)：2024/1/3190代入到上式中，得周期矩形脈沖的傅里葉變換由位于的沖激函數(shù)所組成。周期矩形脈沖的傅里葉變換是頻譜密度，其在的幅度是：4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換2024/1/3191例.求

T(t)的傅里葉變換。

可見(jiàn)，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中只包含位于

=0,Ω,2Ω,，nΩ,頻率處的沖激函數(shù)，其強(qiáng)度大小相等，均等于Ω

。4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換2024/1/3192FTFS0t

-2T–T0T2Tt

4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換FT2024/1/3193例4.7周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換2024/1/31944.8LTI系統(tǒng)的頻域分析根本概念LTI系統(tǒng)的全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)本節(jié)只研究零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)域分析法即將分解為無(wú)限個(gè)之疊加。即零狀態(tài)響應(yīng)分解為所有被鼓勵(lì)加權(quán)的之疊加。時(shí)域方法缺點(diǎn)：計(jì)算復(fù)雜。2024/1/3195虛指數(shù)信號(hào)ejwt(-

<t<

)通過(guò)連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)其中4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析根本概念2024/1/3196任意非周期信號(hào)通過(guò)連續(xù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)假設(shè)信號(hào)f(t)的傅里葉變換存在，那么可由虛指數(shù)信號(hào)ejwt(-<t<)的線性組合表示，即

由系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性，可推出信號(hào)f(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析根本概念2024/1/3197任意非周期信號(hào)通過(guò)連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)由積分特性由均勻性即Yzs

(jw)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析根本概念2024/1/3198幅度響應(yīng)相位響應(yīng)LTI系統(tǒng)把頻譜為F(jw)

的輸入改變成頻譜為H(jw)F(jw)的響應(yīng)，改變的規(guī)律完全由H(jw)

決定。Yzs

(jw)=H(jw)F(jw)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析根本概念H(jw)反映了系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)不同頻率分量的傳輸特性

H(jw)稱為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，定義為2024/1/3199結(jié)論：(1)在線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析中，無(wú)論時(shí)域、頻域的方法都可按信號(hào)分解、求響應(yīng)再疊加的原那么來(lái)處理，實(shí)質(zhì)相同。(2)頻域分析法與時(shí)域分析法不同處在于信號(hào)分解的單元函數(shù)不同。傅里葉變換的時(shí)域卷積定理是聯(lián)系兩者的橋梁。物理意義：4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析根本概念2024/1/31100解：利用傅里葉變換的微分特性，微分方程的頻域表示式為由定義可求得例描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

2024/1/31101例某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=(e-t-e-2t)ε(t)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jω)。解：

利用H(jw)與h(t)的關(guān)系4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

2024/1/31102利用傅里葉分析方法求解線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

2024/1/31103例描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3f'(t)+4f(t)，系統(tǒng)的輸入鼓勵(lì)f(t)=e-3tε(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。解：由于輸入鼓勵(lì)f(t)的頻譜函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)由微分方程可得故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs

(t)的頻譜函數(shù)Yzs(jw)為4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

2024/1/31104例：如下圖系統(tǒng)，條件如下，求輸出響應(yīng)。解:(1)4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

2024/1/311054.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

2024/1/31106連續(xù)周期信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)的響應(yīng)的頻域分析將周期為T的周期信號(hào)f(t)用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為利用虛指數(shù)信號(hào)ejnΩt作用在系統(tǒng)上響應(yīng)為4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

根據(jù)系統(tǒng)的線性特性，可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為2024/1/31107例：某LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)如圖，求f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)。解：設(shè)輸出y(t)→Yn4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

2024/1/31108直流基波二次諧波直流基波二次諧波4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)

2024/1/311094.8LTI系統(tǒng)的頻域分析優(yōu)點(diǎn)：求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，可以直觀地表達(dá)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后信號(hào)頻譜的改變，解釋鼓勵(lì)與響應(yīng)時(shí)域波形的差異，物理概念清楚。缺乏： 〔1〕只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)仍需按時(shí)域方法求解?！?〕假設(shè)鼓勵(lì)信號(hào)不存在傅里葉變換，那么無(wú)法利用頻域分析法?！?〕頻域分析法中，傅里葉反變換常較復(fù)雜。解決方法：采用拉普拉斯變換系統(tǒng)響應(yīng)頻域分析小結(jié)2024/1/31110無(wú)失真：系統(tǒng)的響應(yīng)與鼓勵(lì)相比，波形無(wú)任何變化，即：僅在幅度因子或出現(xiàn)時(shí)間上有變化，稱信號(hào)在傳輸過(guò)程中無(wú)失真。失真：系統(tǒng)的響應(yīng)波形與鼓勵(lì)波形不相同，稱信號(hào)在傳輸過(guò)程中產(chǎn)生了失真。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?024/1/31111信號(hào)失真原因4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?024/1/31112信號(hào)的失真有正反兩方面：如果有意識(shí)地利用系統(tǒng)進(jìn)行波形變換，那么要求信號(hào)經(jīng)系統(tǒng)必然產(chǎn)生失真。如果要進(jìn)行原信號(hào)的傳輸，那么要求傳輸過(guò)程中信號(hào)失真最小，即要研究無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?024/1/31113線性系統(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件波形無(wú)改變那么稱為無(wú)失真實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏敚瑧?yīng)滿足的條件4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?024/1/31114信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，諧波的相移與其頻率成正比。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏攷挓o(wú)限大2024/1/31115例：基波二次諧波為了使基波與二次諧波得到相同的延遲時(shí)間，以保證不產(chǎn)生相位失真，應(yīng)有4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?024/1/31116群時(shí)延概念4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析無(wú)失真?zhèn)鬏?024/1/31117理想濾波器的頻率響應(yīng)濾波器是指能使信號(hào)的一局部頻率通過(guò)(無(wú)失真?zhèn)鬏?，而使另一局部頻率通過(guò)很少的系統(tǒng)。

理想低通

理想高通

理想帶通

理想帶阻4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想濾波器2024/1/31118理想低通濾波器的頻域特性4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器

為截止頻率(Cutofffrequency)2024/1/311194.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器理想低通濾波器的頻域特性2024/1/31120

分析：1)h(t)的波形是一個(gè)取樣函數(shù)，不同于輸入信號(hào)d(t)的波形，有失真。

原因：理想低通濾波器是一個(gè)帶限系統(tǒng)，而沖激信號(hào)d(t)的頻帶寬度為無(wú)窮大。

減小失真方法：增加理想低通截頻wc。

h(t)的主瓣寬度為2p/wc，wc越小，失真越大。當(dāng)wc

時(shí)，理想低通變?yōu)闊o(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，

h(t)也變?yōu)闆_激函數(shù)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器理想低通濾波器的沖激響應(yīng)2024/1/31121

分析：2)h(t)主峰出現(xiàn)時(shí)刻

t=t0

比輸入信號(hào)d(t)作用時(shí)刻t=0延遲了一段時(shí)間t0

。t0是理想低通濾波器相位響應(yīng)的斜率。3)h(t)在

t<0的區(qū)間也存在輸出，可見(jiàn)理想低通濾波器是一個(gè)非因果系統(tǒng)，因而它是一個(gè)物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析理想低通濾波器理想低通濾波器的沖激響應(yīng)2024/1/31122取樣、取樣信號(hào)的概念取樣

利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取〞一系列的離散樣值fs(t)=f(t)·s(t)的過(guò)程。經(jīng)抽取后的一系列的離散信號(hào)fs(t)

。取樣信號(hào)fs(t)與取樣函數(shù)Sa(t)=sint/t是完全不同的兩個(gè)含義。取樣也稱為“采樣〞或“抽樣〞。取樣信號(hào)

4.9取樣定理根本概念2024/1/31123思考：1.取樣信號(hào)fs(t)的傅里葉變換什么樣？它和未經(jīng)取樣的原連續(xù)信號(hào)f(t)的傅里葉變換有什么聯(lián)系？2.連續(xù)信號(hào)被取樣后，它是否保存了原信號(hào)f(t)的全部信息？3.在什么條件下，可從取樣信號(hào)fs(t)中無(wú)失真地恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)f(t)？4.9取樣定理根本概念2024/1/311244.9取樣定理根本概念……沖激取樣(理想取樣〕取樣脈沖s(t)是沖激序列……矩形脈沖取樣(自然取樣〕取樣脈沖s(t)是矩形2024/1/31125設(shè)連續(xù)信號(hào)取樣脈沖信號(hào)取樣后信號(hào)采用均勻取樣，取樣周期為Ts，取樣角頻率為：取樣過(guò)程：取樣脈沖序列s(t)與連續(xù)信號(hào)f(t)相乘。即：4.9取樣定理取樣信號(hào)的傅里葉變換取樣信號(hào)的傅里葉變換2024/1/31126s(t)是周期信號(hào)，其傅里葉變換其中是s(t)的傅里葉系數(shù)根據(jù)頻域卷積定理