數(shù)學(xué)（江蘇A卷）2023年高考第三次模擬考試卷（全解全析）

2023年高考數(shù)學(xué)第三次模擬考試卷

數(shù)學(xué).全解全析

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)

在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)7三的虛部為（）

4+31

A.AB.-Ac.AD.-A

25252525

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求得力i=卷3+卷4"結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

i（4-3i）i3+4i34

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)個(gè)廣-=石+、

所以復(fù)數(shù)士i的虛部為4白.

4+3125

故選：A.

2.已知集合A=[x|±=40,xeZ},則集合A的真子集的個(gè)數(shù)為（）

[x-3

A.16B.15C.32D.31

【答案】B

【分析】先求出不等式的解集確定集合中元素，然后求出真子集的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】不等式言可化為解得:

-l<x<3,

Y+1

所以集合A=x|—-<0,xZ}={x|-l<x<3,xeZ}={-l,0,l,2}

Ix—3€

則其真子集的個(gè)數(shù)為24—1=15.

故選：B.

3.在MBC，1?布拓記?是”|左1w前「的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】本題考查向量的數(shù)量積

由數(shù)量積的定義有A8.AC=卜那4qcos(AB,AC)=卜8HACgs4

BABC=\BA\\閡COS〈BA,8C)=|fiA|-|BC|cosB

由AB.AC=BA.8。得|BAH8cleosB=|4卦|A4cosA

即18cleosB=|AC|cosA即sinAcosB-sinBcosA=0

所以sin(A_8)=0故4=8,所以a=b,即卜3=出4

即4比40=b4.8(2是卜。卜|84的充分條件；

若卜。=小4,則NB=/A,所以卜口854=|8。k。$8于是

A8.AC=卜即/cos(AB,AC)=卜酬4耳cosA

BABC=\BA\\BC|COS(BA,8C)=|?A|-|BC|COSB

所以AB-AC=BA-BC

即AB?AC=BA?BC是|AC卜|BC\必要條件

故A8-AC=BA?BC是|A?！籅C\的充要條件

故正確答案為C

4.將六枚棋子A,B,C,D,E,F放置在2x3的棋盤(pán)中，并用紅、黃、藍(lán)三種顏色的油漆對(duì)其進(jìn)

行上色(顏色不必全部選用)，要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子A,B的顏色必須相同，則一

共有()種不同的放置與上色方式

A.11232B.10483C.10368D.5616

【答案】C

【分析】進(jìn)行顏色分配，然后利用分類(lèi)原理的相加和分步相乘的原理進(jìn)行分析即可.

【詳解】①3個(gè)1,3個(gè)2,0個(gè)3如表：

121

212

只用兩種顏色，并選取兩個(gè)位置放A員此時(shí)有：A；（C；+C；）=36種,

②1個(gè)1,2個(gè)2,3個(gè)3如表：

132

323

選用三種顏色<1+2+3,且只用一次的顏色放在拐角），并選取兩個(gè)位置放48,此時(shí)有:

C〉A(chǔ)；.（C；+C；）=96種，或

313

232

選用三種顏色（1+2+3,且只用一次的顏色放在中間），并選取兩個(gè)位置放48,此時(shí)有:

C>A；.（C；+C；）=48種，

③2個(gè)1,2個(gè)2,2個(gè)3如表：

132

213

選用三種顏色（2+2+2）,并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：C；?A；=18種,

或

123

231

選用三種顏色（2+2+2），并選取兩個(gè)位置放AS此時(shí)有：C；?A；=18種,

所以不同的放置與上色方式有：

（36+96+48+18+18）A;?：=A,

故選：C.

5.等差數(shù)列｛4｝的公差為2,若4，%必成等比數(shù)列，則的=（）

A.-2B.-6C.-8D.-10

【答案】B

（分析］利用等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的基本量完成計(jì)算.

【詳解】由療=4q可得，（4+4）2=%（%+6）,

所以q=-8,々=-6,所以B正確；

故選：B.

6.在,A8C中，AB=AC,AO是其中線，且3c=2,AD=3,則AB-AC=（）

A.-8B.8C.-4D.4

【答案】B

【分析】由題意，根據(jù)三角形的性質(zhì)，結(jié)合向量的加法幾何意義以及數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案.

【詳解】由題意，AD^BC,ABAC=（AD+DB）（A￡>+DC）=AD2-￡>C2=9-1=8.

故選:B.

7.在三棱錐A-3CZ）中，AB=CD=6,AC=BD=5,AD=BC=7,M,N,P,。分別為棱A8,

CD,AD,8c的中點(diǎn)，則以下四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為（）

①直線MN是線段AB和CD的垂直平分線

②四邊形MQNP為正方形

③三棱錐A-BCD的體積為2回

④三棱錐A-BCD外接球的表面積為55"

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】將三棱錐A-58放置在長(zhǎng)方體中，得M、N分別是上下底面的中心，可

判斷①；求出過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)可得每一個(gè)面都為長(zhǎng)方形，由三角形中位線定理可得

MQ//AC,PN//AC,MQ=^AC,PN=^AC,AC與80不垂直，可判斷②;

由'方恨期c.必明一4九校標(biāo)foe可判斷③；由三棱錐A-BCD的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，且

長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是外接球的半徑，求出R可判斷④.

【詳解】

如圖，將三棱錐力-38放置在長(zhǎng)方體A。8c「AQ8c中，可得〃、N分別是上下底面的中心，則

MN±AB,MNLCD,則直線MN是線段AB和CD的垂直平分線，故①正確；

設(shè)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為X、,，、z,則

X1+y2=49X=y/\9

■y2+z2=36,解得<y=x/30,

x2+z2=25z=-s/6

所以過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)不相等，每一個(gè)面都為長(zhǎng)方形，

由三角形中位線定理可得MQ//AC,PN//AC,MQ=^AC,PN^AC,

得MQ"PN,MQ=PN,則四邊形MQNP為平行四邊形，又AC=B￡>,則四邊形MQNP為菱形，因

為每一個(gè)面都為長(zhǎng)方形，所以AC與①)不垂直，所以四邊形MQVP不是正方形，故②錯(cuò)誤；

三棱錐A-3CO的體積為

4V

“=/方惻WC-ADjBG-H^-ADc=V19x>/30xV6-4xlxlxVi9xV30xV6=2>/95,故③正確；

設(shè)三棱錐A-88的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，且長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是外接球的半徑，設(shè)為R,

貝ij4R2=/+y2+z2=55,所以經(jīng)過(guò)三棱錐A-8CD各個(gè)頂點(diǎn)的球的表面積為55萬(wàn)，故④正確.

故選：B.

X2+2x+\,x<0

8.已知函數(shù),〃幻=X,若函數(shù)y=/(/(x)-")-1有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

口—+l,x>0

是()

A.(1,1+-),1(2,3]B.(1,1+-)1(2,3]{3+-}

eee

C.(1,1+-)I[2,3){3+-}D.(1,1+-)(2,3]

eee

【答案】B

【分析】先求出函數(shù)/(x)-i的零點(diǎn)即可求得f(x)的值，再結(jié)合函數(shù)y=/(x)的圖象及要求的零

點(diǎn)個(gè)數(shù)求出m范圍得解.

【詳解】令y=^+i,%>o,丫'=一，因此，函數(shù)產(chǎn)之+1在@1)上單調(diào)遞增，在(1,侄)上單

eee

調(diào)遞減，

IX

x=l時(shí)，>2=1+-，且x>0時(shí)，=+1>1恒成立，

ee

當(dāng)x<0時(shí)，f(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

k―1時(shí)，〃x)mi?=0，f(x)在R上的圖象如圖，

當(dāng)x<0時(shí)，由/。)一1=0得x=-2,即x20,由/(x)-l=0得x=0,則有函數(shù)/。)一1的零點(diǎn)為-2,

0,

函數(shù)y=—l有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)/W-機(jī)=-2和/(X)-機(jī)=0共有三個(gè)零點(diǎn)，即

/(》)=加一2和，(方="共有三個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)，W-2>1+L即〃?>3+1時(shí)，/(彳)=，"-2和/")=加各一個(gè)零點(diǎn)，共兩個(gè)零點(diǎn)，

ee

當(dāng)%-2=1+!，即〃?=3+4時(shí)，f(x)=m-2有兩個(gè)零點(diǎn)，/5)=機(jī)有一個(gè)零點(diǎn)，共三個(gè)零點(diǎn)，

ee

當(dāng)l<m-2<l+2，即3<“<3+!時(shí)，/(幻=機(jī)一2有三個(gè)零點(diǎn)，/。)=機(jī)有一個(gè)零點(diǎn)，共四個(gè)零點(diǎn),

ee

當(dāng)()<加-2?1,即2〈加W3時(shí)，/(x)=，"-2有兩個(gè)零點(diǎn)，/。)=機(jī)有一個(gè)零點(diǎn)，共三個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)m—2=0,即機(jī)=2時(shí)，/。)=/-2和/(x)=機(jī)各有一個(gè)零點(diǎn)，共兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)機(jī)一2<0,即加<2時(shí)，f(x)=m-2無(wú)零點(diǎn),要y=/(/(x)-㈤T(mén)有三個(gè)零點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)/(x)=m

有三個(gè)零點(diǎn)，必有1<機(jī)<1+1，

所以實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是(1,1+31(2,3]{3+-}.

ee

故選：B

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的五個(gè)樣本點(diǎn)A(0,0)，4(2,2),4(3,2),4(4,2),4(6,4),用最小

二乘法得到其回歸直線4：亍=瓜+亂若過(guò)點(diǎn)A，4的直線公y=mx+n,則下列命題中正確的是

()

A.m>b<a>n

B.回歸直線4過(guò)點(diǎn)兒

2

c.E(y,-bx:-a)->^(y,-mx.-n)

1=11=1

5八.5

D.習(xí)》_然_021y一爪-〃|

【答案】AB

【分析】先求出4為y=0.6x+0.2,直線4的方程為尸x,再逐一分析判斷每一個(gè)命題真假即可

【■、詳M解E】?因E為、，-x=U十N+-S十4+6=3c,-y=U+Z十-十4=-2,所LL以l、，回rU歸直tf線4，過(guò)、4點(diǎn)一A4,cB正-T-確W.

5___

Zx/Txy

因?yàn)?=R......->所以5=0.6.因?yàn)?位，所以4=0.2,因?yàn)橹本€4過(guò)點(diǎn)A，&,所以公

i=\

=x

y9所以m=1,〃=0,所以加>B，a>n,A正確.

2

E(%-尻-@-=0.8,^(y;-/nx;-n)=9,C不正確.

i=l'i=l

5I八I5

2,-瓦?_@=1-6，Zly_?；_"|=5,D不正確.

(=11=1

故選：AB.

10.己知函數(shù)/(x)=sin(4x+q)+cos(4x-r),則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)的最大值為2

471

B./(%)在一『百上單調(diào)遞增

o12_

C./(%)在［0,用上有4個(gè)零點(diǎn)

D.把f(x)的圖象向右平移卷個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于直線x=-f對(duì)稱(chēng)

128

【答案】ACD

【分析】先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形得/(X)=2COS(4X-M1,然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】因?yàn)?。)=$3e+4_1-2)+時(shí)4萬(wàn)-看)=2呵4》-向，所以A正確；

當(dāng)曰時(shí)，?圖，函數(shù)/(x)=2cos(4x-g］在［-營(yíng),王上先增后減，無(wú)單

_O12JO|_30J107L12_

調(diào)性，故B不正確；

令285(41-二］=0,得4X一生=2+%》,&€2,故*=2+紅,4€2,因?yàn)楣［0,劃，所以4=0,1,2,3,

I6J6264

故C正確；

正確.

故選：ACD

11.“阿基米德多面體”也稱(chēng)為半正多面體，是由動(dòng)數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體

現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱

錐，得到的半正多面體的表面積為3+石，則關(guān)于該半正多面體的下列說(shuō)法中正確的是()

A.與A8所成的角是60。的棱共有8條

B.AB與平面8CD所成的角為30。

C.二面角A-8C-Z)的余弦值為-立

3

D.經(jīng)過(guò)A,B,C,。四個(gè)頂點(diǎn)的球面面積為2萬(wàn)

【答案】CD

【分析】補(bǔ)全該半正多面體得到一正方體.

對(duì)于A選項(xiàng)，由正三角形可得60。角，再利用平行關(guān)系得結(jié)果；

B選項(xiàng)，利用正方體找出線面角為NABE=45。；

C選項(xiàng)，先作出二面角的補(bǔ)角NAFE,在AAE尸中，求出cosNAFE="=且即可得結(jié)果;

AF3

D選項(xiàng)，由半正多面體的對(duì)稱(chēng)中心與相應(yīng)的正方體的對(duì)稱(chēng)中心為同一點(diǎn)，構(gòu)造三角形，求出球的半

徑，最后求得經(jīng)過(guò)A,B,C,。四個(gè)頂點(diǎn)的球面面積.

【詳解】補(bǔ)全該半正多面體得到一正方體，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。

由題意，該半正多面體是由6個(gè)全等的正方形與8個(gè)全等的正三角形構(gòu)成，由半正多面體的表面積

為3+￡,可得8x中x與a)+6x|=3+右，解得a=l.

對(duì)于A,在與AB相交的6條棱中，與A8成60。角的棱有4條，這4條棱中，每一條都有3條平行

的棱，故與AB所成的角是60。的棱共有16條，故A不正確；

對(duì)于B,因?yàn)锳EL平面BCD,所以A3與平面BCD所成角為/4BE=45。，故B不正確；

對(duì)于C,取BC中點(diǎn)凡連接所，AF,則有AFJ_BC,EFLBC,故二面角A-BC-O的補(bǔ)角為NA尸E.

二面角A-BC-。的余弦值為-cosNAFE,在放AAEF中，AE=-,EF=—,AE1EF,

24

AF=JAE:+EF°=、［+g=與,cosZAFE==—?-cosNAFE=,故C正確；

V484AF33

對(duì)于D,由半正多面體的對(duì)稱(chēng)中心與相應(yīng)的正方體的對(duì)稱(chēng)中心為同一點(diǎn)，即為正方體對(duì)角線的中點(diǎn)

。，點(diǎn)0在平面4BE的投影為投影點(diǎn)。，則有0。=：,4?=3，CAO=100：+AO；=鳥(niǎo),故經(jīng)

過(guò)A,B,C,。四個(gè)頂點(diǎn)的球面的半徑為面積為S=4乃（左］=2］，故D正確.

故選：CD

【點(diǎn)睛】立體幾何中補(bǔ)形是一種常用的方法：

（1）一個(gè)不規(guī)則幾何體是由規(guī)則幾何體經(jīng)過(guò)截取得到的，通?？梢杂醚a(bǔ)形，還原為規(guī)則幾何體，如正

方體，長(zhǎng)方體等；

（2）通?？梢杂脕?lái)求①體積（距離），②與外接球（內(nèi)切球）相關(guān)的問(wèn)題.

12.如圖，直線4〃，2,點(diǎn)A是44之間的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A到44的距離分別為1，2.點(diǎn)8是直線上

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交直線4于點(diǎn)C,G4+GB+GC=0,則（）

?

B./XGAB面積的最小值是§

c.|AG|>ID.GA-GB存在最小值

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)出C（九3）,5,G坐標(biāo)，根據(jù)AC1.4?及

GA+GB+GC=O即可找到三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，分別寫(xiě)出AG,；（A8+AC）即可判斷A；取A8中點(diǎn)

為F,連接CF,根據(jù)GA+GB+GC=O,可得G,C,F三點(diǎn)共線，且G為CF靠近尸的三等分點(diǎn)，

即可找到aGAB面積與二ABC面積之間比例關(guān)系，進(jìn)而建立aGAB面積等式，根據(jù)基本不等式即可

判斷B,求出,目再根據(jù)基本不等式可判斷C；寫(xiě)出G4GB進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)〃，的范圍即可得G4GB

最值情況.

【詳解】解：記AB中點(diǎn)為連接CF,以。為原點(diǎn)，

方向分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系：

所以A（0,2）,E（0,3）,設(shè)C（〃?,3）,B（〃,O）,G（x,y）,〃7,n,x,yeR,且機(jī),

所以4c=(/n,l),A3=(〃,-2),因?yàn)锳C_LAfi,所以AC-AB=O,

25，0),所以GA=(—x,2—y),

即加〃一2=0,故〃=—，即8

m

GB=),GC=(m-x,3-y),

2,八

—+m-3x=0

因?yàn)镚A+G8+GC=0,所以，m

5-3y=0

2

一+"i(2、(2

2n___一+加—4-m

x=m___5m___

解得一3,即G，所以AG=

3333

5

77

2

-4-m

因?yàn)間(A8+AC,-2+(n1)=m___

3~3

故AG=g(AB+AC),選項(xiàng)A正確；

因?yàn)镚A+GB+GC=O,所以GC=—(GA+GBb

即GC=-2GF，所以G,C,F三點(diǎn)共線，且G為b靠近尸的三等分點(diǎn),

所以S^GAB=；S&ABC=,I=［冊(cè)2+1,J*+4

加+121c1C21C2

m~H—7+2>—/2/m~—彳+2=一,

m23AVAVm23

當(dāng)且僅當(dāng)/=4，即機(jī)=±1時(shí)取等，所以選項(xiàng)B正確;

m

(2)

—卜mI

因?yàn)?G=七一，-］，所以%?=

當(dāng)且僅當(dāng)，=罐即3土夜時(shí)取等，故照露選項(xiàng)C正確;

(2、3

---m

5

因?yàn)镚A=_,GB=m___

33

23)

一+機(jī)一一m

5

所以G4-GB=m___m___

339

7

26.26/

m---y-1?tn"---y-o

~99-9~

因?yàn)榉玾R且6W0,所以加2>0,記=-6,x>0,

可知了(力單調(diào)遞增，沒(méi)有最值，即G4G8沒(méi)有最值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查向量的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于三角形三心的思路有：

(1)若G為A8C的重心，則①G是三邊中線的交點(diǎn)，②GA+G3+GC=0,③重心分三角形中線

為2:1；

(2)若。為ABC的內(nèi)心，則①。是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，@aOA+bOB+cOC=09③

'△BOC：^AAOC：S^BQA=。：〃：。；

(3)若。為_(kāi)43C的外心，則①。是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，②

sin

sin2A?OA+sin23?03+sin2coe=0，③S&BOC:S^AOC:S^BOA=2A:sin23:sin2C.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(f+2x-3)3的展開(kāi)式中含/項(xiàng)的系數(shù)是

【答案】3

【詳解】試題分析：三個(gè)小括號(hào)相乘，要得到項(xiàng)的話，每個(gè)小括號(hào)內(nèi)取一項(xiàng)，然后相乘即可.要得到

一項(xiàng)的系數(shù)，分成兩類(lèi)，(1)兩個(gè)二次項(xiàng)一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，即Cj(-3，=-9,(2)兩個(gè)一次項(xiàng)一個(gè)二次

項(xiàng)，即尊:

故含一項(xiàng)的系數(shù)是一9-H=3.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.

14.cos(a-?j=f,則sin2a的值為.

【答案】-43

4

【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式求出cos(2a-5TT)=-3再根據(jù)誘導(dǎo)公式可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閏os(a-?)=￥,所以cos[2(a-?)]=2cos2(a-.)-l=2x孝)-1=,

即cos(2a-工)=-3,所以cos(2-2a)=-3,所以sin加=-3.

24244

3

故答案為：

4

15.已知圓：/+>2-4萬(wàn)一6丫+12=0,點(diǎn)P(x,y)為圓上任意一點(diǎn)，則?的最大值____.

[答案]6+2,

3

【分析】設(shè)2=3考慮直線。尸：丫="，利用直線OP與圓有公共點(diǎn)可得％的最大值.

X

【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(X-2)2+(y-3『=1.

設(shè)j=3則方程丫="為直線。尸的方程，因點(diǎn)尸(X,y)為圓上任意一點(diǎn)，

所以直線0P與圓有公共點(diǎn)，

故甲一？41即女2-12Z+840,故9二班4kg上班

Jl+r33

故％的最大值為處還.

3

故填6t2小

3

【點(diǎn)睛】對(duì)于非線性規(guī)劃問(wèn)題，我們要注意兩個(gè)問(wèn)題：(1)可能平面區(qū)域是由直線和某些曲線(如

了=，等)，此時(shí)y>/(x)表示函數(shù)y=/(x)的圖像的上方，y</(x)表示函數(shù)y=/(x)的圖像的下

方；(2)目標(biāo)函數(shù)可能是非線性的，此時(shí)需考慮目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的幾何意義，比如非線性目標(biāo)函數(shù)上，

X

如果令2=3那么就有丫=辰，女的含義就是直線的斜率.

X

16.已知x,y?0,+8),且(l+x)(l+2y)=4,則三+/的最小值是一.

_Q

【答案】7

4

【分析】由基本不等式可得刈4g,設(shè)孫,g(〃)=]+：,利用函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閄，”(0,+8),且(l+x)(l+2y)=4,

所以l+x+2y+2盯=421+2J2盯+2肛,

設(shè)[二12xy>0,則1+2，+產(chǎn)<4,

廠+2，一3=(f—1//+3)W0,f<1,

即2沖41,xy<^,

設(shè)孫=〃e(0,；/\〃1

，g(〃)=5Z，

g'(")U<。

g(")=5+L在10，;上遞減,

zuIz_

9

41

畤+)最小值吟故答案吟

【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求最值，屬于難題.求最

值問(wèn)題往往先將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖

象法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其

單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求曲數(shù)的最值即可.

四、解答題：共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列｛4“｝滿足q=g,(?n+i+!)(??+l)=2a?+1,〃eN*.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式;

aaa<

(2)證明：對(duì)a,a2?3+?2?3?4++??+i?+2^-

【答案】(1)4=一[；(2)證明見(jiàn)解析.

n+i

【解析】(1)先由遞推公式結(jié)合題中條件，得到二一='+1,判斷出數(shù)列是等差數(shù)列，求出

"”+1an[4.J

通項(xiàng)，即可得出結(jié)果；

(2)先由(1),根據(jù)裂項(xiàng)的方法，得到對(duì)欠=1,2,3...

=(3+1)伏+2)("+3)=3(后+1)優(yōu)+2)-(1+2)(2+3)'進(jìn)而可求出

日4能+生生”4++44+4+2，即證明結(jié)論成立.

【詳解】(1)由(。e+1)(/+1)=2%+1可得-=+-,

1+a”

1a,八

V^=->0,.?.?2=77L->0,依此類(lèi)推，a“〉o

2l+q

數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，

：.—=n+\,即4=」■,

4n+1

(2)證明：an=-^—,故對(duì)人=1,2,3...

n+\

_________1_________j_r_____i_____________i

%%4+2-(k+1)仕+2)(1+3)―2(Z+1)伏+2)一(二+2)伍+3)

：.ala2a3+a2a3a4+.+a?an+lan+2

；島-￡)+(￡-總++((〃+1；〃+2)-("+2)；〃+3)

11111

-----------------<—

22^3("+2)(n+3)」12

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:

裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的常見(jiàn)類(lèi)型:

1111

(1)等差型一---,其中｛4｝是公差為d(d/O)的等差數(shù)列;

瑪%仆〃an+J

1\jn+k-4n

(2)無(wú)理型

石i+Nn+kk

(3)指數(shù)型(。-1)優(yōu)=小-心

(4)對(duì)數(shù)型log44T=log"〃+「log,".

an

18.(12分)_A5C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,J已知-ABC的外接圓半徑為R,旦

2月RsinA-sin3-bcosA=0.

(1)求NA；

、bsinC,,..

(2)若tanA=2tanB,求”+2bsin8-2csinC的彳,

【答案】(1)J；(2)-也.

610

【分析】(1)由正弦定理化簡(jiǎn)已知三角等式，根據(jù)sin8*0可得tanA=且，即可求出角A；

3

（2）由（1）可得tanB=3,利用2sinA=1及正弦定理將分式化簡(jiǎn)，再利用余弦定理化簡(jiǎn)分式得

6

-gtan（A+8）,最后利用正切和角公式代入tanA,lan8,可求出結(jié)果.

【詳解】(1)V2\/37?sinAsinB-6cosA=0,

由正弦定理得：2>/3/?sinAsin3—27?sinBcosA=0,

即sin8(GsinA-cosA)=0,

?.?B?0㈤,AsinB^O,

即得gsinA=cosA,tanA=—，

3

A￡(0,萬(wàn)),NA=—.

6

(2)由(1)知：tanA=,tanB=—―,sinA=］，

362

??2sinA=1,

/?sinC_2sinAbsinC

a+2〃sin3—2csinC2sinAa+2Z?sinB-2csinC

absinC

a*1+b2-3c1

由余弦定理得:

hsinCsinC1「1,/4

=------=—tanC=——tan(A+3)

+2Z?sinB-2csinC2cosC22

1tanA+tanB3>/3

=——x------------——----

21-tanAtanB10

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、

轉(zhuǎn)化與化歸以及運(yùn)算求解能力，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角的互化，屬

于中等題.

19.（12分）某醫(yī)院計(jì)劃從10名醫(yī)生（7男3女）中選5人組成醫(yī)療小組下鄉(xiāng)巡診.

（1）設(shè)所選5人中女醫(yī)生的人數(shù)為九求J的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）現(xiàn)從10名醫(yī)生中的張強(qiáng)、李軍、王剛、趙永4名男醫(yī)生，李莉、孫萍2名女醫(yī)生共6人中選

一正二副3名組長(zhǎng)，在張強(qiáng)被選中的情況下，求李莉也被選中的概率.

【答案】（I）分布列見(jiàn)解析，=|3（2）不2

【分析】（1）利用超幾何分布求得J的分布列并由此計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.

（2）先計(jì)算出“張強(qiáng)被選中”的概率，在計(jì)算出“張強(qiáng)和李莉被選中”的概率，根據(jù)條件概率計(jì)算公式

計(jì)算出所求概率.

1

【詳解】解：（1）依題意4的所有可能的取值為0,1,2,3,則尸（4=0）=n

噂=1)=譽(yù)4，P("2)=譽(yù)《，尸("3)=警='

CqoiZHo1Zjo

所以4的分布列為

0123

1551

P

n121212

所以石儲(chǔ))=0X-L+1XA+2X9+3X~L=3

v7121212122

（2）記“張強(qiáng)被選中''為事件A,“李莉也被選中”為事件3,

則P⑷喑吟4吟唱*

所以「⑻A）=需=1.

20.（12分）如圖1,在直角梯形ABC。中，ABCD,ABJ.BC,AB=2BC=2CD=4,E是AB

的中點(diǎn).沿DE將VA￡?E折起，使得如圖2所示.在圖2中，M是48的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線

段BC上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B,C不重合）.在圖2中解答下列問(wèn)題：

（1）證明：平面EMV_L平面ABC；

（2）設(shè)二面角M-EN-B的大小為8求tand的取值范圍

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵tan夕e（夜,+oo）

【分析】(1)證明AE_L平面8C￡>￡,平面得到平面ABC,得到證明.

(2)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面EMN的法向量為勺=(f,-2,-f),平

面E8N的法向量為%=(0,0,1),根據(jù)向量的夾角公式得到tan2，=]+l,計(jì)算得到答案.

【詳解】(1)ZXAEB中，AE=EB,歷時(shí)48中點(diǎn)，故EMJ_A8,

AELBE,AE1,DE,DECBE=E,故AE_L平面BCDE,

3Cu平面8CZ5E,故AEJ.BC,又BCLBE,AElBE=E,

故5C1平面AE8,0V/u平面AE8,故￡M_L8C,ABoBC=B,

故而，平面ABC,EMu平面EMN,故平面EMN_L平面ABC.

(2)如圖所示，分別以￡B,E￡>,￡A分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則王(0,0,0),5(2,0,0),4(0,0,2),M(1,0,1),N(2,f,0),re(0,2),

n,EM=((z,b,c)-(l,0,l)=a+c=0

設(shè)平面EMN的法向量為〃?=(a,b,c),

'%-EN-(a,b,c)-(2,t,0)=2a+bt-0

取“=，，則，?1=。,一2,-。.

取平面EBN的法向量為%=(0,0,1),

二面角的平面角為銳角，大小為6,則cos<9=J?J=/,

同.阿，2*+4

21,2廠+44/門(mén)

tan'0n=—弓——1=------1=—+1,fw(0,2),

cos23t2t2'"

故tai?。e(2,+oo),故tanOe(尤,+8).

21.(12分)已知雙曲線M與橢圓':方+丁=1有相同的焦點(diǎn)，且“與圓C:d+y2=i相切.

⑴求M的虛軸長(zhǎng).

⑵是否存在直線/,使得/與M交于A,3兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為P(4,6)?若存在，求/的斜率;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)26

⑵存在，2

【分析】(1)根據(jù)題意得出雙曲線方程后求解；

(2)中點(diǎn)弦問(wèn)題，可用點(diǎn)差法，化簡(jiǎn)后得到斜率，然后代回檢驗(yàn).

(1)

因?yàn)闄E圓N:《+產(chǎn)=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0)

所以可設(shè)"的方程為￡--J=l(“>0).

a-4-a

因?yàn)镸與圓C:/+y2=i相切，所以a=l,

則〃=4_〃2=3,故”的虛軸長(zhǎng)北=26.

(2)

由(1)知，M的方程為產(chǎn)-匕=1.

3

2

y=1