高中數(shù)學(xué)常見思想方法總結(jié)

高中常見數(shù)學(xué)思想方法方法一 函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要概念，它滲透在數(shù)學(xué)的各部分內(nèi)容中，一直是高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)內(nèi)容函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)特征，重在對問題的變量的動態(tài)研），函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的有時，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互

S

分析

）利用公式

建立不等式，容易求解

的范圍；（）利用的二次函數(shù)，將】（

a3a2d

S

S

的通及前公式是定數(shù)集數(shù)，利用來分即用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題；也可以利用方程的思想，利用不等式關(guān)系，將問題進(jìn)行算式化，從而簡潔明快由此可見，利用函數(shù)與方程的思想來解決問題，要求靈活地運(yùn)用、巧妙的結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、

在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓

的左右頂點(diǎn)為

，右頂點(diǎn)為

，設(shè)過點(diǎn)

PF

PB

4

(x1

,y1

)

PF

PB

4

2 2

t

9

F

P

(x2)2

y2

(x3)2

y2

4

5

1

20

mm

m

m

m

80)

20)

x

x

m

20

m

40

m

20

20

10

20)

y

0x

x

本題主要考查求簡單曲線的方程，考查直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力而且，本題在解決問題時，無論求點(diǎn)的坐標(biāo)，還是求點(diǎn)

的軌跡方程，都靈活運(yùn)用了方程的思想，方法二 數(shù)形結(jié)合的思想方法數(shù)形信息的轉(zhuǎn)換應(yīng)該是等價的、充要的要注意由于圖形的直觀性，往往可以成為嚴(yán)格推證的啟導(dǎo)，但有時有了解題思路，思考用幾何方法，還是代數(shù)方法，還是兩者兼而用之，要取決于解題的簡單性原則，而不能第一，以形助數(shù)：把一些數(shù)式的幾何意義明朗化，構(gòu)造出解題的幾何模型，突顯問題的直觀性，使解題思路研究函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、值域與最值等，可從函數(shù)圖像的直觀性得到鮮明的利用數(shù)軸與坐標(biāo)系包括直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系，使數(shù)與點(diǎn)對應(yīng)，使函數(shù)與圖像、方程與曲線結(jié)合，使代從統(tǒng)計圖表、圖像中，收集分析出的信息，由破譯的數(shù)量關(guān)系建立代數(shù)模型，探索相關(guān)的結(jié)論利用類比法、換元法如三角換元、構(gòu)造法、坐標(biāo)法等構(gòu)造代數(shù)問題的幾何模型、幾何問題的代數(shù)模型，

y

xx

2)

x

x

x5,6]答案由題意，直接求解會很麻煩，且不易得到正確的答案，所以該題中求

x

x

x的零點(diǎn)以轉(zhuǎn)化為求

x兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)則畫出

x的圖像由于

上為

且為周期函數(shù)周期為

x是分段函數(shù)注意其圖像共分為三部分如圖可等共有

個交點(diǎn)其中有一個易

點(diǎn)評

要求

在區(qū)間5,6]內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為求

交點(diǎn)的個數(shù)，可以作出圖形，觀察圖形易得交點(diǎn)的個數(shù)本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想正是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題的途徑【例

2

55

2

55

2

55

2

55

由圖象知為奇函數(shù)，∴

原不等式為2

52

5

55

而方程

的解為

2

55

據(jù)圖像可知原不等點(diǎn)評

方法三 分類討論的思想方法其中最重要的一條是不漏不重”.學(xué)生必須對相關(guān)知識點(diǎn)或涉及的概念、定義、定理相當(dāng)清楚，對于一些結(jié)論成立的條件掌握牢固，這樣才能在解題時思路清晰，才能知道何時必須進(jìn)行分類討論，而何時無須討論，從

】（

年上海二模）點(diǎn)Q(x,y)是函數(shù)

答案

圖像上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P(0,5)，則P

兩點(diǎn)之,

x,

x

(y

(y

9

y

1

x2

時，

取最小值為

．綜上

時，

P

由于題中給出的是絕對值函數(shù)，需要利用分類討論的思想去掉絕對值，然后再求解體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

2,3,

分析

2,3,

q

1

q

1

a

2,3,

q

1

U點(diǎn)評

f

f

答案

f

1a

1a2a

1a

1a

3a2

2a

3a1

】本題的解題關(guān)鍵在于討論

的關(guān)系，正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題中參變量的不同取值導(dǎo)致方法四 概括歸納的思想方法概括是在思維中將同一種類型的對像共同的本質(zhì)屬性集中起來，結(jié)合為一般類型的屬性歸納是一種邏輯型的思維形狀，是從幾個特殊情形做出一般結(jié)論的不完全的屬性一類是性質(zhì)和法則的歸納，如數(shù)列的基本性質(zhì)，對數(shù)運(yùn)算的法則的歸納過程；另一類是解題方法的歸納，如向量在物理中的應(yīng)用等；第三類是歸納猜想，如由表

）．

分析】（）利用數(shù)列

項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第項(xiàng)的

倍，推出關(guān)系式，通過

）通過（）歸納出數(shù)列

的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．第一步驗(yàn)證

成立；第二步，假

(2

）．

(2

aa

a

L

a

ak

1

(2k

a

(2

(2k

k

)a

(2k

3k

)a(2

(2

(2

(2

(2

(2

(2

本題考查數(shù)列的項(xiàng)的求法，通項(xiàng)公式的猜想與數(shù)學(xué)歸納法證明方法的應(yīng)用，注意證明中必須用上方法五 化歸與等價變換的思想方法在解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉(zhuǎn)化成一個新問題（相對來說，對自己這一思想方法我們稱之為轉(zhuǎn)換化歸思想”.而轉(zhuǎn)換

）和諧統(tǒng)一性原則：即化歸應(yīng)朝著使待解決問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量、形關(guān)系上趨于統(tǒng)一的方）正難則反原則：即當(dāng)問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問）換元法：運(yùn)用換元把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題

x

y

）加強(qiáng)命題法：在證明不等式時，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即命題的結(jié)論加強(qiáng)為原命題的充分條件，反而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個較易證明的命題，比如在證明不等式時：原命題往往難以得證，這時）補(bǔ)集法：如果下面解決原問題有困難，可把原問題結(jié)果看作集合

，而包含該問題的整體問題的結(jié)果

化歸與等價變換的思想方法所涉及到的具體問題很多很多，如果不斷努力地用這種方法去解決一些數(shù)學(xué)問題

x

y

x

yx

y

x

y

，即表示如圖所示橢圓，其一個頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)x

y

的范圍就是

368k

0

橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方由圖可知最小值是

距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切 x

y

sin

x

yx

y

12 sin 1 2 2 2 2

x

y

點(diǎn)評】本題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個知識點(diǎn)，有助于提高發(fā)散思維能而且各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題，屬于問題