浙江省名校新高考研究聯(lián)盟（Z20名校聯(lián)盟）2023屆高三第一次聯(lián)考-數(shù)學(xué)答案

Z20名校聯(lián)盟（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟）2023屆高三第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1,設(shè)全集為R,集合一斗尸―3“<°},人{(lán)小叫,則AI（”）=（）

A.{x|0<x<l}B.{x|l<x<3}

C.{乂0<x<3}D.{x|x>3}

【答案】B

【解析】

【分析】解出A集合，寫(xiě)出第8,則可寫(xiě)出

【詳解】/1={X|X2-3X<0}={X|0<X<3}

因?yàn)?={x|x?l},

所以?5=卜［%>1},

所以AI（6握）={x|lvx<3}.

故選：B.

2.若復(fù)數(shù)z=T,貝IJ（）

1+1

A.|z|=5

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

C.復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之積為一12

D.z=3+4i

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到z=-3-4i,結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念，共軻復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)

的模的計(jì)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.

l-7i(l-7i)(l-i)

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z=丁丁==—3—4i,

l+i(l+i)(l-i)

可得忖=J(_3)2+(-4)2=5,所以A正確；

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-3,T)位于第三象限，所以B錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)z=-3-4i的實(shí)部為-3,虛部為-4,可得實(shí)部與虛部之積為12,所以C錯(cuò)誤；

由復(fù)數(shù)z=—3—4i的共桅復(fù)數(shù)為三=—3+4i，所以D錯(cuò)誤.

故選：A.

3,,一七］的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為<>

A.-60B.60C.64D.120

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，直接計(jì)算即可.

【詳解】2》一十)展開(kāi)式的通項(xiàng)為晨(2力"(_9)=C；x26-rx(-l)z'xx6^r,令

6—|「=0解得〃=4,所以常數(shù)項(xiàng)C：x2?x(-1)4=60.

故選：B.

4.《九章算術(shù)?商功》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體成為鱉膈.在鱉腌ABC。中，A3,平面BQ9,

BCLCD,且AB=1,BC=2,C￡>=3,則四面體A8CO外接球的表面積為()

14兀

A.---B.7兀C.13兀D.14兀

3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意將四面體畫(huà)在長(zhǎng)方體中，即可知道四面體的外接球直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，則可求出

答案.

【詳解】由題意可知四面體ABC。如圖所示，

D

I1q-72J.327

則面體ABC。外接球的半徑為R2=LE二

42

7

所以四面體ABC。外接球的表面積為5=4兀店=4KX-=14TI.

2

故選：D.

14，

5.已知正實(shí)數(shù)x、y滿足一+—+4=尤+y,則x+y的最小值為（）

xy

A.V13-2B.2c.2+713D.2+V14

【答案】C

【解析】

14,

【分析】在等式一+—+4=*+>的兩邊同乘以尤+y,結(jié)合基本不等式可得出關(guān)于％+y的二次不等式,

即可解得x+y的最小值.

14，

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)X、y滿足一+―+4=x+y,

等式兩邊同乘以x+y可得（x+y）2=4（x+），）+5+2+”N4（x+y）+5+2j2?"=4（x+y）+9,

所以，（x+?-4（x+y）-9N0,

因?yàn)閤+y>0,解得x+yN2+屈，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)，等號(hào)成立.

因此，工+y的最小值為2+屈.

故選：c.

25

6.己知點(diǎn)4(4,0)、8(0,4),直線/:x=動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離和它到直線/的距離之比為4:5,則

|PB|的最大值是()

A.mB.7C.5A/2D.2V13

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)尸(x,y),由題意可求出點(diǎn)尸的軌跡方程，再利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的基

本性質(zhì)可求得|P用的最大值.

2

7(X-4)+/42v2

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸(x,y),由題意可得25-51整理可得一+匕=1，

a4

25

則爐=25一一其中—3Wy<3,

9

所以,|「同=yjx2+(y-4)'=^25-^-y2+y2-8y+16=^~~y2-8y+41,

所以，當(dāng)〉=-；時(shí)，|尸邳取最大值，即|PBL=50.

故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+l)+/(x—l)=2,/(x+2)為偶函數(shù)，若〃0)=0,

文)=111，則?的值為()

4=1

A.107B.118C.109D.110

【答案】D

【解析】

【分析】分析可知函數(shù)”X)為周期函數(shù)，且周期為分求得〃1)+/(2)+/⑶+/⑷=4,

,/(1)+/(2)=3，結(jié)合111=4x27+3可求得”的值.

【詳解】對(duì)任意的xeR,由_/(x+l)+，(x—1)=2可得/(x+3)+.f(x+l)=2,

所以，/(x+3)=/(x-l),則/(x)=,f(x+4),

所以，函數(shù)/(%)為周期函數(shù)，且周期為4，

因?yàn)?(x+2)為偶函數(shù)，所以〃2-尤)=〃2+尤),

所以，函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則/。)=/(3),

因?yàn)?(1)+/(3)=2,則/(1)=/(3)=1,

因?yàn)?(0)+〃2)=2且40)=0,則"2)=2,所以，/(1)+/(2)=3,

因?yàn)?。)+/(2)+/(3)+/(4)=4,且111=4x27+3,

因?yàn)閠"A)=27x[/(l)+〃2)+/(3)+〃4)]+/⑴+/⑵=111,故〃=4x27+2=110.

k=l

故選：D.

8.已知向量￡,反"滿足付=1,2Q+B=6,2卜一《=’一耳，則向量2—B與￡夾角的最大值是()

九c冗廠兀.兀

A.—B.-C.—D.—

12643

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到6-6)2-871-q+12=0,得到￡.僅一到=絲二等衛(wèi)，結(jié)合向量的

夾角公式和基本不等式，即可求解.

[詳解]由題意知2卜_《=卜一可，可得2.-5+5-4=卜—可，

又由力=一21可得2卜_6b3萬(wàn)='-5|,

貝i|4(c-b)2-6a-^c-h^+9a-(c—b)2,

即(工一楊2_4.伍—可+12=0,即7伍一6)=^^,

…/-尸八\7/一可(工一萬(wàn))2+12、2t26-斤V3

所以cos(a,(c—6=——rr-^—>\—=—,

'/同c叫8卜一可8K-12

當(dāng)且僅當(dāng)("-3)2=12時(shí)，等號(hào)成立，

所以向量"一5與2夾角的最大值是

O

故選：B.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.盒中裝有大小相同的5個(gè)小球(編號(hào)為1至5),其中黑球3個(gè)，白球2個(gè).每次取一球(取后放回)，則

()

A.每次取到1號(hào)球的概率為:

2

B.每次取到黑球概率為不

C.“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨(dú)立事件

D.“每次取到3號(hào)球”與“每次取到4號(hào)球”是對(duì)立事件

【答案】AC

【解析】

【分析】通過(guò)計(jì)算得出每次取到1號(hào)球的概率判斷A；通過(guò)計(jì)算得出每次取到黑球的概率判斷B；根據(jù)獨(dú)

立事件的定義判斷C；通過(guò)計(jì)算得出次取到3,4號(hào)球的概率及對(duì)立事件的定義判斷D.

C1

【詳解】解：對(duì)于A,每次取到1號(hào)球概率為才故正確;

5

C13

對(duì)于B,每次取到黑球的概率為云=二，故錯(cuò)誤;

C5

對(duì)于C,“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”相互之間沒(méi)有影響，所以“第一次取到黑球”和“第二次取到

白球”是相互獨(dú)立事件，故正確;

C11C11

對(duì)于D,每次取到3號(hào)球的概率為才=不，每次取到4號(hào)球的概率為才=三，它們互斥事件，而不是對(duì)

立事件，故錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知函數(shù)"x)=x-[x],其中[x]表示不大于X的最大整數(shù)，[0.2]=0,[-1.2]=-2,則()

A./(x)是增函數(shù)B./(x)是周期函數(shù)

C.〃2x)的值域?yàn)椋?,1)D.〃2x)是偶函數(shù)

【答案】BC

【解析】

【分析】利用特殊值法可判斷AD選項(xiàng)；利用函數(shù)周期性的定義可判斷B選項(xiàng)；利用題中的定義求出函數(shù)

/（2力的值域，可判斷C選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椤?）=1-[1]=0,〃2）=2—[2]=0,所以，函數(shù)“X）不是增函數(shù)，A

錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)任意的xeR,存在ZeZ,使得左Wx（左+1,則[x]=Z,

所以，k+\<x+\<k,+2,則[x+l]=A+l=[x]+l,

所以，/（x+l）=x+I-[x+l]=x+l—（[x]+l）=x—[x]=/（x）,

故函數(shù)”X）為周期函數(shù)，且周期為1，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意xeR,存在&eZ,使得4<2xvA+l,則[2月=々，

所以，/（2x）=2x-[2x]=2x-X:G[0,1）,C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，令g（x）=/（2x）,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,

因?yàn)間（0.4）=f（0.8）=0.8-[0.8]=0.8,

g（-0.4）=/（-0.8）=-0.8-[-0.8]=-0.8+1=0.2,

所以，g（O.4）wg（-O.4）,故函數(shù)〃2x）不是偶函數(shù)，D錯(cuò).

故選：BC.

11.設(shè)拋物線C:/=4y的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線與。交于A、B兩點(diǎn),C的準(zhǔn)線與，軸交于點(diǎn)M,

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）

A.線段A8長(zhǎng)度的最小值為4

B.若線段A3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則直線AB的斜率為1

71

C.ZAMB>-

2

D.ZAMO^ZBMO

【答案】ABD

【解析】

【分析1設(shè)點(diǎn)A（X，X）、B（9,%），設(shè)直線AB的方程為了="+1,將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立,

利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷A選項(xiàng)；利用韋達(dá)定理計(jì)算出k的值，可判斷B選項(xiàng)；計(jì)算出MA-MB，

可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算/,”+勺祝，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】易知拋物線C的焦點(diǎn)為尸(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-l,點(diǎn)/(0,-1),

設(shè)點(diǎn)A(x，yJ、B(x2,y2),

若直線ABLx軸，此時(shí)直線A3與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，

y=依+1

設(shè)直線43的方程為丁=依+1,聯(lián)立《，.可得/一4米一4=0，

.廣=4y

△=16公+16>0，由韋達(dá)定理可得玉+九2=4左，%％=-4,

對(duì)于A選項(xiàng)，|AB|=x+%+2=左(玉+/)+4=422+4>4,

當(dāng)且僅當(dāng)攵=0時(shí)，等號(hào)成立，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可得衛(wèi)生■=2%=2,解得％=1,B對(duì)；

2

對(duì)于c選項(xiàng)，應(yīng)=(再，x+l)=(x，優(yōu)+2),同理可得標(biāo)=(9,優(yōu)+2),

所以，MA-MB=x1x2+(%+2)(Ax,+2)=(公+1)%々+2A(x+x2)+4

=T(F+l)+84?+4=44之20,.■.0<ZAA/BW微，C錯(cuò)；

……v/jX+1必+1Ax,+2kx)+2,,2(x1+x2)8k八

對(duì)于D選項(xiàng)，44M+kBM=-----1-----=------1------=2々H-------==2k——-=0,

Xjx2x}x2x}x24

所以，ZAMO=ZBMO,D對(duì).

故選：ABD.

1nY

12.已知函數(shù)/(x)=；~,g(x)=xer,若存在玉e(0,+oo)，weR,使得/(%)=8(々)=人成立，則

()

A.當(dāng)4>0時(shí)，為+為>1B.當(dāng)左>0時(shí)，X1+e&<2e

C.當(dāng)％<0時(shí)，%,+x2<1D.當(dāng)女<0時(shí)，堂的最小值為-1

X|e

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出#[X),則可得了(X)在(o,e)上單調(diào)遞增在(e,+8)上單調(diào)遞減，則可畫(huà)出了(X)的圖像,

利用同構(gòu)可知/(xj=g(w)=左等價(jià)于呼=*=%，結(jié)合圖像則可判斷AB選項(xiàng)，當(dāng)％<0時(shí)，則

可得Xi=e*,%€(0,1),構(gòu)造函數(shù)即可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】?.?〃x)=F，g(x)='，

"。)=歲，

.??當(dāng)0<x<e時(shí)，>0,/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,

當(dāng)X>e時(shí)，“X)在(e,+。。)上單調(diào)遞減,

1tnV

所以/(x)=子的圖像如圖所示：

又/(xj=g(%2)=左，即當(dāng)L=年—=%，

，當(dāng)攵>0時(shí)，要使玉+々越小，則取占=e處-?1,故有尤|+為>1，故A正確;

又不與鏟均可趨向于+8,故B錯(cuò)誤；

當(dāng)上<0,0<e*<l,X]=e*,且為e(0,l),;.%+W=石4-lnx,,

記〃(x)=x+\nx,xe(0,1),

/?(x)=l+->0恒成立，即〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

X

所以〃(x)＜〃⑴=1,即當(dāng)玉G(O,1),X[+W=玉+1叫＜1成立，故C正確；

--e4'=kek,令g伏)=雇，左＜0,g'(左)=(k+1)營(yíng),

x\

.?.g(Z)在單調(diào)遞減，在(-1,0)單調(diào)遞增，

???g(QNg(—1)=—故D正確，

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與交點(diǎn)，屬于難題；畫(huà)出.f(x)的圖像，利用同構(gòu)可知

/(不)=g(々)=上等價(jià)于—1=暮=k,則可求出判斷出AB選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)〃(x)=x+Inx，xe(0,1)

則可判斷C選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)g僅)=雇，左＜0,則可判斷D選項(xiàng).

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

TT

13.函數(shù)/(x)=sin(2x+一)的最小正周期為.

6

【答案】江

【解析】

【詳解】函數(shù)〃x)=sin(2x+f的最小正周期為言=兀，

故答案為乃.

14.畢達(dá)哥拉斯樹(shù)是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫(huà)出來(lái)的一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的圖形，因?yàn)橹?/p>

復(fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹(shù)，所以被成為畢達(dá)哥拉斯樹(shù)，也叫“勾股樹(shù)”.畢達(dá)哥拉斯樹(shù)的生長(zhǎng)方式如下：以

邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊作為斜邊，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作

正方形，得到2個(gè)新的小正方形，實(shí)現(xiàn)了一次生長(zhǎng)，再將這兩個(gè)小正方形各按照上述方式生長(zhǎng)，如此重復(fù)

下去，設(shè)第〃次生長(zhǎng)得到的小正方形的個(gè)數(shù)為4,則數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“=.

【答案】2'用一2##-2+2向

【解析】

【分析】分析可知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求得s“.

【詳解】由題意可得4+1=2?！扒?=2,所以，數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為2,

20-2")

因此，Sn=

1-2

故答案為：2'用—2?

15.已知正四棱柱ABC￡)-44GA，A4=I,AB=2,則直線A4與平面8cA所成角的正弦值為

【答案】巫##［遙

33

【解析】

【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，A。、AA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用

空間向量法可求得直線AA與平面片所成角的正弦值.

【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，A。、AA所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角

則4((),(),0)、4(O.。/)、”2,2,0)、4(2,0,1)、D,(0,2,1),

設(shè)平面與C。的法向量為3=(x,y,z),西=((),—2,1),=(-2,0,1),

n-CB=—2y+z=0

x取z=2,可得〃=0,1,2),

nCD、=-2x+z=0

---..*〃?A.A.2\/6

小=(0,0,1),cc>=曬飛=石.

因此，直線A4與平面與c。所成角的正弦值為Y5.

3

故答案為：旦.

3

16.設(shè)直線/:(。+2)x—(a—l)y—3a—3=0(a￡R)與圓C:x?+(y-1>=戶。>0)交于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)

△ABC面積的最大值為2時(shí)，。的值為.

［答案］一"/

2

【解析】

【分析】先找出/所過(guò)定點(diǎn)，然后根據(jù)5內(nèi)此=5r111/8。4知AABC為等腰直角三角形

時(shí)面積最大，結(jié)合圖形列方程即可得。的值.

【詳解】直線/的方程可化為a(x-y-3)+2x+y-3=0,

2x+y_3=0/、

由Jx_y_3_Q，解得直線/的恒過(guò)定點(diǎn)(2,-1),

|4a+2||4a+2|

又點(diǎn)C到直線/的距離為d=,1'==/：,

V(?+2)?2+(a-l)2V2a2+2a+5

1

因?yàn)?c=e/s9in/8C4,則△ABC為等腰直角三角形時(shí)面積最大，

19.17

即SAR「=—廣sin/BCA<-r~=2=>r=2,

△ABC22

|4Q+2］rf—

圓心。到直線/的距離為d=~\?-=一尸=J2,

yJ2a2+2a+5V2

解得a=T土石.

2

故答案為：T士避

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,且6(J3sirL4-cosC)=(c-a)cosB.

(1)求B；

(2)在①重心，②內(nèi)心，③外心這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解決問(wèn)題.

若a=5,c=3,。為AABC的,求AO4C的面積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)—

3

(2)答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)可得出sin(8+m]=],結(jié)合角B的取值范圍可求得

角8的值；

(2)選①，分析可得540代=；5“尤，結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果；

選②，利用余弦定理求出利用等面積法求出AABC的內(nèi)切圓半徑，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)

果；

選③，利用余弦定理求出〃的值，由正弦定理求出AABC的外接圓半徑，求出NAOC,再利用三角形的

面積公式可求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

解：???M6sinA-COSC)=(C-Q)COS8,

sinB^VSsinA-cosCj=(sinC-sinA)cosB,

則V3sinAsinB=sin(B+C)-sinAcosB,即V3sinAsinB=sinA-sinAcosB，

0.*Ae(0,7i),則sinA>0,/.指sinB+cosB=1，即有2sin18+7)=1,

可得sin]B+菅

2

Tt兀7K八兀5?！璫2兀

,/0<B<71?則8+：￡，BH—=—，解得3=—

66，-r663

【小問(wèn)2詳解】

解：若選①，連接3。并延長(zhǎng)交AC邊于點(diǎn)

A

因?yàn)?。為AABC的重心，所以，。為AC的中點(diǎn)，且0。=，8￡),

3

所以點(diǎn)。到AC的距離等于點(diǎn)B到AC的距離的」,

3

而“C_1C_1.n_lcoV3_5V3

所以，^AOAC=-?csinB=-x5x3x-=-^—

若選②，由余弦定理可得。=

+C2-2?CCOSy=7,

若。為AABC的內(nèi)心，設(shè)AABC的內(nèi)切圓的半徑為r,

MiJSAABC=-acsinB=-r(a+b+c),則r="

22a+b+c2

因此，S^OAC=—br=.

八C/AC24

若選③，若。為△ABC的外心，設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,

I--------------------57R__

由余弦定理可得人=J。？+。2-2QCCOS—=7,則一c.2兀一3，

V32smy

在優(yōu)弧AD上任取一點(diǎn)E，則NAEC=?！?=g,則ZAOC=2ZAEC=y,

r、r、，411

18.已知數(shù)列｛凡｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S,為｛4｝的前"項(xiàng)和，4=1，J屋=~7^=+k"eN*且

/:＞2).

(1)求證：數(shù)列｛底｝是等差數(shù)列，并求｛凡｝的通項(xiàng)公式：

1111

(2)當(dāng)“wN*,”22時(shí)，求證：~~~；+~~~；+~~；＜7-

a2-1a3-1an-14

【答案】(1)證明見(jiàn)解析，=2/7-1

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)利用S,,和對(duì)的關(guān)系即可得到結(jié)果；

(2)利用裂項(xiàng)相消法，即可證明不等式.

【小問(wèn)1詳解】

a?11

忑5N*32),

?-an=+JSl，

，當(dāng)〃22時(shí)，Sn—5?_,=+JS.T，

-Js“_i)#7+JS“T)=+鄧"-1，

又?.?可＞()，所以底+宿＞0，

:?厄-瓦=1(心2),

???數(shù)列｛底｝是以6=6=1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

-"-y[s^,=l+(n-l)xl=n,所以S.=〃2.

二當(dāng)〃22時(shí)，an=+JS“_]=n+n-\=2n-\,

又=1滿足上式，

數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為?！?2〃-1.

【小問(wèn)2詳解】

J_J1

當(dāng)〃22時(shí),2

cTn-14?-4z?

111

???-^―

2234

*I11

所以對(duì)〃eN,〃N2,都有西+…+右T＜「

19.如圖，在四棱錐P—ABCQ中，平面平面45CD,PA=4。=2,3。=4,45=26，BD是

NADC的平分線，且MJ_8C.

（1）若點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，證明：8E〃平面PAO；

（2）已知二面角P—45—。的大小為60，求平面和平面PCO的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.

（2）

5

【解析】

【分析】（1）延長(zhǎng)CB,DA交于點(diǎn)r，連接PE,證明8￡〃尸尸即可；

（2）以A。的中點(diǎn)為。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法解決問(wèn)題.

【小問(wèn)1詳解】

在&CDF中，

Q8D是NAQC的平分線，且

二△CDF是等腰三角形，點(diǎn)3是C尸的中點(diǎn),

又〈E是PC的中點(diǎn)，

..BE//PF，

又PFu平面PAD,BE（Z平面PAD，

二直線BE〃平面PAD.

【小問(wèn)2詳解】

在△A3。中，AD=2,BD=4,AB=2s/3,

則/BAD=90，即84,AD，

由已知得NBDC=ZBDA=60,CD=8,

又平面PAD，平面ABCD,BAu平面ABCD

所以5A_L平面B4O,即

所以以NQ4Z）為二面角P—A8—￡＞的平面角,

所以NQ4￡>=60'，

又B4=AD=2,所以△E4O為正三角形,

取A。的中點(diǎn)為。，連OP，則

如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（1,0,0）,6（1,260）,。（-5,4百,0）,。（一1,0,0）制0,0,司,

所以麗=(1,0,6),麗=卜2,-26,0),配=(-4,4白,01

設(shè)加=（%,y,Z］）,〃=（%,%，Z2）分別為平面PBD和平面PCD的法向量，則

m-DP=0X.+V3z,=0-/r-\

一，即〈「,取y=T,則根=(,

in-BD=0-2王-2回=0''

=0

n-DP=Qx2+V3Z2

即《取以=1，則”=（百

n-DC=O-4%2+_Yj-0

3

所以cos/_g_加_\麗m-n=土

3

則平面P8D和平面PCO所成夾角的余弦值為g.

20.隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，社會(huì)對(duì)高素質(zhì)人才的需求不斷擴(kuò)大，我國(guó)本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，

2020年的考研人數(shù)是341萬(wàn)人，2021年考研人數(shù)是377萬(wàn)人.某省統(tǒng)計(jì)了該省其中四所大學(xué)2022年的畢

業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：

D大

A大學(xué)8大學(xué)C大學(xué)

學(xué)

2020年畢業(yè)人數(shù)x（千人）7654

2022年考研人數(shù)y（千人）0.50.40.30.2

（1）已知y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于*的線性回歸方程e=3x+2；

（2）假設(shè)該省對(duì)選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放0.5萬(wàn)元的補(bǔ)貼.

（i）若該省大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)為8千人，估計(jì)該省要發(fā)放補(bǔ)貼的總?cè)~：

（ii）若A大學(xué)的畢業(yè)生中小浙、小江選擇考研的概率分別為P、3/7-1,該省對(duì)小浙、小江兩人的考研

補(bǔ)貼總金額的期望不超過(guò)0.75萬(wàn)元，求。的取值范圍.

-Ex^-nx-y

參考公式：方=『——7^=號(hào)———>名="除

儲(chǔ)2—〃X

/=!/=1

【答案】（1）>=0.1%-0.2

__15'

（2）（i）300（萬(wàn)元）；（ii）

_38_

【解析】

【分析】（1）計(jì)算出7、5的值，將數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出否、q的值，可得出回歸直線方程；

(2)(i)將x=8代入回歸直線方程，可求得2022年的考研人數(shù)，即可計(jì)算得出該省要發(fā)放補(bǔ)貼的總?cè)?/p>

額的估計(jì)值；

(ii)設(shè)小浙、小江兩人中選擇考研的人數(shù)為X，則X的所有可能值為0、1、2,計(jì)算出X在不同取值

下的概率，可求得E(X),根據(jù)已知條件可得出E(0.5X)<0.75,可得出關(guān)于〃的不等式，結(jié)合

0</?<1

可求得P的取值范圍.

0<3/7-1<1

【小問(wèn)1詳解】

,口工十,口一4十D十0十/--心0.2+0.3+0.4+°.5=。35,

解:由題意得x=--------------=5.5,

44

4

又=7X0.5+6X0.4+5X0.3+4X0.2=8.2,

i=\

4__

/.-4工?丁=8.2-4x5.5x0.35=0.5,

/=!

44

222222

?/^XZ=7+6+5+4=126,Z.-4/=126-4x5.5=5,

；=iz=i

-05_

???8='^---------==所以a=y-Bx=0.35-0.1x5.5=-0.2,

ZI5

i=\

故得y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.Lv-0.2.

【小問(wèn)2詳解】

解：(i)將x=8代入y=0.1x-0.2=0.1x8-0.2=0.6,

估計(jì)該省要發(fā)放補(bǔ)貼的總金額為0.6x1000x0.5=300(萬(wàn)元)；

(ii)設(shè)小浙、小江兩人中選擇考研的人數(shù)為X，則X的所有可能值為0、1、2,

p(X=0)=(l_p)(2-3p)=3p2—5p+2,

P(X=1)=(1—p)(3p-1)+p(2—3p)=-6p2+6p—l,

2

P(X=2)=p(3p-l)=3p-pf

￡(X)=0x(3p2_5p+2)+(-6p2+6p-l)xl+(3p2-p)x2=4p-l,

￡（0.5X）=0.5x（4p-l）<0.75=>/?<-,

8

0</?<11215

又因?yàn)椤?可得一<，<一,故—一.

[0<3p-l<l3338

21.已知雙曲線C:J-*l(a>0,b>0)的離心率為半，且點(diǎn)(3,在。上.

(1)求雙曲線C的方程:

(2)試問(wèn)：在雙曲線。的右支上是否存在一點(diǎn)P,使得過(guò)點(diǎn)P作圓V+y2=i的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A,B,直線A6與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)M,N,且s材"？若存在，求出點(diǎn)P；若不

A/WC/JV33

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

【答案】（1）--/=1

3-

(2)存在，P(26,碼或網(wǎng)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意即可列出關(guān)于a、b、C方程組，即可解出答案;

(2)根據(jù)題意設(shè)P(x。,%),即可求出直線A3的方程，則可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示出

273

再由點(diǎn)。到直線A5的距離八PJ,則可表示出

V%o+>o

1n/o

S=-\MN[d=^-^=—,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

2119+8y；33

【小問(wèn)1詳解】

2^3「廠卜1242

因?yàn)閑=—=——,所以。=一優(yōu)a2+b2,即〃2=3b-

a33

又點(diǎn)（3,J5）在雙曲線的C：3-￡?=l3>0,b>0）圖像上,

9292

所以二-77=1，即777-77=1，解得從=1,/=3,

a2b'3b°b2

2

所以雙曲線--y2=l；

3

小問(wèn)2詳解】

設(shè)P（尤o，%）,

圓卜云了+卜-切=當(dāng)^

由已知點(diǎn)A5在以O(shè)P為直徑上,

又點(diǎn)在r+y2=1上,

解得直線AB的方程為/X+%）=1，

設(shè)直線A8與漸近線y=^x,y=

一四x的交點(diǎn)分別為M,N,

3

xox+yQy=1

13___

由＜百解得M

V3

干先

J7

x（）x+%y=i

16]

由，百解得N

V=--------X耳石

3

則三角形MON的面積S=^\MN\-d

2>1