第12章-二叉樹模型

第八章二叉樹模型單步二叉樹模型與無套利定價風(fēng)險中性定價兩步二叉樹模型及其推廣賣出期權(quán)的定價美式期權(quán)的定價Deltau和d的選取支付股息的股票期權(quán)的定價2一個簡單的二叉樹模型當(dāng)前的股票價格為$203個月后股票價格變?yōu)?22或$18StockPrice=$18StockPrice=$22Stockprice=$203StockPrice=$18OptionPrice=$0StockPrice=$22OptionPrice=$1Stockprice=$20OptionPrice=?買入期權(quán)一份買入期權(quán)在3個月后的執(zhí)行價為$21.

4考慮如下的組合: D

份股票的多頭； 1份買入期權(quán)的空頭

當(dāng)22D–1=18D，即D=0.25，組合是無風(fēng)險的。22D–118D構(gòu)建一個無風(fēng)險組合5組合的估值

(假定無風(fēng)險利率為12%)無風(fēng)險的組合是: 0.25份股票的多頭；

1份買入期權(quán)的空頭這一組合在三個月之后的價值為：

22*0.25–1=4.50組合的現(xiàn)值為：

4.5e–0.12*0.25=4.36706期權(quán)的定價組合是：

0.25份股票的多頭

1份買入期權(quán)的空頭

總價值為4.367股票的價值為

5.000(=0.25*20)因此，期權(quán)的價值為

0.633(=5.000–4.367)7推廣

假定期權(quán)的期限為T，且該期權(quán)的價值依賴于股票的價格。S0u

?uS0d

?dS0?8推廣（續(xù)）考慮一個包含了D份股票多頭和1份期權(quán)空頭的組合。

組合是無風(fēng)險的，當(dāng)S0uD

–?u

=S0dD

–?d

，也就是S0uD

–?uS0dD

–?d9推廣（續(xù)）組合在T時刻的價值為：S0uD

–?u組合的現(xiàn)值為：(S0uD–?u)e–rT當(dāng)前組合現(xiàn)值的另一個表述為：S0D–f因此有：

?=S0D–(S0uD

–?u

)e–rT

10推廣（續(xù)）將D帶入上述方程，可得

?=[p?u+(1–p)?d]e–rT

其中，

11將p看成一個概率我們很自然的就會將p和1-p

看成是向上變動和向下變動的概率。但是，需要注意的是，在上一個公式中，我們并沒有涉及到股票價格上漲或下跌的概率。例如，當(dāng)股票價格上漲的概率為0.5和當(dāng)股票價格上漲的概率為0.9時，我們得到的歐式期權(quán)價格是一致的。我們很自然的會認(rèn)為，當(dāng)股票價格上漲的概率增大時，期權(quán)的價格應(yīng)當(dāng)上升；反之，應(yīng)當(dāng)下降。造成注意現(xiàn)象的原因是，我們并不是在一個絕對的條件下對期權(quán)進(jìn)行定價，我們是根據(jù)股票價格來計算期權(quán)的價格的。而未來股票的漲跌概率實際上已經(jīng)包括在股票價格之中了。因而，我們不需要再次考慮股票的價格了。

將p看成一個概率因此，期權(quán)的價值等于風(fēng)險中性世界里的預(yù)期收益按照無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)的值。S0u

?uS0d

?dS0?p(1

–p)13風(fēng)險中性定價當(dāng)股價上升或下降的概率分別為p和1-p時，T時刻預(yù)期的股價為S0erT。這表明股票價格獲得了一個無風(fēng)險收益。

E(ST)=pS0u+(1-p)S0dE(ST)=pS0(u-d)+S0dE(ST)=S0erT二叉樹的結(jié)果表明，在為期權(quán)定價時，我們可以假定預(yù)期收益是無風(fēng)險的，且以無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)。這就是所謂的風(fēng)險中性定價。14再論二叉樹模型的例子

因為p是假定股票能夠獲得一個無風(fēng)險收益時的概率，因此，我們有

20e0.12*0.25=22p+18(1–p)

解之得，

p=0.6523此外，我們還可以使用如下公式，S0u=22

?u=1S0d=18

?d=0S0

?p(1

–p)15使用風(fēng)險中性定價方法給期權(quán)定價

期權(quán)的價值為：

e–0.12*0.25(0.6523*1+0.3477*0)

=0.633S0u=22

?u=1S0d=18

?d=0S0?0.65230.347716股票預(yù)期收益的無關(guān)性當(dāng)我們?yōu)橐蕾囉谀骋毁Y產(chǎn)的期權(quán)定價時，真實世界上升和下降的概率并不重要。例如，假設(shè)現(xiàn)實世界里股票的期望收益為16%，P*為現(xiàn)實世界股票價格上漲的概率。那么，

22p*+18(1-p*)=20e0.16*3/12p*=0.7041現(xiàn)實世界里，期權(quán)的期望收益為，

p*1+(1-p*)*0=0.7041顯然，這一結(jié)果與無套利定價方法得出的結(jié)果相悖。17兩步二叉樹

每一步的步長為3個月K=21,r=12%20221824.219.816.218買入期權(quán)的定價

B結(jié)點的價值為

e–0.12′0.25(0.6523′3.2+0.3477′0)=2.0257A結(jié)點的價值為

e–0.12′0.25(0.6523′2.0257+0.3477′0)=1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF19一個賣出期權(quán)的例子K=52,步長

=1yrr=5%

504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF20美式期權(quán)的定價

美式期權(quán)的定價過程是從樹的末尾出發(fā)以倒推的形式推算到樹的起點，在樹的每一個節(jié)點都需要檢驗提前形式期權(quán)是否為最優(yōu)。在樹的最后節(jié)點上，期權(quán)的價格等于歐式期權(quán)的價格。505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF21DeltaDelta(D)為期權(quán)價格的變化同股票價格變化之間的比率，它是當(dāng)我們賣出一份期權(quán)時，為構(gòu)造無風(fēng)險組合而需要持有的標(biāo)的股票數(shù)量。節(jié)點和節(jié)點之間的D并不相同。選擇u和d在實際中，為了描述股票價格異動而構(gòu)造的二叉樹，我們會選擇u和d來使樹形與股票價格的波動率相吻合。為了說明這一問題，我們假設(shè)股票（在現(xiàn)實世界中）的期望收益為，波動率為。二叉樹上移動一步的步長為DtS0uS0dS0P*(1

–p*)S0uS0dS0p(1

–p)選擇u和d在現(xiàn)實世界中，第一步期末股票價格的期望是。在二叉樹上，相應(yīng)的價格為p*S0u+(1-p*)S0d，為了使股票價格的收益期望值與二叉樹的參數(shù)一致，則上式必須等于，即在二叉樹上，股票收益的協(xié)方差應(yīng)當(dāng)為p*u2+(1-p*)d2-[p*u+(1-p)*d]2為了使股票價格的波動率與二叉樹的參數(shù)一致，必須是上式等于，因此有24選擇u和d

Cox,Ros