新教材-人教A高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)全冊(cè)各章測(cè)驗(yàn)及模塊綜合測(cè)驗(yàn)-習(xí)題含解析

人教A必修第二冊(cè)各章綜合測(cè)驗(yàn)1、平面向量及其應(yīng)用 -1-2、復(fù)數(shù) -11-3、立體幾何初步 -17-4、統(tǒng)計(jì) -30-5、概率 -41-模塊綜合測(cè)驗(yàn) -52-1、平面向量及其應(yīng)用(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·aA．6 B．5C．1 D．－6A[由向量數(shù)量積公式知，(2a＋b)·a2．設(shè)非零向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則向量a，b的夾角為()A．150° B．120°C．60° D．30°B[設(shè)向量a，b夾角為θ，|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，則cosθ＝－eq\f(1,2)，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故選B．]3．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b與a共線，則a·b的值為()A．1 B．2C．3 D．4A[a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b與a共線，∴3k－(k＋2)＝0，解得k＝1.]4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c.若b2＋c2－a2＝eq\f(6,5)bc，則sin(B＋C)的值為()A．－eq\f(4,5)B．eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5)D．eq\f(3,5)B[由b2＋c2－a2＝eq\f(6,5)bc，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(3,5)，則sin(B＋C)＝sinA＝eq\f(4,5).]5．已知點(diǎn)A，B，C滿足|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up7(→))|＝5，則eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))的值是()A．－25 B．25C．－24 D．24A[因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up7(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|2＝9＋16＝25＝|eq\o(CA,\s\up7(→))|2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝0＋eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\o(AC,\s\up7(→))2＝－25.]6．已知A(7,1)，B(1,4)，直線y＝eq\f(1,2)ax與線段AB交于點(diǎn)C，且eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)a等于()A．2 B．1C．eq\f(4,5) D．eq\f(5,3)A[設(shè)C(x，y)，則eq\o(AC,\s\up7(→))＝(x－7，y－1)，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(1－x,4－y)，∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(CB,\s\up7(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝21－x，,y－1＝24－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))∴C(3,3)，又∵C在直線y＝eq\f(1,2)ax上，所以3＝eq\f(1,2)a×3，∴a＝2.]7．如圖，在△ABC中，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up7(→))，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ＋μ的值為()A．eq\f(4,9)B．eq\f(8,9)C．eq\f(2,3)D．eq\f(4,3)B[∵eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up7(→))，∴eq\o(AP,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，又eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，∴λ＝eq\f(2,3)，μ＝eq\f(2,9)，∴λ＋μ＝eq\f(8,9).]8．已知點(diǎn)M是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的內(nèi)切圓內(nèi)(含邊界)一動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))的取值范圍是()A．[－1,0] B．[－1,2]C．[－1,3] D．[－1,4]C[建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)M(x，y)，其中A(－1，－1)，B(1，－1)，易知x2＋y2≤1，而eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝(－1－x，－1－y)·(1－x，－1－y)＝x2＋(y＋1)2－1，若設(shè)E(0，－1)，則eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝|eq\o(ME,\s\up7(→))|2－1，由于0≤|eq\o(ME,\s\up7(→))|≤2，所以eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝|eq\o(ME,\s\up7(→))|2－1的取值范圍是[－1,3]，故選C．]二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．對(duì)任意向量a，b，下列關(guān)系式中恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2ACD[|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正確；由向量的運(yùn)算法則知C，D正確；當(dāng)b＝－a≠0時(shí)，|a－b|＞||a|－|b||，故B錯(cuò)誤．故選ACD．]10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝eq\f(π,6)，a＝2，c＝2eq\r(3)，則角C的大小是()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6) D．eq\f(2π,3)BD[由正弦定理可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以sinC＝eq\f(c,a)sinA＝eq\f(\r(3),2)，而a＜c，所以A＜C，所以eq\f(π,6)＜C＜eq\f(5,6)π，故C＝eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π.]11．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足B＝eq\f(π,3)，a＋c＝eq\r(3)b，則eq\f(a,c)＝()A．2 B．3C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)AC[∵B＝eq\f(π,3)，a＋c＝eq\r(3)b，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2，由余弦定理可得，a2＋c2－2accoseq\f(π,3)＝b2，②聯(lián)立①②，可得2a2－5ac＋2即2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))＋2＝0，解得eq\f(a,c)＝2或eq\f(a,c)＝eq\f(1,2).故選AC．]12．點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足|eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PC,\s\up7(→))|－|eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))－2eq\o(PA,\s\up7(→))|＝0，則△ABC的形狀不可能是()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形ACD[∵P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PC,\s\up7(→))|－|eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))－2eq\o(PA,\s\up7(→))|＝0，∴|eq\o(CB,\s\up7(→))|－|(eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→)))＋(eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→)))|＝0，即|eq\o(CB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))|，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))|，兩邊平方并化簡(jiǎn)得eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))，∴∠A＝90°，則△ABC一定是直角三角形．故選ACD．]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．與向量a＝(1,2)平行，且模等于eq\r(5)的向量為________．(1,2)或(－1，－2)[因?yàn)樗笙蛄颗c向量a＝(1,2)平行，所以可設(shè)所求向量為(x,2x)，又因?yàn)槠淠閑q\r(5)，所以x2＋(2x)2＝5，解得x＝±1.因此所求向量為(1,2)或(－1，－2)．]14．已知向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，點(diǎn)P(m，n)在圓x2＋y2＝5上，則m＋n＝________，|2a＋b3eq\r(,34)[因?yàn)橄蛄縜＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，P(m，n)在圓x2＋y2＝5上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋2n＝0，,m2＋n2＝5，))解得m＝2，n＝1，即m＋n＝2＋1＝3.∴2a＋b＝(3,5)，∴|2a＋b|＝eq\r(,34).]15．在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，b＝1，a＝eq\r(2)，則c＝________.1[∵S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，∴eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,4)(a2＋b2－c2)，∴a2＋b2－c2＝2absinC．由余弦定理得，2abcosC＝2absinC，∴tanC＝1，∴C＝45°，∴c＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)＝eq\r(3－2)＝1.]16．如圖所示，半圓的直徑AB＝2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→)))·eq\o(PC,\s\up7(→))的最小值是________．－eq\f(1,2)[因?yàn)辄c(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，所以eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))，設(shè)|eq\o(PC,\s\up7(→))|＝x，則|eq\o(PO,\s\up7(→))|＝1－x(0≤x≤1)，所以(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→)))·eq\o(PC,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))＝－2x(1－x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2).所以當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→)))·eq\o(PC,\s\up7(→))取到最小值－eq\f(1,2).]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．[解](1)因?yàn)?2a－3b)·(2a＋所以4|a|2－4a·b－3|b|2因?yàn)閨a|＝4，|b|＝3，所以a·b＝－6，所以|a＋b|＝eq\r(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝eq\r(42＋32＋2×－6)＝eq\r(13).(2)因?yàn)閍·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，所以向量a在向量a＋b方向上的投影為eq\f(a·a＋b,|a＋b|)＝eq\f(10,\r(13))＝eq\f(10\r(13),13).18．(本小題滿分12分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝2，∠OAB＝eq\f(2π,3)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(－1，eq\r(,3))．(1)求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；(2)求證：四邊形OABC為等腰梯形．[解](1)連接OB(圖略)，設(shè)B(xB，yB)，則xB＝|eq\o(OA,\s\up7(→))|＋|eq\o(AB,\s\up7(→))|·cos(π－∠OAB)＝eq\f(5,2)，yB＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|·sin(π－∠OAB)＝eq\f(\r(,3),2)，∴eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(,3),2)))＋(－1，eq\r(,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(,3),2)))，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(,3),2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(,3),2))).(2)證明：∵eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(,3),2)))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(,3),2)))，∴eq\o(OC,\s\up7(→))＝3eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(OC,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→)).又易知OA與BC不平行，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝2，∴四邊形OABC為等腰梯形．19．(本小題滿分12分)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，c＝eq\r(3)asinC－ccosA．(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面積為eq\r(3)，求b，c.[解](1)由c＝eq\r(3)asinC－ccosA，及正弦定理得eq\r(3)sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.20．(本小題滿分12分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[解](1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2又因?yàn)閍2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b(2)因?yàn)閍＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，①,sinα＋sinβ＝1，②))由①得，cosα＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α＞β，所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).21．(本小題滿分12分)如圖，在△OAB中，已知P為線段AB上的一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up7(→))＝x·eq\o(OA,\s\up7(→))＋y·eq\o(OB,\s\up7(→)).(1)若eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))，求x，y的值；(2)若eq\o(BP,\s\up7(→))＝3eq\o(PA,\s\up7(→))，|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝2，且eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OB,\s\up7(→))的夾角為60°時(shí)，求eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))的值．[解](1)∵eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))，∴eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(PO,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))，即2eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))，∴eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))，即x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).(2)∵eq\o(BP,\s\up7(→))＝3eq\o(PA,\s\up7(→))，∴eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OP,\s\up7(→))＝3eq\o(PO,\s\up7(→))＋3eq\o(OA,\s\up7(→))，即4eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋3eq\o(OA,\s\up7(→))，∴eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)Oeq\o(A,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→)).∴x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4).eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(OA,\s\up7(→))＋\f(1,4)\o(OB,\s\up7(→))))·(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)×22－eq\f(3,4)×42＋eq\f(1,2)×4×2×eq\f(1,2)＝－9.22．(本小題滿分12分)如圖，我國(guó)南海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島B與小島A、小島C相距都為5nmile，與小島D相距為3eq\r(5)nmile.小島A對(duì)小島B與D的視角為鈍角，且sinA＝eq\f(3,5).(1)求小島A與小島D之間的距離和四個(gè)小島所形成的四邊形的面積；(2)記小島D對(duì)小島B與C的視角為α，小島B對(duì)小島C與D的視角為β，求sin(2α＋β)的值．[解](1)∵sinA＝eq\f(3,5)，且角A為鈍角，∴cosA＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2))＝－eq\f(4,5).在△ABD中，由余弦定理得：AD2＋AB2－2AD·AB·cosA＝BD2.∴AD2＋52－2AD·5·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝(3eq\r(5))2?AD2＋8AD－20＝0.解得AD＝2或AD＝－10(舍)．∴小島A與小島D之間的距離為2nmile.∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴角A與角C互補(bǔ)．∴sinC＝eq\f(3,5)，cosC＝cos(180°－A)＝－cosA＝eq\f(4,5).在△BDC中，由余弦定理得：CD2＋CB2－2CD·CB·cosC＝BD2，∴CD2＋52－2CD·5·eq\f(4,5)＝(3eq\r(5))2?CD2－8CD－20＝0，解得CD＝－2(舍)或CD＝10.∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AB·AD·sinA＋eq\f(1,2)CB·CD·sinC＝eq\f(1,2)×5×2×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×5×10×eq\f(3,5)＝3＋15＝18.∴四個(gè)小島所形成的四邊形的面積為18平方nmile.(2)在△BDC中，由正弦定理得：eq\f(BC,sinα)＝eq\f(BD,sinC)?eq\f(5,sinα)＝eq\f(3\r(5),\f(3,5))?sinα＝eq\f(\r(5),5).∵DC2＋DB2＞BC2，∴α為銳角，∴cosα＝eq\f(2\r(5),5).又∵sin(α＋β)＝sin(180°－C)＝sinC＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝cos(180°－C)＝－cosC＝－eq\f(4,5).∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3,5)＝eq\f(2\r(5),25).2、復(fù)數(shù)(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知z＝11－20i，則1－2i－z等于()A．z－1 B．z＋1C．－10＋18i D．10－18iC[1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.]2.eq\f(3＋i,1＋i)＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－iD[eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－3i＋i＋1,2)＝2－i.故選D．]3．若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋iA[由已知得eq\x\to(z)＝i(1－i)＝i＋1，則z＝1－i，故選A．]4．若復(fù)數(shù)z滿足iz＝2＋4i，則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(2,4) B．(2，－4)C．(4，－2) D．(4,2)C[z＝eq\f(2＋4i,i)＝4－2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，－2)，故選C．]5．若a為實(shí)數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a＝()A．－1 B．0C．1 D．2B[∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝0，,a2－4＝－4.))解得a＝0.故選B．]6．若復(fù)數(shù)eq\f(2－bi,1＋2i)(b∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則b＝()A．eq\r(2)B．eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．2C[因?yàn)閑q\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(2－bi1－2i,5)＝eq\f(2－2b,5)－eq\f(4＋b,5)i，又復(fù)數(shù)eq\f(2－bi,1＋2i)(b∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，所以eq\f(2－2b,5)＝eq\f(4＋b,5)，即b＝－eq\f(2,3).]7．設(shè)z∈C，若z2為純虛數(shù)，則z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在()A．實(shí)軸上 B．虛軸上C．直線y＝±x(x≠0)上 D．以上都不對(duì)C[設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.∵z2為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,xy≠0.))∴y＝±x(x≠0)．]8．已知0<a<2，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是()A．(1,5) B．(1,3)C．(1，eq\r(5)) D．(1，eq\r(3))C[由已知，得|z|＝eq\r(a2＋1).由0<a<2，得0<a2<4，∴1<a2＋1<5.∴|z|＝eq\r(a2＋1)∈(1，eq\r(5))．故選C．]二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．給出下列復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，這些點(diǎn)中對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)的為()A．(3,1) B．(－2,0)C．(0,4) D．(－1，－5)ACD[易知選項(xiàng)A、B、C、D中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3＋i、－2、4i、－1－5i，因此A、C、D中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)．]10．已知復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)，且a＋b＝1，下列命題正確的是()A．z不可能為純虛數(shù)B．若z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，且z＝eq\x\to(z)，則z是實(shí)數(shù)C．若z＝|z|，則z是實(shí)數(shù)D．|z|可以等于eq\f(1,2)BC[當(dāng)a＝0時(shí)，b＝1，此時(shí)z＝i為純虛數(shù)，A錯(cuò)誤；若z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，且z＝eq\x\to(z)，則a＋bi＝a－bi，因此b＝0，B正確；由|z|是實(shí)數(shù)，且z＝|z|知，z是實(shí)數(shù)，C正確；由|z|＝eq\f(1,2)得a2＋b2＝eq\f(1,4)，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，無(wú)解，即|z|不可以等于eq\f(1,2)，D錯(cuò)誤．故選BC．]11．已知復(fù)數(shù)z0＝1＋2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P0，復(fù)數(shù)z滿足|z－1|＝|z－i|，下列結(jié)論正確的是()A．P0點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)B．復(fù)數(shù)z0的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0關(guān)于虛軸對(duì)稱C．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在一條直線上D．P0與z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z間的距離的最小值為eq\f(\r(2),2)ACD[復(fù)數(shù)z0＝1＋2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P0(1,2)，A正確；復(fù)數(shù)z0的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，B錯(cuò)誤；設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即eq\r(x－12＋y2)＝eq\r(x2＋y－12)，整理得，y＝x，即Z點(diǎn)在直線y＝x上，C正確；易知點(diǎn)P0到直線y＝x的垂線段的長(zhǎng)度即為P0、Z之間距離的最小值，結(jié)合平面幾何知識(shí)知D正確．故選ACD．]12．對(duì)任意z1，z2，z∈C，下列結(jié)論成立的是()A．當(dāng)m，n∈N*時(shí)，有zmzn＝zm＋nB．當(dāng)z1，z2∈C時(shí)，若zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，則z1＝0且z2＝0C．互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等，且|eq\x\to(z)|2＝|z|2＝z·eq\x\to(z)D．z1＝z2的充要條件是|z1|＝|z2|AC[由復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律知A正確；取z1＝1，z2＝i，滿足zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，但z1＝0且z2＝0不成立，B錯(cuò)誤；由復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)的概念知結(jié)論成立，C正確；由z1＝z2能推出|z1|＝|z2|，但|z1|＝|z2|推不出z1＝z2，因此z1＝z2的必要不充分條件是|z1|＝|z2|，D錯(cuò)誤．]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)13．已知復(fù)數(shù)z＝(5＋2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為________．21[復(fù)數(shù)z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其實(shí)部是21.]14．a(chǎn)為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，則a＝________.eq\r(3)[eq\f(a＋i,i)＝eq\f(a＋i·－i,i·－i)＝1－ai，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝|1－ai|＝eq\r(a2＋1)＝2，所以a2＝3.又a為正實(shí)數(shù)，所以a＝eq\r(3).]15．設(shè)a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i為虛數(shù)單位)，則a＋b的值為________．8[a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i，依據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得a＝5，b＝3.從而a＋b＝8.]16．設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是eq\x\to(z)，若z＋eq\x\to(z)＝4，z·eq\x\to(z)＝8，則|z|＝________，eq\f(\o(z,\s\up7(－)),z)＝________(本題第一空2分，第二空3分)．2eq\r(2)±i[設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則eq\x\to(z)＝x－yi，由z＋eq\x\to(z)＝4，z·eq\x\to(z)＝8得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋yi＋x－yi＝4，,x＋yix－yi＝8，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,x2＋y2＝8，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±2.))∴|z|＝2eq\r(2).所以eq\f(\x\to(z),z)＝eq\f(x－yi,x＋yi)＝eq\f(x2－y2－2xyi,x2＋y2)＝±i.]四、簡(jiǎn)答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，當(dāng)(1)z是實(shí)數(shù)？(2)z是純虛數(shù)？[解](1)要使復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2>0，,m2＋3m＋2＝0，))解得m＝－2或－1.即當(dāng)m＝－2或－1時(shí)，z是實(shí)數(shù)．(2)要使復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,m2＋3m＋2≠0，))解得m＝3.即當(dāng)m＝3時(shí)，z是純虛數(shù)．18．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z1＝1－i，z1·z2＋eq\x\to(z)1＝2＋2i，求復(fù)數(shù)z2.[解]因?yàn)閦1＝1－i，所以eq\x\to(z)1＝1＋i，所以z1·z2＝2＋2i－eq\x\to(z)1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i.設(shè)z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i，得(1－i)(a＋bi)＝1＋i，所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,b－a＝1，))解得a＝0，b＝1，所以z2＝i.19．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，且(3＋4i)z是純虛數(shù)，求z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z).[解]設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi且|z|＝eq\r(a2＋b2)＝1，即a2＋b2＝1.①因?yàn)?3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)所以3a－4b＝0，且3b＋4a由①②聯(lián)立，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,5)，,b＝\f(3,5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,5)，,b＝－\f(3,5).))所以eq\x\to(z)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i，或eq\x\to(z)＝－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i.20．(本小題滿分12分)復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)，若z2＋eq\f(a,z)＜0，求純虛數(shù)a.[解]由z2＋eq\f(a,z)＜0可知z2＋eq\f(a,z)是實(shí)數(shù)且為負(fù)數(shù)．z＝eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(2i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(3－i,2＋i)＝1－i.因?yàn)閍為純虛數(shù)，所以設(shè)a＝mi(m∈R，且m≠0)，則z2＋eq\f(a,z)＝(1－i)2＋eq\f(mi,1－i)＝－2i＋eq\f(mi－m,2)＝－eq\f(m,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－2))i＜0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)＜0，,\f(m,2)－2＝0，))所以m＝4，即a＝4i.21．(本小題滿分12分)已知等腰梯形OABC的頂點(diǎn)A，B在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋2i，－2＋6i，OA∥BC．求頂點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z.[解]設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，C(x，y)，因?yàn)镺A∥BC，|OC|＝|BA|，所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)＝\f(y－6,x＋2)，,\r(x2＋y2)＝\r(32＋42)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－5，,y1＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－3，,y2＝4.))因?yàn)閨OA|≠|(zhì)BC|，所以x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.22．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解](1)∵(1＋2i)eq\x\to(z)＝4＋3i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，∴z＝2＋i.(2)由(1)知z＝2＋i，則(z＋ai)2＝(2＋i＋ai)2＝[2＋(a＋1)i]2＝4－(a＋1)2＋4(a＋1)i，∵復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a＋12＞0，,4a＋1＞0，))解得－1＜a＜1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－1,1)．3、立體幾何初步(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下面給出了四個(gè)條件：①空間三個(gè)點(diǎn)；②一條直線和一個(gè)點(diǎn)；③和直線a都相交的兩條直線；④兩兩相交的三條直線．其中，能確定一個(gè)平面的條件有()A．3個(gè) B．2個(gè)C．1個(gè) D．0個(gè)D[①當(dāng)空間三點(diǎn)共線時(shí)不能確定一個(gè)平面；②點(diǎn)在直線上時(shí)不能確定一個(gè)平面；③兩直線若不平行也不相交時(shí)不能確定一個(gè)平面；④三條直線交于一點(diǎn)且不共面時(shí)不能確定一個(gè)平面.故以上4個(gè)條件都不能確定一個(gè)平面．]2．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AB，A1D1A．30° B．45°C．60° D．90°D[由于AD∥A1D1，則∠BAD是異面直線AB，A1D1所成的角，很明顯∠BAD＝90°.]3．已知a，b，c是直線，則下面四個(gè)命題：①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；③若a∥b，則a，b與c所成的角相等．其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．3C．2 D．1D[異面、相交關(guān)系在空間中不能傳遞，故①②錯(cuò)；根據(jù)等角定理，可知③正確．]4．一個(gè)棱柱的側(cè)面展開圖是三個(gè)全等的矩形，矩形的長(zhǎng)和寬分別為6cm,4cm，則該棱柱的側(cè)面積為()A．24cm2B．36cm2C．72cm2D．C[棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝3×6×4＝72(cm2)．]5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)E在棱BB1上，動(dòng)點(diǎn)F在線段A1C1上，O為底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y(tǒng)，則四面體OA．與x，y都有關(guān) B．與x，y都無(wú)關(guān)C．與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān) D．與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)B[因?yàn)閂O-AEF＝VE-OAF，考察△AOF的面積和點(diǎn)E到平面AOF的距離的值，因?yàn)锽B1∥平面ACC1A1所以點(diǎn)E到平面AOF的距離為定值，又AO∥A1C1所以O(shè)A為定值，點(diǎn)F到直線AO的距離也為定值，即△AOF的面積是定值，所以四面體O-AEF的體積與x，y都無(wú)關(guān)，故選B．]6．如圖，點(diǎn)S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是()A．1 B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(1,2)B[取CB的中點(diǎn)D，連接ED，DF，則∠EDF(或其補(bǔ)角)為異面直線SB與AC所成的角，即∠EDF＝90°.在△EDF中，ED＝eq\f(1,2)SB＝1，DF＝eq\f(1,2)AC＝1，所以EF＝eq\r(ED2＋DF2)＝eq\r(2).]7．在四面體ABCD中，已知棱AC的長(zhǎng)為eq\r(2)，其余各棱長(zhǎng)都為1，則二面角A-CD-B的余弦值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),3)C[取AC的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，連接BE，EF，BF，則EF＝eq\f(1,2)，BE＝eq\f(\r(2),2)，BF＝eq\f(\r(3),2)，因?yàn)镋F2＋BE2＝BF2，所以△BEF為直角三角形，cosθ＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(\r(3),3).]8．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長(zhǎng)為eq\r(3)的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A．eq\f(5π,12)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)B[如圖所示，P為正三角形A1B1C1的中心，設(shè)O為△ABC的中心，由題意知：PO⊥平面ABC，連接OA，則∠PAO即為PA與平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝eq\r(3)，則S＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2＝eq\f(3\r(3),4)，VABC-A1B1C1＝S×PO＝eq\f(9,4)，∴PO＝eq\r(3).又AO＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(3)＝1，∴tan∠PAO＝eq\f(PO,AO)＝eq\r(3)，∴∠PAO＝eq\f(π,3).]二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．下列命題為真命題的是()A．若兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合B．若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直C．垂直于同一條直線的兩條直線相互平行D．若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面不垂直BD[A錯(cuò)，兩個(gè)平面相交時(shí)，也有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；C錯(cuò)，比如a⊥α，b?α，c?α，顯然有a⊥b，a⊥c，但b與c也可能相交．故選BD．]10.如圖，圓柱的軸截面是四邊形ABCD，E是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面CEBD．平面ADE⊥平面BCEABD[由AB是底面圓的直徑，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB．∵圓柱的軸截面是四邊形ABCD，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB．∴BE⊥AD．又AD∩AE＝A，AD，AE?平面ADE，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE.同理可得，AE⊥CE，易得平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正確．∵AD∥BC，∴∠ADE(或其補(bǔ)角)為DE與CB所成的角，顯然∠ADE≠90°，∴DE⊥平面CEB不正確，即C錯(cuò)誤．故選ABD．]11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說(shuō)法正確的是()A．在棱AD上存在點(diǎn)M，使AD⊥平面PMBB．異面直線AD與PB所成的角為90°C．二面角P-BC-A的大小為45°D．BD⊥平面PACABC[如圖，對(duì)于A，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，BM，∵側(cè)面PAD為正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，PM，BM?平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正確．對(duì)于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即異面直線AD與PB所成的角為90°，故B正確．對(duì)于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角，設(shè)AB＝1，則BM＝eq\f(\r(3),2)，PM＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq\f(PM,BM)＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小為45°，故C正確．對(duì)于D，因?yàn)锽D與PA不垂直，所以BD與平面PAC不垂直，故D錯(cuò)誤．故選ABC．]12．如圖所示，在四個(gè)正方體中，l是正方體的一條體對(duì)角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l⊥平面MNP的圖形為()AD[如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′.連接AC，BD．∵M(jìn)、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，∴MP∥AC．∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∵BB′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴BB′⊥AC，∵AC⊥BD，BD∩BB′＝B，∴AC⊥平面DBB′，∵DB′?平面DBB′，∴AC⊥DB′.∵M(jìn)P∥AC，∴DB′⊥MP，同理，可證DB′⊥MN，DB′⊥NP，∵M(jìn)P∩NP＝P，MP?平面MNP，NP?平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l垂直平面MNP，故A正確．故D中，由A中證明同理可證l⊥MP，l⊥MN，又∵M(jìn)P∩MN＝M，∴l(xiāng)⊥平面MNP.故D正確．故選AD．]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．已知一圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的表面積為________，體積為________．(本題第一空2分，第二空3分)3πeq\f(\r(3),3)π[設(shè)圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意，得2πr＝2π，解得r＝1，根據(jù)勾股定理，得圓錐的高為eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以圓錐的表面積S＝eq\f(1,2)×π×22＋π×12＝3π，體積V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.]14.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2eq\r(3)，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該四棱錐的高為________．3[如圖，過(guò)點(diǎn)S作SO⊥平面ABCD，連接OC，則∠SCO＝60°，∴SO＝sin60°·SC＝eq\f(\r(3),2)×2eq\r(3)＝3.]15．如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2，則V1∶V1∶24[因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶4.又F是AA1的中點(diǎn)，所以A1到底面的距離H為F到底面距離h的2倍，即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱錐F-ADE高的2倍，所以V1∶V2＝eq\f(\f(1,3)S△ADE·h,S△ABC·H)＝eq\f(1,24)＝1∶24.]16．已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．36π[如圖，連接OA，OB．由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC．由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB．設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱錐S-ABC的體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SC·OB))·OA＝eq\f(r3,3)，即eq\f(r3,3)＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比是1∶4，母線長(zhǎng)為10cm，求圓錐的母線長(zhǎng).[解]如圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為r、R.因?yàn)閑q\f(l－10,l)＝eq\f(r,R)，所以eq\f(l－10,l)＝eq\f(1,4)，所以l＝eq\f(40,3)cm.即圓錐的母線長(zhǎng)為eq\f(40,3)cm.18．(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，點(diǎn)D是AB(1)求證：AC⊥B1C(2)求證：AC1∥平面CDB1.[證明](1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC．又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1而B1C?平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接OD．如圖，∵O，D分別為BC1，AB的中點(diǎn)，∴OD∥AC1.又OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19．(本小題滿分12分)如圖，已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AC，M為PB的中點(diǎn)．(1)求證：PC⊥BC；(2)求二面角M-AC-B的大小．[解](1)證明：由PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又因?yàn)椤螦CB＝90°，即BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC．(2)取AB中點(diǎn)O，連接MO，過(guò)O作HO⊥AC于H，連接MH，因?yàn)镸是BP的中點(diǎn)，所以MO∥PA，又因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以MO⊥平面ABC，所以∠MHO為二面角M-AC-B的平面角，設(shè)AC＝2，則BC＝2eq\r(3)，MO＝1，OH＝eq\r(3)，在Rt△MHO中，tan∠MHO＝eq\f(MO,HO)＝eq\f(\r(3),3)，所以二面角M-AC-B的大小為30°.20．(本小題滿分12分)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，高為H,在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱．(1)求圓柱的側(cè)面積；(2)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？[解](1)設(shè)圓柱的底面半徑為r,則它的側(cè)面積為S＝2πrx,eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，解得r＝R－eq\f(R,H)x，所以S圓柱側(cè)＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2.(2)由(1)知S圓柱側(cè)＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2，在此表達(dá)式中，S圓柱側(cè)為x的二次函數(shù)，因此，當(dāng)x＝eq\f(H,2)時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大．21．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(2)求證：PD⊥平面PBC；(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．[解](1)如圖，由已知AD∥BC，故∠DAP或其補(bǔ)角為異面直線AP與BC所成的角．因?yàn)锳D⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得AP＝eq\r(AD2＋PD2)＝eq\r(5)，所以cos∠DAP＝eq\f(AD,AP)＝eq\f(\r(5),5).所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).(2)因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，所以AD⊥PD．又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC＝B，所以PD⊥平面PBC．(3)過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF與平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF＝eq\r(CD2＋CF2)＝2eq\r(5)，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝eq\f(PD,DF)＝eq\f(\r(5),5).所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(5),5).22．(本小題滿分12分)如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖②①②(1)求證：DE∥平面A1CB；(2)求證：A1F⊥BE(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ[解](1)證明：∵D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC．又∵DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．(2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC．∵DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC．而A1F?平面A1DC，∴DE⊥A1又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D∴A1F⊥平面BCDE，∵BE?平面BCDE∴A1F⊥BE(3)線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，則PQ∥又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C?平面A1DC∴DE⊥A1C又∵P是等腰三角形DA1C底邊A1∴A1C⊥DP，DE∩DP＝D∴A1C⊥平面DEP從而A1C⊥平面DEQ故線段A1B上存在點(diǎn)Q(中點(diǎn))，使得A1C⊥平面DEQ4、統(tǒng)計(jì)(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3D[在抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽中的概率均為eq\f(n,N)，所以p1＝p2＝p3，故選D．]2．某公司從代理的A，B，C，D四種產(chǎn)品中，按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為110的樣本，已知A，B，C，D四種產(chǎn)品的數(shù)量比是2∶3∶2∶4，則該樣本中D類產(chǎn)品的數(shù)量為()A．22 B．33C．40 D．55C[根據(jù)分層隨機(jī)抽樣，總體中產(chǎn)品數(shù)量比與抽取的樣本中產(chǎn)品數(shù)量比相等，∴樣本中D類產(chǎn)品的數(shù)量為110×eq\f(4,2＋3＋2＋4)＝40.]3．在抽查產(chǎn)品尺寸的過(guò)程中，將其尺寸分成若干組，[a，b]是其中的一組．已知該組的頻率為m，該組上的頻率分布直方圖的高為h，則|a－b|等于()A．mh B．eq\f(h,m)C．eq\f(m,h) D．m＋hC[在頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的高等于eq\f(頻率,組距)，所以h＝eq\f(m,|a－b|)，|a－b|＝eq\f(m,h)，故選C．]4．我市對(duì)上、下班交通情況作抽樣調(diào)查，上、下班時(shí)間各抽取12輛機(jī)動(dòng)車測(cè)其行駛速度(單位：km/h)如下表：上班時(shí)間182021262728303233353640下班時(shí)間161719222527283030323637則上、下班時(shí)間行駛時(shí)速的中位數(shù)分別為()A．28與28.5 B．29與28.5C．28與27.5 D．29與27.5D[上班時(shí)間行駛速度的中位數(shù)是eq\f(28＋30,2)＝29，下班時(shí)間行駛速度的中位數(shù)是eq\f(27＋28,2)＝27.5.]5．為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為mo，平均值為eq\x\to(x)，則()A．me＝mo＝eq\x\to(x) B．me＝mo＜eq\x\to(x)C．me＜mo＜eq\x\to(x) D．mo＜me＜eq\x\to(x)D[由條形圖可知，中位數(shù)為me＝5.5，眾數(shù)為mo＝5，平均值為eq\x\to(x)≈5.97，所以mo＜me＜eq\x\to(x).]6．某校為了對(duì)初三學(xué)生的體重進(jìn)行摸底調(diào)查，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的體重(kg)，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖，如圖所示，體重在[45,50)內(nèi)適合跑步訓(xùn)練，體重在[50,55)內(nèi)適合跳遠(yuǎn)訓(xùn)練，體重在[55,60]內(nèi)適合投擲相關(guān)方面訓(xùn)練，估計(jì)該校初三學(xué)生適合參加跑步、跳遠(yuǎn)、投擲三項(xiàng)訓(xùn)練的集訓(xùn)人數(shù)之比為()A．4∶3∶1 B．5∶3∶1C．5∶3∶2 D．3∶2∶1B[體重在[45,50)內(nèi)的頻率為0.1×5＝0.5，體重在[50,55)內(nèi)的頻率為0.06×5＝0.3，體重在[55,60]內(nèi)的頻率為0.02×5＝0.1，∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，∴可估計(jì)該校初三學(xué)生適合參加跑步、跳遠(yuǎn)、投擲三項(xiàng)訓(xùn)練的集訓(xùn)人數(shù)之比為5∶3∶1，故選B．]7．為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖所示，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組頻數(shù)和為62，設(shè)視力在4.6到4.8之間的學(xué)生數(shù)為a，最大頻率為0.32，則a的值為()A．64 B．54C．48 D．27B[前兩組中的頻數(shù)為100×(0.05＋0.11)＝16.因?yàn)楹笪褰M頻數(shù)和為62，所以前三組頻數(shù)和為38.所以第三組頻數(shù)為38－16＝22.又最大頻率為0.32，故第四組頻數(shù)為0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.故選B．]8．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，則該小組數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A．85,85,85 B．87,85,86C．87,85,85 D．87,85,90C[∵得85分的人數(shù)最多為4人，∴眾數(shù)為85，中位數(shù)為85，平均數(shù)為eq\f(1,10)(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.]二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中正確的是()A．建設(shè)后，種植收入減少B．建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半BCD[設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a種植收入第三產(chǎn)業(yè)收入養(yǎng)殖收入其他收入建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入0.60.060.30.04建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入0.740.560.60.1根據(jù)上表可知B、C、D結(jié)論均正確，結(jié)論A不正確，故選BCD．]10．在某次高中學(xué)科競(jìng)賽中，4000名考生的參賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表，則下列說(shuō)法中正確的是()A．成績(jī)?cè)赱70,80)分的考生人數(shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000C．考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為70.5分D．考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為75分ABC[由頻率分布直方圖可得，成績(jī)?cè)赱70,80)內(nèi)的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；由頻率分布直方圖可得，成績(jī)?cè)赱40,60)的頻率為0.25，因此，不及格的人數(shù)為4000×0.25＝1000，故B正確；由頻率分布直方圖可得，平均分為45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正確；因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱40,70)內(nèi)的頻率為0.45，[70,80)的頻率為0.3，所以中位數(shù)為70＋10×eq\f(0.05,0.3)≈71.67，故D錯(cuò)誤．故選ABC．]11．甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學(xué)生每分鐘錄入漢字的個(gè)數(shù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算后填入下表：班級(jí)參加人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)甲55149191135乙55151110135某同學(xué)根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析得出的結(jié)論正確的是()A．甲、乙兩班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)相同B．甲班的成績(jī)波動(dòng)比乙班的成績(jī)波動(dòng)大C．乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個(gè)為優(yōu)秀)D．甲班成績(jī)的眾數(shù)小于乙班成績(jī)的眾數(shù)ABC[甲、乙兩班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)都是135，故兩班成績(jī)的平均數(shù)相同，∴A正確；seq\o\al(2,甲)＝191>110＝seq\o\al(2,乙)，∴甲班成績(jī)不如乙班穩(wěn)定，即甲班的成績(jī)波動(dòng)較大，∴B正確；甲、乙兩班人數(shù)相同，但甲班的中位數(shù)為149，乙班的中位數(shù)為151，從而易知乙班不少于150個(gè)的人數(shù)要多于甲班，∴C正確；由題表看不出兩班學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)，∴D錯(cuò)誤．]12．在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標(biāo)來(lái)顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過(guò)正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過(guò)5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計(jì)算，下列各選項(xiàng)中，一定符合上述指標(biāo)的是()A．平均數(shù)eq\x\to(x)≤3B．平均數(shù)eq\x\to(x)≤3且標(biāo)準(zhǔn)差s≤2C．平均數(shù)eq\x\to(x)≤3且極差小于或等于2D．眾數(shù)等于1且極差小于或等于4CD[A錯(cuò)，舉反例：0,0,0,0,2,6,6，其平均數(shù)eq\x\to(x)＝2≤3，不符合指標(biāo)．B錯(cuò)，舉反例：0,3,3,3,3,3,6，其平均數(shù)eq\x\to(x)＝3，且標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r(\f(18,7))≤2，不符合指標(biāo)．C對(duì)，若極差等于0或1，在eq\x\to(x)≤3的條件下，顯然符合指標(biāo)；若極差等于2且eq\x\to(x)≤3，則每天新增感染人數(shù)的最小值與最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指標(biāo)．D對(duì)，若眾數(shù)等于1且極差小于或等于4，則最大值不超過(guò)5，符合指標(biāo)．故選CD．]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．下列數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為________．20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22.28[把所給的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列可得：12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，因?yàn)橛?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×70%＝8.4，不是整數(shù)，所以數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為第9個(gè)數(shù)28.]14．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球的時(shí)間x(單位：小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：時(shí)間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為________．0.5[小李這5天的平均投籃命中率eq\x\to(y)＝eq\f(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4,5)＝0.5.]15．一個(gè)樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的兩根，則這個(gè)樣本的方差是________．5[x2－5x＋4＝0的兩根是1,4.當(dāng)a＝1時(shí)，a,3,5,7的平均數(shù)是4，當(dāng)a＝4時(shí)，a,3,5,7的平均數(shù)不是1.∴a＝1，b＝4.則方差s2＝eq\f(1,4)×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.]16．從甲、乙兩個(gè)廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取8件產(chǎn)品，對(duì)其使用壽命(單位：年)跟蹤調(diào)查結(jié)果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：3,3,4,7,9,10,11,12.兩個(gè)廠家在廣告中都稱該產(chǎn)品的使用壽命是8年，請(qǐng)根據(jù)結(jié)果判斷廠家在廣告中分別運(yùn)用了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一種集中趨勢(shì)的特征數(shù)：甲：________，乙：________.(本題第一空2分，第二空3分)眾數(shù)中位數(shù)[甲、乙兩個(gè)廠家從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的特征．對(duì)甲分析：該組數(shù)據(jù)8出現(xiàn)的次數(shù)最多，故運(yùn)用了眾數(shù)；對(duì)乙分析：該組數(shù)據(jù)最中間的是7與9，故中位數(shù)是eq\f(7＋9,2)＝8，故運(yùn)用了中位數(shù)．]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)求下列數(shù)據(jù)的四分位數(shù)．13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20，[解]把12個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得：12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31，計(jì)算12×25%＝3,12×50%＝6,12×75%＝9，所以數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為eq\f(15＋18,2)＝16.5，第50百分位數(shù)為eq\f(20＋22,2)＝21，第75百分位數(shù)為eq\f(27＋28,2)＝27.5.18．(本小題滿分12分)如圖所示是總體的一個(gè)樣本頻率分布直方圖，且在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8.(1)求樣本在[15,18)內(nèi)的頻率；(2)求樣本容量；(3)若在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，求在[18,33)內(nèi)的頻數(shù)．[解](1)由樣本頻率分布直方圖可知組距為3.由樣本頻率分布直方圖得樣本在[15,18)內(nèi)的頻率等于eq\f(4,75)×3＝eq\f(4,25).(2)∵樣本在[15,18)內(nèi)頻數(shù)為8，由(1)可知，樣本容量為eq\f(8,\f(4,25))＝8×eq\f(25,4)＝50.(3)∵在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，故樣本在[12,15)內(nèi)的頻率為0.06，故樣本在[15,33)內(nèi)的頻數(shù)為50×(1－0.06)＝47，