非線性振動漫談

課程名稱小組成員學院系別專業(yè)年級任課教師振動理論小組報告課程名稱小組成員學院系別專業(yè)年級任課教師振動理論工程科學學院近代力學系理論與應(yīng)用力學2012級陳海波2015年1月3日非線性振動漫談1:概述牛頓方程建立以來，人們應(yīng)用線性微分方程研究物體的運動，取得了許多重要的成果。實際上，不僅是力學，還包扌舌其他物理學領(lǐng)域，人們長期研究的主要是線性理論。自20世紀60年代以來，人們在實驗研究中發(fā)現(xiàn)，在自然科學的許多領(lǐng)域都存在一些線性理論無法解釋的現(xiàn)象，開始是非線性振動，后來又在流體力學和聲學領(lǐng)域，接著是伴隨激光而誕生的非線性光學...非線性向人們展示了一副令人驚奇、甚至是不可思議的圖景。本文首先宏觀得介紹非線性現(xiàn)象及其與線性系統(tǒng)的不同點，然后初步介紹非線性振動的兩類求解方法，一類是定性的方法或稱幾何法，用以判定一個系統(tǒng)的發(fā)展趨勢，主要是其穩(wěn)定性問題；另一類是定量的方法，主要有平均法，迭代法與攝動法等。由于定量法設(shè)計的數(shù)學知識比較復(fù)雜，且數(shù)學推導很麻煩，因此本文將把重點放在定性求解上。2：非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的對比從數(shù)學的角度看，線性系統(tǒng)有兩個顯著的特點：一個特點是，因為自變量與函數(shù)之間的關(guān)系是線性的，因而自變量的變化率與函數(shù)的變化率之間成確定的比例。例如，函數(shù)夕=ax+b,它對自變量x是線性的，則由可見，當時，也有另TO。這意味著函數(shù)值對自變量的取值精確度不敏感，亦即相應(yīng)于自變量的微小變化，函數(shù)值也只會產(chǎn)生微小的變化。而一般的非線性系統(tǒng)，對初始值具有高度的敏感性，著名的蝴蝶效應(yīng)就是典型的例子,意思是說，今天在巴西的熱帶雨林里有一只蝴蝶偶爾拍打了一下翅膀，可能在兩個星期后,就在美國的德克薩斯州引起一場龍卷風。天氣的演化對初始值如此敏感，因此長期的天氣預(yù)報是不可能的。線性系統(tǒng)的另一個特點是，系統(tǒng)的整體性質(zhì)可以由組成它的各個子系統(tǒng)的代數(shù)疊加得出，這就是所謂的線性疊加原理。如杲一個系統(tǒng)可以分解為若干相對獨立的子系，則線性關(guān)系表明的是，只要各個子系的行為都已知，則系統(tǒng)的所有行為就是所有子系的簡單疊加。從這里可以看出，線性系統(tǒng)是由若干互不相干的獨立子系組成的，線性關(guān)系就是來源于各個獨立子系的獨立貢獻。于此對照，非線性系統(tǒng)的各個子系之間有著不可忽略的相互作用，因而在非線性的情況下，爭情就變得復(fù)雜多了。下面以洛倫茲方程為例子，簡單得說明非線性現(xiàn)彖對初值的高度敏感。1963年美國麻省理工學院的氣彖學專家洛倫茲在研究天氣預(yù)報問題時，將異常復(fù)雜的人氣對流偏微分方程化簡后，得到一組常微分方程X=—10x4-1Oy?(1)<y=28x—y—xz?Sz=-_Z4-xy這一方程已成為混沌理論的經(jīng)典方程，即著名的洛倫茲方程。洛倫茲當時使用的是真空管電子計算機，通過數(shù)值計算求解這一方程，因為計算費時太多，為避免每次從頭算起，他把每次計算的中間結(jié)果打印下來。使他驚異的是，在重復(fù)上次計算結(jié)果的過程中，知識開頭一小段與上次結(jié)果一致，但很快就越來越偏離上次的結(jié)果。他意識到，他的這一組方程并不是線性的故不遵從傳統(tǒng)線性理論下的規(guī)律，而是對初值具有高度的敏感性。除了對初值極為敏感這一點以外，洛倫茲方程的解(圖2)也顯出很奇異的特性。從圖2可以看到，方程的解總體由兩個壞套組成，像三維空間中的某種雙螺旋，又像蝴蝶的兩個翅膀，這種結(jié)構(gòu)稱為奇怪吸引子，因為它們吸引相平面的相點，但所有的相點又都永遠到不了壞套的中心。從圖中看，每一個環(huán)套上都分布著細密的軌線，軌線一層層纏繞，在一個壞套上轉(zhuǎn)幾圈，又跑到另一個換套上，完全無法預(yù)料什么時候從一個壞套跑到另一個環(huán)套上。而且,這些軌線盡管緊密纏繞，但從不相交。從軌線的這些特征可以明顯看到，洛倫茲方程的長期行為是無法預(yù)測的。圖2：洛倫茲吸引子3：非線性振動的求解方法3.1非線性振動的定性分析方法3.1.1狀態(tài)空間及狀態(tài)方程將廣義坐標q（t）與J'?義速度q（t）組成一個向量{q1,q2,...,qix; ?稱為狀態(tài)向量,其各個分量稱為狀態(tài)變量，狀態(tài)向量所存在的空間，稱為相空間或狀態(tài)空間。狀態(tài)向量的端點，稱為“狀態(tài)點”，其運動軌跡稱為相軌跡或軌線，軌線的總體稱為相圖。通過相空間中一點，一般只會有一條軌線，因此其各條軌線不會相交（個邊點除外），而整個相圖紋理井然，便于分析，因此非線性系統(tǒng)的幾何理論經(jīng)常在相空間展開。以狀態(tài)變量作為基本變量可得到狀態(tài)方程，多自由度的運動方程一般可以寫為q(t)二^(q1q2,q3,...,qn；qpq2,q3,-,qn；t),i=l,2,3,...,n為此令xi=Qi>耳+乂=Qi,i=1,2,…,n（3）而狀態(tài)向量成為(4)因此多自由度的運動方程一般可以寫為Xx（t）=普（耳卷,…,Xk；t},i=l,2，…⑴（5）方程（5）稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，這是2n個變量的一階微分方程組。對于一組確定的初始條件

x1(0)=?1,i=l,2,...,2n(6)可以證明方程(5)有惟一的解。這表明通過狀態(tài)空間中一個確定的點，一般只有一條確定的軌線。3.1.2平衡點及平衡點的穩(wěn)定性狀態(tài)空間中{x}h{°}的點稱為普通點或正則點，而????<x}={Xl,X2,...,X2n}T={Xi(^,X2>...,X2n)}={0}⑺的點稱為奇點或平衡點。在平衡點上，所有的狀態(tài)變量的變化率対(1=1,2…，2門)均為0,因而狀態(tài)變屋不會改變。其結(jié)果是系統(tǒng)只能靜止在原來的位置上，不可能運動。如果平衡點不在原點，那么按下式進行坐標平移：(8)就可以將原點平移到平衡點上。平衡點可以分兩類,即穩(wěn)定的平衡點和不穩(wěn)定的平衡點，其差別并不在于平衡點本身的狀態(tài),而在于系統(tǒng)在略為偏離平衡點時的運動趨勢是趨向于回到平衡點，保持在平衡點附近運動還是趨向于偏離該平衡點越來越遠。相應(yīng)的，該平衡點分為漸進穩(wěn)定，僅穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的,其中前兩種平衡點又稱為穩(wěn)定的平衡點。3.13單自由度自治系統(tǒng)狀態(tài)方程在平衡點領(lǐng)域的線性化。如果狀態(tài)方程(5)的右邊不顯含時間t,即Xi(t)= = (9)則狀態(tài)空間的流場是定常的，這種系統(tǒng)叫做自治系統(tǒng)。單自由度系統(tǒng)的狀態(tài)方程式如式(10)所示(10)X1=Xiaq,X2),X2=乂2(絡(luò)，馮)(10)設(shè)平衡點的坐標為X1=apXj=a2代入式(10)得(11)Xi= a?)=0,X2= (a】，a?)=0(11)由于XI,X2是非線性函數(shù)，一般會得到關(guān)于31/32的多組解，即可能有多個平衡點，我們總可以采用(8)所示的坐標變換，將坐標原點移到任何一個平衡點，因而不失一般性我們可以認為平衡點即為原點，即al=a2=0,而在原點附近將狀態(tài)方程式(10)展開為式中(12)ay=式中(12)ay=(13)勺是二階以上的微量。如略去這些高階微量，并采用矩陣記法有

此式在原點(平衡點)附近近似地成立。一下分析此式所代表的近似線性系統(tǒng)在原點附近的相圖的幾何特性，并按之對平衡點進行分類。3.1.4平衡點領(lǐng)域中的相圖及平衡點的類型式(14)表明系統(tǒng)在平衡點附近的動態(tài)特性由矩陣⑻確定，這里假定[a]是非奇異矩陣。為了研究次矩陣對平衡點附近的相圖性質(zhì)的影響，對相平面進行線性變換，其目的是將⑻變?yōu)楸M可能簡單的形式。若記{x}二[b]{u}(15)其中[b]是一非奇異的變換矩陣：｛u｝是新的狀態(tài)變量。對于新的狀態(tài)變量｛u｝的狀態(tài)方程[a][b]{u}=[c]{u}(16)[a][b]{u}=[c]{u}(16)其中[c卜[b「】[a][b][c],[a]兩矩陣稱為相似矩陣。相似矩陣具有相同的特征值。矩陣[a]的特征值滿足以卜方程:a】i_兄an二。a21玄三一兄展開上式，得到關(guān)于入的二次代數(shù)方程組：尤-(尙+a22)；l+(aiia22_ai2a2i)=0(17)求解可得出兩個特征值入1，入2.這兩個特征值有以下三種情形，對于每一種情形，都可以選擇適當?shù)淖儞Q矩陣[b],使得[c]矩陣化為最簡單的約當(Jordan)形入1,入2是相異的實數(shù)，此時有[c]=[b「[a][b卜卜.(18)式(16)成為

其解為1片=1加工=1屛（20）如果入2〈入1〈0則在原點附近的相圖如圖2所示。這種情況下，相平面（ul,u2）的原點稱為節(jié)點。從相圖上可見，從原點附近的所有點出發(fā)的軌線都單調(diào)地趨向原點。因此，此節(jié)點是漸進穩(wěn)定的。如果入2>入1>0,軌線的形狀任與圖2相同,但所有的箭頭需反向，我們得到不穩(wěn)定的結(jié)點。如果入2<0<X1則相圖如圖3所示，這時的原點稱為鞍點，鞍點總是不穩(wěn)定的。圖3鞍點（2）如果入1,入2是相等的實數(shù)。則c的約當標準型有兩種:[c]=AA[c]=AA對于第一種情況，解為4=4001112=1/6創(chuàng)(22)這時原點仍為結(jié)點，但相軌跡成為過原點的直線，這種結(jié)點稱為邊界結(jié)點。且當入1<0時是穩(wěn)定的，而當入1>0是不穩(wěn)定的。至于式(21)所示的第二種情況，將得到一種退化的結(jié)點，軌線為曲線，仍然是入1<0時是穩(wěn)定的，而入1>0是不穩(wěn)定的如果入1,入2是共軌復(fù)數(shù)，令入1二(a+ip)，入2二(a-ip),a,0為實數(shù)，其解為做線性變換做線性變換以(23)式中的ul,u2代入式(24),并記ulOu2O=uO,得^(iioeTsinQt'V^QiocTcosQt⑵)在(vl,V2)平面上這時一對數(shù)螺旋線，如圖4所示，0的符號確定螺旋線的旋向：0>0,為逆時針方向；P<0,為順時針方向。a的符號則決定是向內(nèi)旋，還是向外旋，即決定平衡點的穩(wěn)定性：a<0,向內(nèi)旋，漸進穩(wěn)定；a>0向外旋，不穩(wěn)定。圖3是a<0,0<0的情況，這種類型的平衡點稱為螺旋極點或焦點。在平衡點為焦點的情況卞，其附近的軌線以衰減振蕩的方式趨于平衡，或以增幅振蕩的方式，偏離平衡點。當a二0時，軌線稱為圖5所示的同心圓，這種平衡點稱為中心，屬于僅穩(wěn)定。圖5中心圖圖5中心基于以上的討論與分析，可以不必求出［a］的特征值，而直接按［a］的元素來判斷平衡點的類型。若記坷|+%2=p,ana22-a12a21=q,A=p2-4q奇點的不同類型由參數(shù)P和D完全確定，只要這兩個參數(shù)確定了，則系統(tǒng)奇點的類型就確定奇點類型和這兩個參數(shù)的關(guān)系可以歸納如卜:A>0q>0結(jié)點<A<Q<q<0A>0q>0結(jié)點<A<Q<q<0鞍點p=0中心pHO焦點“p<0p>0p<0穩(wěn)定結(jié)點不穩(wěn)定結(jié)點穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點3.2非線性振動的定量分析方法3.2.1解析求解法非線性振動問題很難嚴格求解，但有限擺幅的單擺問題卻是一個成功的例子。設(shè)單擺的質(zhì)屋m,擺長為I。選取擺線偏離鉛垂線的角度e為廣義坐標，以8=0點為勢能零點，體系的拉格朗口函數(shù)為L=imZ262-mgl(l-cos0)=imZ2e2-2mglsm2|因為器=0,所以廣義能量枳分（這里就是機械能）守恒，即otimZ262+2mglsm2-=E022設(shè)初始條件為e=e°且e=o,代入上式得Eo=2mglsin2—2因而di為了求得系統(tǒng)的周期T,我們將上述方程在te[o￡]和66[00/0]為了求得系統(tǒng)的周期T,取負號，可變形為?ode0o?ode0odugJodugJo心一以sin%全亍K(k)(2)d9=(1)e2做變換sin|=Ksinu,06[0,0O],uG[o冷]其中K=sil占則式（1）變?yōu)槠渲衵、f2duK(k)= 「JoVl—K2sin2u是第一類橢圓積分。式(2)表明，人振幅單擺的周期與振幅有關(guān)。為具體考察T與6。的關(guān)系，將式(2)展開成以的幕級數(shù),得KX)=畀+(霽2+(拎2/+￡.持+…]所以T=2ir匸(1+-sin2—+—sin4—H—)y]g\4 2 64 2 )可見，當振幅60?1時，上式中的S曲2単以后的高次項均可略去，得到與振幅無關(guān)的小振動的周期T=2ir然而隨著振幅的增人，sin2^以后的高次項不能忽略，T隨％的増人而增大。下表是具體的數(shù)值計算結(jié)果。表1：不同擺幅下嚴格解與零階近似的周期比較0o/°1257.22422.81304590 180T/1.00001.00001.00041.00101.01001.01741.03991.1803 8T。28800174由上表中數(shù)據(jù)可以看出，在精度要求一般時，比如1%精度，要求初始擺動角不超過22.81°即可，這是一個很容易滿足的要求。但如果要求精度再增加一個數(shù)量及，如在用單擺測量重力加速度實驗中，則％必須小于7°,實際操作時務(wù)必注意這一限制。此外，如呆?。ト?80°時，表中的周期為無窮大，但這僅有數(shù)學上的意義。因為它對應(yīng)一個不穩(wěn)定平衡的初始位置，而實際情況下總會有各種因素打破這一不穩(wěn)定平衡。3.2.2.微擾法微擾法又稱逐級近似法攝動法，它適于求解形如X+co02x=f(x,x)的振動方程，其中非線性項|/(%,%)|?td02%,可將其視為對線性方程的擾動或攝動，為表示微擾的數(shù)量級，我們引入?yún)⒘俊?將上式寫成x+cu02x=ef(x,x)(3)微擾法的基本做法是：令%和s的n階近似解為(%=Xo+ +E2X2+■■?+EnXn(co=O>0+￡(jOl+￡2(j02H F￡nd>n其中￡%和0?(i=l,2,…,n)為對零階近似解勿和如的i階微擾。將上式代入式(3)中,使等式兩側(cè)￡同級幕的系數(shù)相等，就得到關(guān)于各階％和3的一組方程，從零階開始逐級求解這些方程(求解第i階方程時，把零到i-1階的解作為己知條件)，便可以得到原方程的n階近似解。下面我們?nèi)砸匀藬[幅擺動的單擺為例，說明微擾法的應(yīng)用。從單擺的拉格朗口方程易知其運動微分方程為d+ysill0=0 (4)將sine做幕級數(shù)展開sin&=e-抨+盒滬一…取到e的三次項，式(4)近似為d+a>o26=a03其中如=占,a=ajQ2/6.上式可以看成是線性方程0+too20=O的解再加上小量a/的微小修正后得到的。為了明確表示數(shù)量級，引入￡，將上式變成O+a)Q2O=Ea03(5)假定只求二階近似解，則令0=Oq+￡&]+8^02co=a)0+ecoi+e2co2代入式(5),得@()+801 — —￡2￡()2)2(&0+￡0^+異&+ &2)'略去￡的三次以上項，比較上式等號兩側(cè)同為日，』和E2的項，分別得到零階，一階和二階(歹0+CO20q=0近似方程分別為｛ +co20l=2COCOX0Q+aOQ3 (6)VO2+ =-CDi^Oq+2C0C01&1+26O6O2&0+3cl0q^0零階近似即常規(guī)的小振動單擺的結(jié)果為00—力0cos(a)t+卩)其中4。和。為待定常量。將上式代入式(6)中第二式，則01+a)20i=2a)a)iAQcos(a)t+卩)+aA03cos3^a)t+<p)利用三倍角公式化01+0)28]=3 3(2coco1j4o+乂:J)cos(o)t+<p)+弓-cos3(et+<p)(7)如果我們將該方程的右側(cè)部分視為策動力項，則其中的第一項的頻率與左側(cè)的固有頻率都是3,由于這里不存在任何耗散，此策動力將產(chǎn)生振幅無窮人的共振，除非該項的系數(shù)為零,即3aA032&)0)^0H =0所以3aAQ23=_ 丄 8a)于是式(7)簡化為.. -ciAq^0i+a)2址=—-—cos3(cot+(p)4易解其特解為(通解己經(jīng)包含在零階近似解中，不必再考慮)3%=AiCOs3(3t+0),Al=-^采用類似但繁瑣的步驟，可以得到二階近似卞的求解結(jié)果。首先，為去掉不符合實際情況的發(fā)散型共振，要求—3ciAqAy2Aq^8a)8a)因而二階微分方程簡化為。2+ =“331+嚴0Ticos3(3t+y)+3fl^ cos5(o)t+(p)解得02=i42cos3(cot+<p)+F2cos5(cot+<p)A_(4cucui+3a4o2)4iD_aAo2Ai&2=02=_-系數(shù)可進一步簡化為=3o%ip二a%52 — 1024- 1024』于是我們得到二階近似下的總解為8=&0+&1+&2=Aqcos(cot+cp)+(4丄+i42)cos3(cot+<p)+F2cos5(cot+<p)=久cos^t+0+(-；；：；l：；/：：)cos33+初+需咅cos5(加+0)一般情況下沒有必要求解更高階近似，因為作為問題的出發(fā)點的運動微分方程中僅精確到a的一階項。最后，有初始擺角為弘和角速度為零的條件，即卜谿cos3葉議討S50"。Aqsin</>+(-sin5°=03ai4028co3a4o3,9a24o\?o,5a240532w2+1024cu4^Aqsin</>+(-sin5°=03ai4028co以及頻率關(guān)系21a%4-4-256to3聯(lián)合求解各階振幅，初位相和頻率（實際計算時町用迭代法求快捷解）。卜表是不同初始擺角下二階近似解與解析解周期的比較。由表可知，直到初始擺角達到人約15°,二階近似解與嚴格解的誤差才有10-5,即使擺角增加到90°,誤差也僅為1?6%°表2：不同擺幅下二階近似解與嚴格解的周期比較00/°14.2520304590T1.000011.000041.000201.001031.01576/%值得指出的是，微擾法中引入￡來表達階數(shù)，只是為了方便區(qū)分各階小量，所以一旦各階量求得后，在表達總量時就可以舍棄它了。3.2.3求解非線性方程的數(shù)值分析方法數(shù)值分析方法就是對非線性系統(tǒng)進行數(shù)值積分，在時域內(nèi)把響應(yīng)的時間歷程離散化，對每一時間步長內(nèi)可按線性系統(tǒng)來進行計算，并對每一步的結(jié)果進行修正。這種方法又稱為逐步積分法或直接積分法。數(shù)值分析方法得到廣泛應(yīng)用一個原因是因為非線性分析理論發(fā)展的不完善性，對很多問題無法進行理論上的分析；另一個原因是數(shù)值分析理論的發(fā)展和計算工具性能的提高使得數(shù)值分析成為可能。常用的數(shù)值分析方法有紐馬克（Newmark）法、威爾遜（Wilson）法、Runge—Kutta法等。由于篇幅有限這里不再詳細介紹。3