2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)試卷【含答案】

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題1.設(shè)集合，U為整數(shù)集，（）A. B.C. D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A.-1 B.0· C.1 D.23.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的（）A.21 B.34 C.55 D.894.向量，且，則（）A. B. C. D.5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，為前n項(xiàng)和，，則（）A.7 B.9 C.15 D.306.有50人報(bào)名足球俱樂(lè)部，60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部，若已知某人報(bào)足球俱樂(lè)部，則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部概率為（）A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.17.“”是“”（）A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件8.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（）A B. C. D.9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)選擇種數(shù)為（）A.120 B.60 C.40 D.3010.已知為函數(shù)向左平移個(gè)單位所得函數(shù)，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.411.在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（）A. B. C. D.12.己知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.二、填空題13.若為偶函數(shù)，則________．14.設(shè)x，y滿足約束條件，設(shè)，則z的最大值為_(kāi)___________．15.在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為_(kāi)___________．16.在中，，，D為BC上一點(diǎn)，AD為的平分線，則_________．三、解答題17.已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項(xiàng)和，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18.在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距離為1．（1）求證：；（2）若直線與距離為2，求與平面所成角的正弦值．19.為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）．（1）設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）測(cè)得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）對(duì)照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0102.7063.8416.63520.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．（1）求；（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．21.已知（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍．四、選做題22.已知，直線（t為參數(shù)），為的傾斜角，l與x軸，y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，．（1）求的值；（2）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程．23.已知．（1）求不等式解集；（2）若曲線與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為2，求．1.A．2.C.3.B.4.D.5.C.6..7.B.8.D.9.B.10.C.11.C.12.B．13.214.1515.1216.．17.因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．因?yàn)椋?，，兩式相減得，，，即，．18.如圖，底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，過(guò)作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距離為1，，在中，，設(shè)，則，為直角三角形，且，，，，，解得，，，，過(guò)B作，交于D，則為中點(diǎn)，由直線與距離為2，所以，，，在，，延長(zhǎng)，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，，平面，又平面，則在中，，，在中，，，,又到平面距離也為1，所以與平面所成角的正弦值為.19.依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對(duì)照組第一排數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)組第二排數(shù)據(jù)即可，可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.20.設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)椋獾茫海驗(yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)椋?，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．21.令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.22.因?yàn)榕c軸，軸正半軸交于兩點(diǎn)，所以，令，