小學(xué)奧數(shù)牛吃草問題經(jīng)典例題透析

小學(xué)奧數(shù)牛吃草問題經(jīng)典例題透析

牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長。這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15

頭牛吃10天，問可供25頭牛吃幾天？

思路剖析

這是以前接觸過的“牛吃草問題"，它的算術(shù)解法步驟較多，這里用列方程的

方法來解決。

設(shè)供25頭?？沙詘天。

本題的等量關(guān)系比較隱蔽，讀一下問題："每天牧草都勻速生長”，草生長的

速度是固定的，這就可以發(fā)掘出等量關(guān)系，如從"供10頭牛吃20天"表達(dá)出生

長速度，再從"供15頭牛吃10天”表達(dá)出生長速度，這兩個速度應(yīng)該一樣，就

是一種相等關(guān)系；另外，最開始草場的草應(yīng)該是固定的，也可以發(fā)掘出等量關(guān)系。

解答

設(shè)供25頭牛可吃x天。

由：草的總量=每頭牛每天吃的草x頭數(shù)x天數(shù)

=原有的草+新生長的草

原有的草=每頭牛每天吃的草X頭數(shù)X天數(shù)-新生長的草

新生長的草=草的生長速度X天數(shù)

考慮已知條件，有

原有的草=每頭牛每天吃的草X10X20-草的生長速度X20

原有的草=每頭牛每天吃的草xl5xl0-草的生長速度xlO

所以：原有的草=每頭牛每天吃的草x200-草的生長速度x20

原有的草=每頭牛每天吃的草xl50-草的生長速度xlO

即：每頭牛每天吃的草x200-草的生長速度x20

=每頭牛每天吃的草xl50-草的生長速度xlO

每頭牛每天吃的草x200草的生長速度x20+每頭牛每天吃的草xl50-草的生

長速度X10

每頭牛每天吃的草x200-每頭牛每天吃的草xl50

=草的生長速度x20-草的生長速度xlO

每頭牛每天吃的草X(200-150)=草的生長速度X(20-10)

所以：每頭牛每天吃的草x50=草的生長速度xlO

每頭牛每天吃的草x5=草的生長速度

因此，設(shè)每頭牛每天吃的草為L則草的生長速度為5。

由：原有的草=每頭牛每天吃的草x25x-草的生長速度xx

原有的草=每頭牛每天吃的草xl0x20-草的生長速度x20

有：每頭牛每天吃的草x25x-草的生長速度xx

=每頭牛每天吃的草xl0x20-草的生長速度x20

所以:1X25X-5X=1X10X20-5X20

解這個方程

25x-5x=10x20-5x20

20x=100

x=5(天)

答：可供25頭牛吃5天。

導(dǎo)言：

有一堆草，可供8頭牛吃6天，照這樣計算，這堆草如果供12頭牛呼，可以

吃幾天？這道題很簡單，我們可以假設(shè)每頭牛每天吃一份草，根據(jù)“供8頭牛吃6

天”可以算出總草量，再求12頭牛可以吃多少天。解答過程是：8X6+12=4

（天）。

但如果我們把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就變復(fù)雜了。上

題中的“一堆草”的總量是不變的，但“一片正在生長的草地”，每天都在生長，

總量是在不斷變化的。這就是著名科學(xué)家牛頓在《普通算術(shù)》一書中提出的“牛吃

草”問題。

一、基本題型

例1.牧場上一片青菜，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20

天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？

解析：這類題的難點(diǎn)就是牧草每天都在發(fā)生變化。牧草可以分兩部分：原有

的草和新生長的草。原有的草（簡稱“原草”）不變，新生長的草（簡稱“新

草”）因為是勻速生長，所以每天新長出的草的數(shù)量是相同的。因此，只要求出

牧草上原有的草量和每天新長出的草量，這道題就好解答了。

設(shè)每頭牛每天吃“1”份草

（1）算出原草和每天長出的新草

10頭牛20天吃草量為：1X10X20=200（份）一是原草+20天的新草

15頭牛10天吃草量為：1X15X10=150（份）一是原草+10天的新草

兩者比較：10天的新草就是200-150=50份，

那么每天長出的新草就是5份

可以算出原草：200-20X5或150-10X5=100份

（2）現(xiàn)在有25頭牛，由于每頭牛每天吃“1”份草，5頭牛每天就5份草，而

新草每天也是長5份，我們可以讓25頭牛中的5頭牛專吃每天長出的新草，剩下

的20頭牛吃原草，這樣可以吃100+（25-5）=5天

從上題我們可以總結(jié)出，解答“牛吃草”問題的兩個基本步驟：

第一：算出原草和每天長出的新草

第二：讓一部分牛吃每天長出的新草，然后求出其余的牛吃原草的天數(shù)

思考：如果牧場的草不是在勻速增加,而是在減少，又該怎么辦？

由于天氣變冷,牧場上的草不僅不增加,反而以固定的速度在減少.已知某塊草地上

的草，可供20頭牛吃5天，或供15頭牛吃6天，那么它可供多少頭牛吃10天？

二、變化題型

例2.有一口井，不斷會涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。若用8架抽水機(jī)

7分鐘可以抽完，若用11架抽水機(jī)5分鐘可以抽完，現(xiàn)在要求15分鐘抽完井水，

需要幾架抽水機(jī)？

解析：“水”相當(dāng)于“草”，每分鐘不斷涌出的水量相當(dāng)于“每天長出的新

草”，抽水機(jī)抽水相當(dāng)于“牛吃草”

設(shè)抽水機(jī)每分鐘抽1份水

(1)算出“原水"和''每天涌出的新水”

8架抽水機(jī)7份鐘抽：1X8X7=56份水----原水+7分鐘涌出的新水

11架抽水機(jī)5分鐘抽：1X11X5=55份水——原水+11分鐘涌出的新水

兩者比較可得出：2分鐘涌出的新水是56-55=1份，

那么每分鐘新涌出0.5份水

可算出原水：56-0.5X7或55-0.5X5=52.5份

(2)要在15分鐘內(nèi)抽完，15分鐘時的總水=原水+15分鐘涌出的新水

=52.

5+15X0.5=60份

需要的抽水機(jī)是：60+15+1=4(臺)

例3.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊,每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多，

從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需要30分鐘，同時開5個檢

票口需要20分鐘,如果同時打開7個檢票口，那么需要多少分鐘？

解析：“旅客”相當(dāng)于“草”，“檢票口”相當(dāng)于“牛”，檢票前已排隊的人

數(shù)相當(dāng)于“原草”，每分鐘來的旅客相當(dāng)于每天長出的“新草”

設(shè)1個檢票口每分鐘檢票的旅客人數(shù)為1份

(1)算出檢票前原有旅客人數(shù)和檢票時每分鐘新來的旅客人數(shù)

4個檢票口30分鐘可檢：1X4X30=120（人）——原有的人+30分鐘新來的人數(shù)

5個檢票口20分鐘可檢：1X5X20=100（人）——原有的人+20分鐘新來的人數(shù)

兩者比較可得出：10分鐘新來了120-100=20人

那么，每分鐘新來的旅客為2人

檢票前已排隊的人數(shù)是：120-2X30或100-2X20=60（人）

（2）讓兩個檢票口專門來檢新來的旅客，剩下的檢票口檢原有的旅客，需要

604-（7-2）=12分鐘

例4.兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走。男孩每秒可走3級梯

級，女孩每秒可走2級梯級，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端，男孩走了100秒，女

孩走了300秒；問：該扶梯共有多少級梯級？

解析：“梯級”相當(dāng)于“草”，“速度”相當(dāng)于“?！保?、女孩每分鐘

走的梯級數(shù)相當(dāng)于牛的頭數(shù)，扶梯運(yùn)行的速度相當(dāng)于草場每分鐘長出的新草；兩人

分別走的梯級總數(shù)相當(dāng)于“總的草量”，包括兩人走的梯級數(shù)和自動扶梯走的梯級

數(shù)

男孩每秒走3級，100秒走到另一端，相當(dāng)于3頭牛100秒吃完草

女孩每秒走2級，300秒走到另一端，相當(dāng)于2頭牛300秒吃完草

扶梯的速度是：（2X300-3X100）4-（300-100）=1.5（級）

扶梯的級數(shù)是是3-1.5）X100或（2-1.5）X300=150（級）

例5.有甲、乙兩船同時從A港出發(fā)駛向B港，順流而行。已知甲船在靜水中

的行進(jìn)速度是每小時20千米，乙船在靜水中的行進(jìn)速度是每小時30千米，甲船用

16小時到達(dá)B港，乙船用11小時到達(dá)B港，求A、B兩港間的距離和水的流速。

解析：水流的速度相當(dāng)于每天長出的新草。A、B兩港間距離相當(dāng)于“總草

里

水流的速度是（30X11-20X16）4-（16-11）=2（千米/小時）

A、B兩港距離是30X11+2X11或20X16+2X16=352（千米）

例6.甲、乙、丙三人同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一公路追趕前面正在走的

To這三人分別用12分鐘、20分鐘、24分鐘追上丁?，F(xiàn)在知道甲每分鐘120米，

乙每分鐘104米，那么，丙和丁每分鐘各行多少米？

解析：由于丁一直在運(yùn)動，總的路程在勻速變化，“路程”相當(dāng)于“草”；

甲、乙的速度相當(dāng)