湖南省常德市安鄉(xiāng)縣2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

安鄉(xiāng)縣2023年下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測問卷九年級數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人準(zhǔn)考證號、姓名等信息．考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．非選擇題答案用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上相應(yīng)位置書寫作答，在試題卷上答題無效．3．作圖可先使用2B鉛筆畫出，確定后必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆描黑．一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）1．一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是（

）A．3 B． C．5 D．02．已知的三邊長分別為，與它相似的的最長邊長為20，則的面積為（

）A．12 B．24 C．48 D．963．在中，，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B． C． D．4．如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，已知，則的半徑為（

）A．5 B．4 C．8 D．65．對一組數(shù)據(jù)：，描述正確的是（

）A．中位數(shù)是 B．平均數(shù)是5 C．眾數(shù)是6 D．方差是76．如圖，已知反比例函數(shù)與矩形的對角線相交于點(diǎn)，若，矩形的面積為，則等于（

）A．4 B．6 C．12 D．167．如圖，在矩形中，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，，垂足為，則的值是（

）A． B． C． D．8．二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn).下列說法：①；②；③；④若是拋物線上的兩點(diǎn)，則；⑤對任意實(shí)數(shù)，都有（其中）其中正確的結(jié)論有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）9．在中，，若，則的值為．10．已知2是方程的一個根，則另一根為11．已知二次函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而增大，而的取值范圍是12．如圖，點(diǎn)三點(diǎn)在上，，則13．如圖，為平行四邊形邊上一點(diǎn)，分別在上，且，梯形、的面積分別為，若，則14．隨著人口負(fù)增長，新建住房數(shù)量增加，許多城市商品房的價格不斷下降，某城市新建商品房價格連續(xù)兩年降低了，則這兩年平均降價率為15．如圖，在邊長為的正的邊上有兩個動點(diǎn)，它們從處同時出發(fā)，沿著三角形的三邊順時針運(yùn)動，若點(diǎn)的速度為每秒的速度為每秒，則最少經(jīng)過秒，與相似．16．如圖，中，，頂點(diǎn)，分別在反比例函數(shù)與的圖象上，則的度數(shù)為．三、（本大題2個小題，每小題5分，滿分10分）17．計算：．18．解方程：．四、（本大題2個小題，每小題6分，滿分12分）19．如圖，一次函數(shù)圖象與軸，軸分別相交于兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求的面積．20．如圖，在中，分別是上的點(diǎn)，是等邊三角形，

(1)求證：；(2)求的長五、（本大題2個小題，每小題7分，滿分14分）21．第十九屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行.為了解學(xué)生最喜歡的運(yùn)動項(xiàng)目，學(xué)校從全校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，進(jìn)行了問卷調(diào)查（每個被調(diào)查的學(xué)生在5種最受學(xué)生歡迎的運(yùn)動項(xiàng)目中只選擇最喜歡一種），5種最受學(xué)生歡迎的運(yùn)動項(xiàng)目是：“游泳、田徑、球類、藝術(shù)體操、舉重”；將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理并繪制成如圖兩幅統(tǒng)計圖（未畫完整）(1)這次調(diào)查中，一共調(diào)查了_____________名學(xué)生，請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；(2)若全校有2000名學(xué)生，請估計該校最喜歡“球類”的學(xué)生數(shù)；(3)學(xué)校想要從最喜歡藝術(shù)體操的4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)談?wù)動^感，已知這4名學(xué)生中1名來自七年級，1名來自八年級，2名來自九年級，請用畫樹狀圖的方法，求抽到的2名學(xué)生來自不同年級的概率.22．某水果店銷售甲、乙兩種水果，如果用800元可購買20千克甲種水果和16千克乙種水果，用1000元可購買40千克甲種水果和8千克乙種水(1)求甲、乙兩種水果每千克的價格分別為多少元？(2)已知該水果店在12月共售出甲種水果500千克、乙種水果300千克.春節(jié)將近，1月份水果店將甲種水果每千克的售價提高元，乙種水果的價格不變，結(jié)果與12月相比甲種水果銷量下降了千克，乙種水果銷量上升千克，但甲種水果的銷量仍高于乙種水果，銷售總額比12月多出3000元，求m的值六、（本大題2個小題，每小題8分，滿分16分）23．如圖，、是的兩條弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長、，分別交、的延長線于點(diǎn)、．且(1)求證：；(2)若，，求的半徑．24．常德市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面上的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中都與地面平行，車輪半徑為，坐墊與點(diǎn)的距離為．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）(1)求坐墊到地面的距離；(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊到的距離調(diào)整為人體腿長的時，坐騎比較舒適．小明的腿長約為，現(xiàn)將坐墊調(diào)整至坐騎舒適高度位置，求的長．七、（本大題2個小題，每小題10分，滿分20分）25．如圖1，在正方形中，為邊上的動點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），點(diǎn)在的外接圓上，且在正方形內(nèi)部，是的中點(diǎn)，圓的半徑為．(1)證明為等腰直角三角形(2)如圖2，連接過點(diǎn)作于，求的長(3)如圖3，若為的一個四等分點(diǎn)，點(diǎn)在的外接圓上，，求的長26．如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線的對稱軸上一個動點(diǎn)，連接，，當(dāng)?shù)拈L度最小時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)E是x軸上一動點(diǎn)，在直線BP上是否存在點(diǎn)F，使以B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案與解析

1．B【分析】本題考查了一元二次方程．熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的一般形式寫出一次項(xiàng)系數(shù)即可．【詳解】解：由題意知，一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是，故選：B．2．D【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理及相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的面積比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理可知為直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式求出的面積，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出的面積．【詳解】解：，是直角三角形，，與的相似比為，面積比為，故．故選：D．3．C【分析】本題考查了三角函數(shù)，勾股定理，根據(jù)三角函數(shù)定義，勾股定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：如圖，在中，，，故選項(xiàng)A，B錯誤，不符合題意；，故選項(xiàng)C正確，符合題意；，故選項(xiàng)D錯誤，不符合題意．故選：C．4．A【分析】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．連接，設(shè)的半徑為，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理列式計算，得到答案．【詳解】解：連接，設(shè)的半徑為，則，由勾股定理得，，即，解得，則的半徑為5，故選A．5．C【分析】本題主要考查了求方差，中位數(shù)，平均數(shù)和眾數(shù)，根據(jù)方差，中位數(shù)，平均數(shù)和眾數(shù)的定義進(jìn)行求解判斷即可．【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，處在最中間的數(shù)為6，∴中位數(shù)為6，故A不符合題意；∵數(shù)字6出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是6，故C符合題意；平均數(shù)為，故B不符合題意；方差為，故D不符合題意；故選：C．6．A【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解矩形的面積與反比例函數(shù)的解析式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；設(shè)的坐標(biāo)是，則的坐標(biāo)是，根據(jù)矩形的面積即可求得的值，把的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得的值；【詳解】解：，設(shè)的坐標(biāo)是，則的坐標(biāo)是．矩形的面積為．把的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得：．故選：A．7．C【分析】本題考查了求一個角的正切值，證得可推出、；設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，∴∴∵∴∴∴∴設(shè)，則，∵，∴∴故選：C8．B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，從圖象中獲取正確的信息是解題的關(guān)鍵．圖象可知，，，當(dāng)時，隨著的增大而增大，則，即，可判斷①的正誤；由軸對稱的性質(zhì)可知，圖象經(jīng)過，當(dāng)時，，可判斷②的正誤；當(dāng)時，，可判斷③的正誤；由關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，可知，可判斷④的正誤；由題意知，當(dāng)時，，即，進(jìn)而可得，可判斷⑤的正誤．【詳解】解：由圖象可知，，，當(dāng)時，隨著的增大而增大，∴，∴，①錯誤，故不符合要求；∴，由軸對稱的性質(zhì)可知，圖象經(jīng)過，當(dāng)時，，②正確，故符合要求；當(dāng)時，，③正確，故符合要求；∵關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，④錯誤，故不符合要求；由題意知，當(dāng)時，，∴，∴，即，⑤正確，故符合要求；故選：B．9．【分析】根據(jù)勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可．【詳解】解：在中，、、所對的邊分別為、、，∵，，設(shè)，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，理解和掌握三角函數(shù)的定義和勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．3【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)方程的另一個根為m，由題意得，，解方程即可得到答案；對于一元二次方程，若是該方程的兩個實(shí)數(shù)根，則．【詳解】解：設(shè)方程的另一個根為m，由題意得，，∴，∴方程另一根為3，故答案為；3．11．##【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的增減性，熟記性質(zhì)并列出不等式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對稱軸不大于1列式計算即可得解．【詳解】解：依題意，得，解得：，故答案為：．12．##50度【分析】此題考查了圓周角定理與等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用；由，根據(jù)等邊對等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得的度數(shù)，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，求得的度數(shù)．【詳解】解：故答案為：．13．25【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積公式，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，為上的點(diǎn)，．故答案為：．14．【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)這兩年平均降價率為x，則兩年后的價格為原價的，再根據(jù)連續(xù)兩年降低了列出方程求解即可．【詳解】解；設(shè)這兩年平均降價率為x，由題意得，，解得或（舍去），∴這兩年平均降價率為，故答案為：15．2【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意得到也是等邊三角形，推出，據(jù)此列式計算即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵與相似，∴也是等邊三角形，∴，如圖，設(shè)最少經(jīng)過秒，與相似，此時，，依題意得，解得，∴最少經(jīng)過秒，與相似．故答案為：．16．##度【分析】過作軸于點(diǎn)，過作軸于，根據(jù)的幾何意義得出，，證明，根據(jù)面積比得出相似比，根據(jù)正切的定義以及特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：如圖，過作軸于點(diǎn)，過作軸于，則，頂點(diǎn)，分別在反比例函數(shù)與的圖象上，，，，，，，，，，，故本題答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，已知特殊角的三角函數(shù)值求角度，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．17．3【分析】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，實(shí)數(shù)的混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．18．【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：，，，或，解得：．19．(1)(2)【分析】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，坐標(biāo)與圖形面積，熟練的求解一次函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．（1）利用反比例函數(shù)新求解，的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；（2）先求解B的坐標(biāo)為，再利用割補(bǔ)法求解三角形的面積即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)也在反比例函數(shù)的圖象上，，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，，解得：一次函數(shù)的表達(dá)式為：（2）直線與軸的交點(diǎn)為，令，得：，即B的坐標(biāo)為．20．(1)證明見解析(2)3【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形對應(yīng)邊長成比例是解決問題的關(guān)鍵．（1）由可得，又，可證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，代入數(shù)值，即可求解．【詳解】（1）是等邊三角形，∵，∴又∵，；（2）由（1）得：，∴，又，即，解得：，又是等邊三角形，，即．21．(1)60(2)500(3)【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，畫條形統(tǒng)計圖，樣本估計總體，畫樹狀圖求概率．（1）由田徑項(xiàng)目人數(shù)及其所占百分比可得樣本容量；用樣本容量減去其他三個項(xiàng)目的人數(shù)可得球類項(xiàng)目人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（2）用總?cè)藬?shù)乘樣本中球類人數(shù)所占比例即可（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽到的2名學(xué)生來自不同年級的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：本次調(diào)查的學(xué)生共有（名）最喜歡“球類”的學(xué)生數(shù)為（名）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下：故答案為：60；（2）解：（人）即估計該校最喜歡“球類”的學(xué)生人數(shù)為500人；（3）解：用表示七年級學(xué)生，用表示八年級學(xué)生，用和分別表示九年級學(xué)生，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的情況數(shù)，其中抽到的2名學(xué)生來自不同年級的情況有10種，抽到的2名學(xué)生來自不同年級的概率是．22．(1)甲種水果的價格為20元，乙種水果的價格為25元．(2)15【分析】本題主要考查二元一次方程組及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；（1）設(shè)每千克甲種水果的價格為元，乙種水果的價格為元，由題意易得，然后問題可求解；（2）由題意易得，然后求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每千克甲種水果的價格為元，乙種水果的價格為元，依題意得：，解得：，答：每千克甲種水果的價格為20元，乙種水果的價格為25元．（2）解：依題意得：，整理得：，解得：，又，，．23．(1)見解析(2)【分析】（1）先說明,，再證，則，，再證明，即可得到結(jié)論；（2）連接，先證明得到，則是的直徑，在中，由勾股定理求得，令，在中，由勾股定理求得，即，在中，由勾股定理求得，即可得到的半徑．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴,，∵，，∴，∴，，∵,∴,∵，∴，∴；（2）連接，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，是的直徑，，又，在中，，令，在中，由，得，解得，即，在中，，的半徑為．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解答本題的關(guān)鍵．24．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．熟練掌握解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意知，，，則，根據(jù)單車車座到地面的高度約為，計算求解即可；（2）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

圖1由題意知，，，∴，∵，∴單車車座到地面的高度約為；（2）解：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

圖2由題意知，∴，∴，∴的長為．25．(1)證明見解析(2)2(3)【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，然后根據(jù)等弧對等弦得出，即可得證；（2）延長交于點(diǎn)，利用證明，可得出，，進(jìn)而得出，則為的中垂線，得出，根據(jù)為等腰直角三角形可求出，即可求出；（3）解：如圖，設(shè)正方形邊長為，則可求，，，在中，利用勾股定理可求出，證明，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，點(diǎn)在的外接圓上，，又是正方形的一個內(nèi)角，，又是中點(diǎn)，，是等腰直角三角形；（2）解：如圖，延長交于點(diǎn)，，四邊形為正方形，，即，，，，，又是等腰直角三角形，，，，，即，，四邊形為矩形，，為的中垂線，，是等腰直角三角形，為圓的直徑，又圓的半徑為，，，即（3）解：如圖，設(shè)正方形邊長為為的一個四等分點(diǎn)，，由（2）知，，在中，，即解得，，為直徑，，，