無錫市2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷附答案解析

無錫市2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷

一、單選題

1.已知直線乙：a廣2y=0與直線乙：2A+（2a+2）產(chǎn)1=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.-2B.—C.1D.1或-2

3

2.在平行六面體/戈力-4?q2中，然與切的交點(diǎn)為M設(shè)麗=萬，布=5,不=^，則麗=（）

A.-^d+-^b+cB.a-^b+cC.^a+^b+cD.-^a-^b+c

3.在平面直角坐標(biāo)系x%中，點(diǎn)（0,4）關(guān)于直線X-尸1=0的對稱點(diǎn)為（）

A.（-1,2）B.（2,-1）C.（1,3）D.（3,1）

4.已知點(diǎn)8是4（3,4,5）在坐標(biāo)平面x密內(nèi)的射影，則I而|=（）

A.衣B.向C.5D.5&

5.已知圓G：（x—5）2+（y—3）~=9,圓。2：x?+y~—4x+2y—9=0,則兩圓的位置關(guān)系為（）

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

6.已知必是2與8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線片=1的離心率是（）

m

A.也或BB.73C.好D.G或好

222

22

7.橢圓三+2L=1的一個(gè)焦點(diǎn)為尸，過原點(diǎn)。作直線（不經(jīng)過焦點(diǎn)尸）與橢圓交于力，8兩點(diǎn),若△力協(xié)

4520

的面積是20,則直線的斜率為（）

4345

A.i—B.±-C.士—D.士-

3454

8.1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》.他在書中收錄了一些有意思的問題，其中

有一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雌一雄），而每1對小兔子出生后的第

3個(gè)月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用月7表示第〃個(gè)月的兔子的總對數(shù)，則

有行=Ei+4一2（〃>2）,耳=乙=1.設(shè)數(shù)列｛a〃｝滿足：a〃=:二工方典，則數(shù)列仿〃｝的前36項(xiàng)和為（）

A.11B.12C.13D.18

二、多選題

9.關(guān)于無窮數(shù)列｛a〃｝,以下說法正確的是（）

A.若數(shù)列仿〃｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，則｛反｝也是等比數(shù)列

B.若數(shù)列｛a〃｝為等差數(shù)列，貝收,｝也是等差數(shù)列

an

C.若數(shù)列仿〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且｛底｝是等差數(shù)列，則｛四｝為等差數(shù)列

D.若數(shù)列｛a〃｝為等差數(shù)列，則依次取出該數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成的新數(shù)列一定是等差數(shù)列

10.關(guān)于曲線C：x2+y2=2\x\+2\y\,下列說法正確的是（）

A.曲線C圍成圖形的面積為47+8

B.曲線C所表示的圖形有且僅有2條對稱軸

C.曲線C所表小的圖形是中心對稱圖形

D.曲線C是以（1,1）為圓心，2為半徑的圓

11.正四棱錐尸-43CQ所有棱長均為2,。為正方形A3CD的中心，E,F分別為側(cè)棱的中點(diǎn)，則

（）

A.OF//AP

B.直線BE與尸。夾角的余弦值為立

6

C.平面QEF〃平面PDC

D.直線與平面P8C所成角的余弦值為且

3

12.已知點(diǎn)尸在雙曲線鳥-4=1上，F(xiàn)t,居分別是左、右焦點(diǎn)，若的面積為20,則下列判斷正確

169

的有（）

A.點(diǎn)一到x軸的距離為gB.歸周+|「用=三

C.為鈍角三角形D.2F,PFT

三、填空題

13.己知"=（3,a+6,a-b）（a,b^R）是直線/的方向向量，月=（1,2,3）是平面。的法向量，

若。，則5尹6=—.

14.已知拋物線Gy=2px（p>0）上的點(diǎn)2（1,%）（盟>0）到焦點(diǎn)的距離為2,則P=_.

15.已知F?月是雙曲線C；J--/=1（a>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是雙曲線C上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），

過E作/尸,根的角平分線的垂線，垂足為。是坐標(biāo)原點(diǎn).若舊以=6|陽，則雙曲線。的方程為一.

四、雙空題

16.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù).用一點(diǎn)（或一個(gè)小石子）代表1,兩

點(diǎn)（或兩個(gè)小石子）代表2,三點(diǎn)（或三個(gè)小石子）代表3,…他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正

方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）.如前四個(gè)四棱錐

數(shù)為第〃個(gè)四棱錐數(shù)為1+4+9+…+//=〃（〃+1,2〃+1）.中國古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋

O

數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二

層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…若一個(gè)“三角垛”共有20層，則第6層有一個(gè)球，這個(gè)“三角垛”

共有個(gè)球.

2

五、解答題

17.定義：設(shè)是空間的一個(gè)基底，若向量％=R+y3+z&,則稱有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)為向量力在

基底下的坐標(biāo).已知,,反"｝是空間的單位正交基底，,+反3-反￡+22｝是空間的另一個(gè)基底，

若向量方在基底｛￡+瓦］反￡+2"｝下的坐標(biāo)為(1,2,3).

(1)求向量7在基底｛￡￡"｝下的坐標(biāo);⑵求向量萬在基底侮瓦同下的模.

18.已知圓C：x2+/-2x+2y-7=0,圓C與x軸交于46兩點(diǎn).

(1)求直線尸x被圓。所截得的弦長；

⑵圓"過點(diǎn)4B,且圓心在直線y=rH上，求圓"的方程.

19.已知等差數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和為如，數(shù)列｛加｝滿足：點(diǎn)(〃，bn)在曲線y=不上，&=6”—，數(shù)

列｛g｝的前〃項(xiàng)和為Tn.

從①S'=20,②S,=2a”③3a「a,=Z＞?這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題的橫線上并作答.

(1)求數(shù)列｛a〃｝,｛加｝的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在正整數(shù)上使得》＞母，且必＞：?若存在，求出滿足題意的在值；若不存在，請說明理由.

168

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E的焦點(diǎn)為片(-6,0),6(6,0),且過點(diǎn)(6,5),橢圓E的上、

下頂點(diǎn)分別為48,右頂點(diǎn)為。，直線/過點(diǎn)。且垂直于x軸.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

3

⑵若點(diǎn)。在橢圓E上(且在第一象限)，直線AQ與/交于點(diǎn)N,直線B。與x軸交于點(diǎn)試問:

QM|+2|￡)M是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

21.如圖，在平行四邊形/版中，AB=1,BC=2,N48e60°,四邊形北廝為正方形，且平面48a讓平面

ACEF.

(1)證明：ABVCF,

(2)求點(diǎn)C到平面廢尸的距離；

(3)求平面戚與平面｛小夾角的正弦值.

22.已知拋物線Gx?=4y的焦點(diǎn)為凡過廠的直線與拋物線C交于45兩點(diǎn)，點(diǎn)"在拋物線C的準(zhǔn)線上,

MFLAB,SXAFM=XSXBFM.

(1)當(dāng)4=3時(shí)，求|/曲的值；

(2)當(dāng)46［3,2］時(shí)，求|礪+麗］的最大值.

4

1.B

【分析】由題意，利用兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時(shí)，一次項(xiàng)對應(yīng)系數(shù)之積的和等于0,計(jì)算求得a

的值.

【詳解】?.?直線乙：a戶2尸0與直線心2戶(2a+2)片1=0垂直，

2

，aX2+2X(2a+2)=0,求得a=-§,故選：B.

2.B

【分析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出.

【詳解】如圖所示，

D、M=RD+DM=RD+萬DB=DQ+3(DA+℃),

又DQ=2,DA=-b?反=￡，AD^M=^a-^b^c故選：B.

3.D

【分析】設(shè)出點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線x—六1=0的對稱點(diǎn)是(包⑸，

a6+4

------+1=0

a=3

?，故選：D.

a

4.C

【分析】先求出6(3,4,0),由此能求出I而

【詳解】解：?.?點(diǎn)5是點(diǎn)4(3,4,5)在坐標(biāo)平面〃ry內(nèi)的射影，...6(3,4,0),

WJIOBI=>/32+42+02=5.故選：C.

5.C

【分析】求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和與差的關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系.

【詳解】圓G：(*-5)2+。-3)2=9的圓心為&(5,3),半徑彳=3,

圓C?：X2+J2-4X+2J-9=0,即(x-2)2+(y+l)2=14,圓心G(2,T),半徑弓=9，

5

兩圓的圓心距|GCj=J(5—2)2+[3—(—l)]2=5,顯然舊-3<5<g+3,即4一弓<《。2卜4+小

所以圓G與圓C2相交.故選：C

6.A

【分析】利用等比數(shù)列求出處然后求解圓錐曲線的離心率即可.

【詳解】解：加是2與8的等比中項(xiàng)，可得加=±4,

當(dāng)m4時(shí)，圓錐曲線為雙曲線《=1,它的離心率為：e=￡=逐，

4a

當(dāng)獷-4時(shí)，圓錐曲線片一片=1為橢圓*2+匕=1,離心率：正，故選：A.

加42

7.A

【分析】分情況討論當(dāng)直線48的斜率不存在時(shí)，可求面積，檢驗(yàn)是否滿足條件，當(dāng)直線4?的斜率存在時(shí),

可設(shè)直線用的方程y=kx,聯(lián)立橢圓方程，可求的面積為S=2S.呼代入可求k.

【詳解】由橢圓二+廣=1,則焦點(diǎn)分別為E(—5,0),4(5,0),不妨取尸(5,0).

4520

①當(dāng)直線四的斜率不存在時(shí)，直線彼的方程為x=0,此時(shí)46=4后,

SAABF)=^?4??5=gx4/'義5=106，不符合題意；

②可設(shè)直線四的方程

...△4即的面積為S=2S“”,=2X；X5X=20,；.〃=±金.故選：A.

2"4+9公3

8.B

【分析】由奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)可知，數(shù)列｛用｝中片，F(xiàn)〃,羯,F⑵L,為偶數(shù)，其余

為偶數(shù)

項(xiàng)都為奇數(shù),再根據(jù)an—■即可求出數(shù)列｛a〃｝的前36項(xiàng)和.

0,居為奇數(shù)

【詳解】由奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)可知，數(shù)歹I」｛為｝中%F?,&F,2,L,Em為偶數(shù),其余

6

項(xiàng)都為奇數(shù)，.?.前36項(xiàng)共有12項(xiàng)為偶數(shù),

數(shù)列｛an｝的前36項(xiàng)和為12X1+24X0=12.故選:B.

9.AD

【分析】利用等比數(shù)列的定義可判斷A,利用特例可判斷B,利用5“與勺的關(guān)系可判斷C,利用等差數(shù)列的

性質(zhì)可判斷D.

【詳解】對于A,若數(shù)列｛a〃｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，則&=(?,則有咨=&,即｛&“｝也是等比數(shù)列，A

正確；

對于B,設(shè)即?=〃，數(shù)列｛四｝為等差數(shù)列，但｛'｝不是等差數(shù)列，B錯(cuò)誤；

an

對于C,數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和為且｛瘋｝是等差數(shù)列，不妨設(shè)E=p〃+q,則S“=p2〃2+2pw+g2,

當(dāng)2時(shí)，a“=Sn-S“_\=p2n2+2pqn+q2-^p2(n-\)2+2pq(n-\)+q2^=2p2n+2pq-p2,

當(dāng)〃=1時(shí)，＜1)=S,=p2+2pq+q~,二當(dāng)“22時(shí)，??-??-i=2/?2,

222

Xa2=3p+2pq,=p+2pq+q,a,-《=2p?-q?不一定等于2P?,

；?｛a〃｝不一定為等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；

對于D,若數(shù)列｛a〃｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,依次取出該數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成的新數(shù)

列為｛%“｝，

有%,,一%(“f=7d,則組成的新數(shù)列一定是等差數(shù)列，D正確；故選：AD.

10.AC

【分析】根據(jù)曲線解析式特征畫出圖形，逐一判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】曲線C：9+9=2國+2例如圖所示：

對于A：圖形在各個(gè)象限的面積相等，在第一象限中的圖形，是以(1,1)為圓心，夜為半徑的圓的一半加一

個(gè)直角三角形所得，5,=1乃x(&『+；x2x2=%+2,所以曲線C圍成圖形的面積為S=41=4萬+8,故

A正確；

對于B,由圖可知，曲線c所表示的圖形對稱軸有X軸，y軸，直線y=x,直線y=-x四條，故B錯(cuò)誤;

對于C,由圖可知，曲線C所表示的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對稱的中心對稱圖形，故C正確；

7

對于D,曲線C的圖形不是一個(gè)圓，故D錯(cuò)誤.故選：AC

11.BCD

【分析】對于A和C運(yùn)用立體幾何相關(guān)性質(zhì)和定理直接判斷；對于B和D運(yùn)用空間向量法結(jié)合相關(guān)公式即

可判斷.

【詳解】對于A,因?yàn)镺FIIPD,PDHPA=P,所以。尸不會(huì)平行于AP,故A錯(cuò)誤；

對于B,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，08為）'軸，。尸為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

貝|J8（O,及,0）,A（>/2,0,0）,尸（0,0,0）,q中,0,，，D（0,-V2,0）,

（22）

麗=（￥，-四，4],PD=（0,-72,-72）,

\BEPD\173

所以直線BE與尸。夾角的余弦值為\cos^BE,PD)|=故B正確;

\BE\-\PD\~>/3->/4~6

對于C,由題意得a7/AB〃CD,

因?yàn)镋Fu平面。所，CD（Z平面。琦"所以C?！ㄆ矫?。以"

同理可得PD〃平面OEF,又因?yàn)镃￡>,P￡>u平面HX?,CD[}PD=D

所以平面OEF〃平面尸DC,故C正確；

對于D,由已知得序=（（）,"-&）,注=（-&,0,-⑹，而=（0,-⑹

n-PB=y/2y-42z=01

設(shè)平面P8C的一個(gè)法向量。=（x,y,z）取x=l,得〃=(1,-1,-1),

n-PC=_&x->/2z=0

設(shè)直線P。與平面PBC所成角為凡由圖可知。則sin6=43!=咋=坐，

I2；|PD|-|n|2A/33

所以直線尸。與平面23（7所成角的余弦值為8$。=/-（立）2=乎，故D正確.故選：BCD.

12.BC

8

【解析】根據(jù)雙曲線的方程、定義與性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積求出P的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式、斜率

公式以及余弦定理，對選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】由雙曲線方程得4=4,b=3,則c=5,

由△P6K的面積為20,得;x2cx|yp|=；xlO|力|=20,得|%|=4,即點(diǎn)尸到x軸的距離為4,故A錯(cuò)誤，

將1?1=4代入雙曲線方程得|x,|=g,根據(jù)對稱性不妨設(shè)P(g,4),則|尸鳥|=得不:?=?,

由雙曲線的定義知IP用T%l=2a=8,則|P4|=8+13=當(dāng)37，

133750

則|「甲+|「鳥|=1+可=§,故B正確，

4-0^12

在△WK中，IP/-|=^>2c=10>|P/-|=^,則以L亓二=NP//為鈍角，

33----J

3

則△2耳鳥為鈍角三角形，故C正確，

1337

cosNFPF=1"『+11瑪『一|耳十|2=(|Pf；|-|P旦|)2+2|Pf；||PK]-100=64Top+2**

2~

'_2\PF\\\PF-.\2\PK\\PK\2X13X37

33

_36_18x9I

*2xl3x37=l-U757，,則錯(cuò)誤，故正確的是BC,故選：BC.

93

【點(diǎn)睛】本題主要考查與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的命題的真假判斷.這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，

同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖

掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命

題.

13.36

【分析】根據(jù)方向向量和平面法向量的定義即可得出"〃為，然后即可得出等=一=3,然后求出a,b

的值，進(jìn)而求出5的值.

【詳解】V7±a,：.iilln,

.a+ha-b-15,3.廣，753”“公―、r…

.?一--=---=3,解得。=彳，〃=一7,..5a+h=———=36.故答案為：36.

232222

14.2

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.

【詳解】解：???拋物線G/=2px(p>0)上的點(diǎn)尸(1,%)(%>0)到焦點(diǎn)的距離為2,

...由拋物線的定義可得，1+g=2,解得p=2.故答案為：2.

15.87-7=1

【分析】延長月〃與陰，交于《，連接陽由三角形的中位線定理和雙曲線的定義、垂直平分線的性質(zhì),

結(jié)合雙曲線的a,b,c的關(guān)系，可得雙曲線方程.

9

【詳解】解：延長Q〃與朋，交于人,連接。/,

由題意可得以為邊傷的垂直平分線，則I陰1=1掰I,

且〃為"的中點(diǎn)，I如=gl相I,

由雙曲線的定義可得I月/-I月初=|朗-祇1=1為m=2a,

則0H\=a,又歸凡|=6|明，所以2c=6a,即c=3a,b=招_公=2板a,

又雙曲線C-.—2~y~1，知b=1)所以a=2y/2所以雙曲線的方程為8/-/=1.

故答案為：87-/=1.

16.211540

【分析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到%=l+2+3+L+〃=

*2,由此可求％的值，以及前20層的總球數(shù).

【詳解】由題意可知，4=1,。2=。1+2=1+2,。3=。2+3=1+2+3,…，

+〃=1+2+3+?一+71,

,..1CCI〃5+1)1)1LL

故fa”=l+2+3+L+〃=---=所。6

所以S0=a/+a2+a3+a“+……+a?0=/(1"+22+3-;+……+20")+/(1+2+3+……+20)

=：IX2——0x(2-0-+-1-)-x(2-x-2-0-4---1-)-+1-X20-(2-0--+-1)-=1540.乂故協(xié)答心案生為：21；1540.

2622

17.(1)(6)-1,6)(2)5/73

【分析】(1)根據(jù)向量,在基底M+54-5,￡+22｝下的坐標(biāo)為(1,2,3),得出向量,在基底｛￡,￡"｝下的坐

標(biāo)；

(2)根據(jù)向量,在基底｛251｝下的坐標(biāo)直接計(jì)算模即可.

(1)因?yàn)橄蛄咳f在基底｛。+瓦〃-瓦。+2。｝下的坐標(biāo)為(1,2,3),

則萬=(￡+5)+2(￡-5)+3(￡+2")=6方一5+6"所以向量萬在基底｛￡,及"｝下的坐標(biāo)為(6,-1,6).

10

⑵因?yàn)橄蛄糠皆诨?尻號下的坐標(biāo)為(6,7,6),

所以向量7在基底忖石工｝下的模為例=162+(7)2+62=加.

18.(1)277;(2)(x-l)2+(y-2)2=12.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合垂徑定理，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.

(2)根據(jù)己知圓的方程，令y=0,結(jié)合韋達(dá)定理，求出圓心的橫坐標(biāo)，即可求出圓心，再結(jié)合勾股定理,

即可求出半徑.

(1)?.,圓Gx2+/-2x+2y-7=0,A(x-1)2+(y+l)2=9,即圓心為(一1,1),半徑r=3,

?.?直線尸人即x一尸0,

I—1—11

，圓心(一1,1)到直線x-y=0的距離d=也

直線y=x被圓C所截得的弦長為2,尸_/=2>/^=I=2幣.

（2）設(shè)/（X”%）,B5,%■）,

?.,圓GY+y2_2x+2y_7=0,圓。與x軸交于48兩點(diǎn)，.?.V-2x—7=0,

2

則%,+x2=2,xlx2=-7,\x,—x2\=yl（xt+X2）-4X,X,=4夜，

.?.圓心的橫坐標(biāo)為x=a生=1,

2

?.?圓心在直線y=^l上，.?.圓心為(1,2),.?.半徑7=^22+(罕了=2道,

故圓"的方程為(x-l)2+(y-2)2=12.

19.(1)條件選擇見解析；an—2n,切=2,(2)不存在，理由見解析.

【分析】(1)把點(diǎn)(〃，加)代入曲線尸彳可得到物=吸"，進(jìn)而求出a“設(shè)等差數(shù)列｛a〃｝的公差為d,

選①￡=20,利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可求出4從而得到a〃；

若選②S=2a3,利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可求出4從而得到a〃；

若選③3a,-a,=",利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式公式可求出d,從而得到a〃；

(2)由(1)可知S〃=(1+加,-^=-再利用裂項(xiàng)相消法求出。=1-一］，不

2，〃〃+1〃+1

115

----->一

k+l16無解，即不存在正整數(shù)上使得看>與且必

等式

168

25'*>-

8

3232一

（1）解：1,點(diǎn)（〃，bn）在曲線y=￥■上，/./??=—=2J/?,C.ai—b4—Tl=2,

11

設(shè)等差數(shù)列｛a〃｝的公差為d,

4x3

若選①2=20,則2=4x2+——-d=20,解得〃=2,.*.<?/?=2+2(〃-1)=2〃；

2

若選②S=2a?,則S?=&+a升a.?=2a：?,?,*2+電=a,,

.??2+2+〃=2+2d,解得d=2,/.an=2+2(/?-1)=2/?；

若選③3a3-函='則3(?+2d)-(&+4d)=25'2=8,

???2?+2d=8,艮|J2X2+2d=8,:?d=2,：.an=2+2(/?-!)=2/7；

⑵解：由⑴可知s〃=貼押=或產(chǎn)=〃。+加

?Snn(l+〃)n〃+1

?115

1-------->—Q>15

假設(shè)存在正整數(shù)k使得窗>與，且必>：,.?."I*,即:>；,此不等式無解，

1682“*>1〔"<8

8

...不存在正整數(shù)上使得心與，且獨(dú)二.

168

20.⑴:+丁=1(2)|。叫+2|￡>及為定值，該定值為2

【分析】(D先根據(jù)焦點(diǎn)形式設(shè)出橢圓方程和焦距，根據(jù)橢圓經(jīng)過和半焦距為3易得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程；

(2)設(shè)。(燈％),分別表示出直線AQ,8Q方程，進(jìn)而求得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，點(diǎn)M橫坐標(biāo)，即可表示出

\OM\+2\DN\,即可求得答案.

(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，

22

所以設(shè)橢圓E：\+方=l(a>—>0),焦距為2c(c>0),

因?yàn)闄E圓E經(jīng)過點(diǎn),焦點(diǎn)為耳(-6,0),鳥(73,0)

所以\+，=1,。2=/-〃=(石『=3,解得“2=4,從=1,所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+丁=1；

⑵設(shè)。5,為),由橢圓的方程可知??+巾=1(%>0,%>0),

因?yàn)椤?2,0),則直線/:x=2,

由己知得，直線AQ8Q斜率均存在，則直線AQ:y=四二x+1,令人=2得%二^+1，

與不

12

直線BQ:y=為土L-1,令〉，=0得%=—

因?yàn)辄c(diǎn)。在第一象限，所以|。叫=2()'。-1)+],|0必=一替，

則|OM|+21ON|=—+%%二—+2=跖+4芯_-4+2

1111%+1M/(%+1)

又因?yàn)?+火=1,即片+4y；-4=0,所以|OM+2|?V|=2.所以|0切+2]。7|為定值，該定值為2.

21.(1)證明見解析；⑵且；(3)五.

24

【分析】(1)利用余弦定理計(jì)算4C,再證明AB_LAC即可推理作答.

(2)以點(diǎn)/為原點(diǎn)，射線48,AC,分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算

點(diǎn)。到平面龐戶的距離.

(3)利用(2)中坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角余弦值，進(jìn)而求解作答.

(1)在QABC。中，月氏1,除2,N/吐60°,由余弦定理AC2=AB2+8C2—2AB-8CcosZA8c得，

AC2=12+22-2X1X2COS60=3,即AC=6，AC2+AB2=4=BC2,則NB4C=90',即A8_LAC,

因平面4及力_L平面〃ES平面ABC￡>n平面ACE/=AC,A8i平面ABC。，

于是得平面ACEF,又CFu平面ACEF,所以A8_LCF.

(2)因四邊形力呼為正方形，即AFLAC,由(1)知A3,AC,AF兩兩垂直，

以點(diǎn)/為原點(diǎn)，射線48,AC,4尸分別為x,八z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

A(0,0,0),8(1,0,0),C(0,瓜0),F(0,0,后),0(-1,瓜0),E(0,瓜6),

麗=(0,6,0),游=(-1,0,6),設(shè)平面的'的一個(gè)法向量5=(3,y,zj,

n-FE=^y.=0_「

則｛—廠，令4=1,得〃=(6,0,1),

n-BF=-尤|+J3Z|=0

—l_\n-BC\l-lx^lG

而8c=(-1,6,0),于是得點(diǎn)C到平面啊?的距離4==](6)2+,=5'

13

所以點(diǎn)C到平面應(yīng)尸的距離為也.

2

（3）由（2）知，標(biāo)=（0,0,6）,標(biāo)=（-1,行,0）,設(shè)平面仞F的一個(gè)法向量正=（9,當(dāng)，Z2），

ffi-AF=JJz,=0__

則〈一一廣，令％=1,得碗=（石,1,0）,

m-AD=-x2+y/3y2=0

.一,一、m'nxx/3