信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)知識(shí)

./第1章信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念1.1引言系統(tǒng)是一個(gè)廣泛使用的概念,指由多個(gè)元件組成的相互作用、相互依存的整體.我們學(xué)習(xí)過"電路分析原理"的課程,電路是典型的系統(tǒng),由電阻、電容、電感和電源等元件組成.我們還熟悉汽車在路面運(yùn)動(dòng)的過程,汽車、路面、空氣組成一個(gè)力學(xué)系統(tǒng).更為復(fù)雜一些的系統(tǒng)如電力系統(tǒng),它包括若干發(fā)電廠、變電站、輸電網(wǎng)和電力用戶等,大的電網(wǎng)可以跨越數(shù)千公里.我們?cè)谟^察、分析和描述一個(gè)系統(tǒng)時(shí),總要借助于對(duì)系統(tǒng)中一些元件狀態(tài)的觀測(cè)和分析.例如,在分析一個(gè)電路時(shí),會(huì)計(jì)算或測(cè)量電路中一些位置的電壓和電流隨時(shí)間的變化；在分析一個(gè)汽車的運(yùn)動(dòng)時(shí),會(huì)計(jì)算或觀測(cè)驅(qū)動(dòng)力、阻力、位置、速度和加速度等狀態(tài)變量隨時(shí)間的變化.系統(tǒng)狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的關(guān)系稱為信號(hào),包含了系統(tǒng)變化的信息.很多實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)變量是非電的,我們經(jīng)常使用各種各樣的傳感器,把非電的狀態(tài)變量轉(zhuǎn)換為電的變量,得到便于測(cè)量的電信號(hào).隱去不同信號(hào)所代表的具體物理意義,信號(hào)就可以抽象為函數(shù),即變量隨時(shí)間變化的關(guān)系.信號(hào)用函數(shù)表示,可以是數(shù)學(xué)表達(dá)式,或是波形,或是數(shù)據(jù)列表.在本課程中,信號(hào)和函數(shù)的表述經(jīng)常不加區(qū)分.信號(hào)和系統(tǒng)分析的最基本的任務(wù)是獲得信號(hào)的特點(diǎn)和系統(tǒng)的特性.系統(tǒng)的分析和描述借助于建立系統(tǒng)輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間關(guān)系,因此信號(hào)分析和系統(tǒng)分析是密切相關(guān)的.系統(tǒng)的特性千變?nèi)f化,其中最重要的區(qū)別是線性和非線性、時(shí)不變和時(shí)變.這些區(qū)別導(dǎo)致分析方法的重要差別.本課程的內(nèi)容限于線性時(shí)不變系統(tǒng).我們最熟悉的信號(hào)和系統(tǒng)分析方法是時(shí)域分析,即分析信號(hào)隨時(shí)間變化的波形.例如,對(duì)于一個(gè)電壓測(cè)量系統(tǒng),要判斷測(cè)量的準(zhǔn)確度,可以直接分析比較被測(cè)的電壓波形〔測(cè)量系統(tǒng)輸入信號(hào)和測(cè)量得到的波形〔測(cè)量系統(tǒng)輸出信號(hào),觀察它們之間的相似程度.為了充分地和規(guī)范地描述測(cè)量系統(tǒng)的特性,經(jīng)常給系統(tǒng)輸入一個(gè)階躍電壓信號(hào),得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng),圖1-1是典型的波形,通過階躍響應(yīng)的電壓上升時(shí)間〔電壓從10％上升至90％的時(shí)間和過沖〔百分比等特征量,表述測(cè)量系統(tǒng)的特性,上升時(shí)間和過沖越小,系統(tǒng)特性越好.其中電壓上升時(shí)間反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度,小的上升時(shí)間對(duì)應(yīng)快的響應(yīng)速度.如果被測(cè)電壓快速變化,而測(cè)量系統(tǒng)的響應(yīng)特性相對(duì)較慢,則必然產(chǎn)生較大的測(cè)量誤差.信號(hào)與系統(tǒng)分析的另一種方法是頻域分析.信號(hào)頻域分析的基本原理是把信號(hào)分解為不同頻率三角信號(hào)的疊加,觀察信號(hào)所包含的各頻率分量的幅值和相位,得到信號(hào)的頻譜特性.圖1-2是從時(shí)域和頻域觀察一個(gè)周期矩形波信號(hào)的示意圖,由此可以看到信號(hào)頻域和時(shí)域的關(guān)系.系統(tǒng)的頻域分析是觀察系統(tǒng)對(duì)不同頻率激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng),得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性.頻域分析的重要優(yōu)點(diǎn)包括：〔1對(duì)信號(hào)變化的快慢和系統(tǒng)的響應(yīng)速度給出定量的描述.例如,當(dāng)我們要用一個(gè)示波器觀察一個(gè)信號(hào)時(shí),需要了解信號(hào)的頻譜特性和示波器的模擬帶寬,當(dāng)示波器的模擬帶寬能夠覆蓋被測(cè)信號(hào)的頻率范圍時(shí),可以保證測(cè)量的準(zhǔn)確.〔2為線性系統(tǒng)分析提供了一種簡化的方法,在時(shí)域分析中需要進(jìn)行的微分或積分運(yùn)算,在頻域分析中簡化成了代數(shù)運(yùn)算.圖1-圖1-1典型電壓測(cè)量系統(tǒng)的輸入和輸出波形輸入信號(hào)t0輸出信號(hào)t0過沖上升時(shí)間圖1-2圖1-2周期矩形波信號(hào)的時(shí)域和頻域信號(hào)和系統(tǒng)分析還有復(fù)頻域分析的方法,對(duì)于連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng),基于拉普拉斯變換,稱為域分析；對(duì)于離散信號(hào)和系統(tǒng),基于變換,稱為域分析.基于復(fù)頻域分析,能夠得到信號(hào)和系統(tǒng)響應(yīng)的特征參數(shù),即頻率和衰減,分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性和系統(tǒng)穩(wěn)定性等；復(fù)頻域分析也能簡化系統(tǒng)分析,將在時(shí)域分析中需要進(jìn)行的微分或積分運(yùn)算簡化為復(fù)頻域中的代數(shù)運(yùn)算.本課程將學(xué)習(xí)信號(hào)和系統(tǒng)分析的基本方法和原理,包括時(shí)域分析、頻域分析和復(fù)頻域分析.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用,離散信號(hào)和離散系統(tǒng)的分析方法具有非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用.本課程在深入學(xué)習(xí)連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步學(xué)習(xí)離散信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法.信號(hào)和系統(tǒng)分析的重要工具是信號(hào)變換,本課程依據(jù)信號(hào)變換方法的內(nèi)在聯(lián)系,將依次介紹連續(xù)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)〔FS、連續(xù)信號(hào)傅里葉變換〔FT、拉普拉斯變換、離散周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)〔DFS、離散時(shí)間傅里葉變換〔DTFT、變換,以及用于計(jì)算機(jī)計(jì)算的離散傅里葉變換〔DFT和快速傅里葉變換〔FFT.1.2信號(hào)的分類連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)簡稱為連續(xù)信號(hào),在所討論的信號(hào)時(shí)間區(qū)間內(nèi),除了若干不連續(xù)點(diǎn)之外,任意時(shí)間都有確定的信號(hào)取值.連續(xù)信號(hào)的符號(hào)表示為,為時(shí)間,連續(xù)取值.當(dāng)需要區(qū)分連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)時(shí),以下標(biāo)表示連續(xù)信號(hào),表示為.圖1-3是一個(gè)連續(xù)信號(hào)的示意圖.連續(xù)信號(hào)可分為非奇異信號(hào)和奇異信號(hào).當(dāng)信號(hào)和信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)在整個(gè)時(shí)間區(qū)間都是連續(xù)時(shí),稱為非奇異信號(hào)；當(dāng)信號(hào)或信號(hào)的某階導(dǎo)數(shù)存在不連續(xù)點(diǎn)〔跳變點(diǎn)時(shí),稱為奇異信號(hào).注意,如果一個(gè)信號(hào)本身是連續(xù)的,但若干次求導(dǎo)以后的導(dǎo)函數(shù)存在不連續(xù)點(diǎn),則是奇異信號(hào).一個(gè)非奇異信號(hào)和一個(gè)奇異信號(hào)相加或相乘,其結(jié)果通常仍為一個(gè)奇異信號(hào).離散時(shí)間信號(hào)簡稱為離散信號(hào),在所討論的信號(hào)時(shí)間區(qū)間內(nèi),信號(hào)只在一些離散時(shí)間點(diǎn)取值,其他時(shí)間無定義.離散信號(hào)的符號(hào)表示為,為離散點(diǎn)序數(shù),取整數(shù)值.這里用下標(biāo)表示離散信號(hào),以區(qū)分連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào).圖1-4是一個(gè)離散信號(hào)的示意圖.注意,在離散點(diǎn)之間,信號(hào)無定義,不要理解為信號(hào)取零值.離散信號(hào)通常來自于對(duì)連續(xù)信號(hào)的抽樣,并且經(jīng)常是等間隔抽樣.相鄰兩個(gè)抽樣點(diǎn)之間的時(shí)間間隔稱為抽樣周期或抽樣間隔,用表示；單位時(shí)間的抽樣點(diǎn)數(shù)稱為抽樣率,用表示,有.信號(hào)抽樣滿足關(guān)系.在離散信號(hào)分析中,經(jīng)常隱去時(shí)間的概念,因此也稱為離散序列.實(shí)際中還經(jīng)常用到模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)的概念.所謂模擬信號(hào),信號(hào)的時(shí)間和幅值都連續(xù)取值.本課程中不區(qū)分模擬信號(hào)和連續(xù)信號(hào).所謂數(shù)字信號(hào),信號(hào)的時(shí)間和幅值都離散取值.實(shí)際中的信號(hào)抽樣,由于模數(shù)轉(zhuǎn)換器〔A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)限制,抽樣得到的離散點(diǎn)的信號(hào)幅值都是離散的,所以是數(shù)字信號(hào).圖1-4離散信號(hào)0圖1-4離散信號(hào)0-112345678-20圖1-3連續(xù)信號(hào)周期信號(hào)和非周期信號(hào)周期信號(hào)是以一定時(shí)間間隔周期重復(fù)的信號(hào),無始無終.連續(xù)周期信號(hào)滿足關(guān)系〔1-1稱為連續(xù)周期信號(hào)的周期.離散周期信號(hào)滿足關(guān)系〔1-2取正整數(shù),稱為離散周期信號(hào)的周期.能量有限信號(hào)和能量無限信號(hào)一個(gè)連續(xù)信號(hào)的能量定義為〔1-3當(dāng)為復(fù)信號(hào)時(shí),.信號(hào)的能量可理解為：假設(shè)是一個(gè)電壓信號(hào)或電流信號(hào),它作用在一個(gè)1Ω電阻上時(shí)所消耗的能量為信號(hào)能量.一個(gè)離散信號(hào)的能量定義為〔1-4當(dāng)為復(fù)信號(hào)時(shí),.對(duì)于連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào),當(dāng)信號(hào)的能量為有限值時(shí)稱為能量有限信號(hào),否則稱為能量無限信號(hào).式〔1-3和式〔1-4中取信號(hào)的絕對(duì)值,表示信號(hào)能量的定義對(duì)復(fù)信號(hào)也成立.1.3典型信號(hào)典型連續(xù)非奇異信號(hào)1.三角信號(hào)三角信號(hào)有正弦和余弦兩種表示形式,為方便起見,本教材選擇余弦函數(shù)的表示方式.三角信號(hào)的一般表達(dá)式為〔1-5式中為信號(hào)幅值,為角頻率,為初始相位.以后在提到三角信號(hào)的初始相位時(shí),均指余弦表示方式下的初始相位.三角信號(hào)的角頻率、頻率和周期滿足關(guān)系：.當(dāng)三角信號(hào)的角頻率時(shí)為直流信號(hào),直流信號(hào)是三角信號(hào)的一個(gè)特例.圖1-5是一個(gè)三角信號(hào)的典型波形.2.指數(shù)信號(hào)指數(shù)信號(hào)的表達(dá)式為〔1-6式中和均為實(shí)數(shù),為時(shí)的信號(hào)幅值,為衰減系數(shù),當(dāng)時(shí),隨時(shí)間增大而增加；當(dāng)時(shí),隨時(shí)間增大而減小.圖1-6是指數(shù)信號(hào)的典型波形.圖1-6指數(shù)信號(hào)波形0圖1-6指數(shù)信號(hào)波形0圖1-5三角信號(hào)波形03.復(fù)指數(shù)信號(hào)復(fù)指數(shù)信號(hào)的表達(dá)式為〔1-7式中和既可為實(shí)數(shù)也可為復(fù)數(shù),有以下幾種情況.〔1當(dāng)和都為實(shí)數(shù)時(shí),就是一個(gè)指數(shù)信號(hào).指數(shù)信號(hào)是復(fù)指數(shù)信號(hào)的一個(gè)特例.〔2當(dāng)為實(shí)數(shù),為復(fù)數(shù)時(shí),設(shè)〔1-8有〔1-9根據(jù)歐拉公式〔1-10〔1-10b于是有〔1-11此時(shí)的實(shí)部和虛部都是一個(gè)指數(shù)包絡(luò)的三角函數(shù),復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別表示衰減系數(shù)和角頻率.當(dāng)時(shí),有〔1-12它的實(shí)部和虛部都是無衰減的三角函數(shù).〔3如果和都為復(fù)數(shù),設(shè)〔1-13則有〔1-14其實(shí)部和虛部分別是一個(gè)指數(shù)包絡(luò)的三角函數(shù),復(fù)數(shù)的模和輻角分別表示指數(shù)包絡(luò)三角函數(shù)的幅值和初始相位,復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別表示衰減系數(shù)和角頻率.復(fù)指數(shù)信號(hào)是一個(gè)抽象的信號(hào),實(shí)際中并不存在復(fù)指數(shù)信號(hào),但借助于復(fù)指數(shù)信號(hào),可以表示指數(shù)信號(hào)、三角信號(hào)和指數(shù)包絡(luò)三角信號(hào),描述了幅值、衰減、頻率和相位等特征量.4.三角信號(hào)的復(fù)指數(shù)表示一個(gè)三角信號(hào)可以用一對(duì)共軛復(fù)指數(shù)信號(hào)表示,根據(jù)歐拉公式,它們滿足關(guān)系〔1-15〔M是實(shí)數(shù),A1、A2是復(fù)數(shù).圖1-7顯示了在復(fù)平面上一對(duì)共軛復(fù)指數(shù)信號(hào)疊加為一個(gè)實(shí)三角信號(hào)的關(guān)系.在復(fù)平面上,共軛復(fù)函數(shù)和是一對(duì)旋轉(zhuǎn)的單位向量,向量始端在原點(diǎn),長度為1,分別以和的角速度旋轉(zhuǎn).在時(shí),兩個(gè)旋轉(zhuǎn)向量的起始位置在正實(shí)軸,即初始相位均為零；在任意時(shí)間,兩個(gè)單位旋轉(zhuǎn)向量與實(shí)軸的夾角分別為和.兩個(gè)向量在實(shí)軸上的投影都是,在虛軸上的投影分別為和.和始終關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,兩個(gè)向量疊加得到向量,始終在實(shí)軸上變化,是一個(gè)實(shí)函數(shù),最大幅值為2.式〔1-15中的共軛復(fù)數(shù)和是復(fù)平面上兩個(gè)關(guān)于實(shí)軸為對(duì)稱的固定向量,向量始端在原點(diǎn),長度為,輻角分別為和.圖1-7三角信號(hào)和復(fù)指數(shù)信號(hào)的關(guān)系圖1-7三角信號(hào)和復(fù)指數(shù)信號(hào)的關(guān)系復(fù)數(shù)和與復(fù)函數(shù)和分別相乘,得和,它們也是復(fù)平面上一對(duì)旋轉(zhuǎn)的共軛向量,始端在原點(diǎn),長度為,分別以角速度和旋轉(zhuǎn),初始相位分別為和.在任意時(shí)間,兩個(gè)向量與實(shí)軸的夾角分別為和.這兩個(gè)向量在實(shí)軸上的投影均為,在虛軸上的投影分別為和.兩個(gè)向量始終關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,疊加得向量,始終在實(shí)軸上變化,最大幅值為.由此可見,一對(duì)任意幅值和初始相位的共軛復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加是一個(gè)實(shí)三角信號(hào).反過來,任意幅值和初始相位的三角信號(hào)可分解為兩個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加.共軛復(fù)數(shù)和的模和輻角對(duì)應(yīng)于三角信號(hào)的幅值和初始相位,單位共軛復(fù)函數(shù)和的角頻率對(duì)應(yīng)于三角信號(hào)的角頻率.一個(gè)實(shí)三角信號(hào)分解為正、負(fù)兩個(gè)頻率的復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加,引出了負(fù)頻率的概念,這個(gè)負(fù)頻率的物理意義表示的還是實(shí)際的相同數(shù)值的正頻率.信號(hào)的復(fù)指數(shù)表示把指數(shù)信號(hào)、三角信號(hào)和指數(shù)包絡(luò)三角信號(hào)統(tǒng)一到了同一個(gè)形式,同時(shí)包含了幅值、衰減、頻率和相位等特征量,給信號(hào)和系統(tǒng)分析帶來了很大方便,因此得到了大量使用.5.抽樣信號(hào)抽樣信號(hào)的表達(dá)式為〔1-16其波形如圖1-8.在時(shí)刻,抽樣信號(hào)取值為〔1-17抽樣信號(hào)滿足以下關(guān)系〔1-18圖1-8抽樣信號(hào)波形圖1-8抽樣信號(hào)波形0圖1-9單位階躍信號(hào)圖1-9單位階躍信號(hào)01.3.2典型奇異信號(hào)1.單位階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)的定義為〔1-19〔1-20圖1-9是單位階躍信號(hào)的波形,在處信號(hào)跳變.2.單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)的定義為和〔1-21和〔1-22圖1-10是單位沖激信號(hào)的圖形表示.直觀地理解,單位沖激信號(hào)具有兩個(gè)基本特點(diǎn)：其一,信號(hào)在一個(gè)無窮小時(shí)間區(qū)間里取非零值,其他區(qū)間為零或無窮?。黄涠?信號(hào)波形的凈面積為1.因?yàn)樾盘?hào)在無窮小區(qū)間內(nèi)的凈面積是1,所以信號(hào)的幅值必然是無窮大.圖1-11單位沖激信號(hào)的逼近圖1-11單位沖激信號(hào)的逼近0圖1-10單位沖激信號(hào)0圖1-11是用矩形脈沖取極限得單位沖激信號(hào)的情況.設(shè)矩形脈沖的寬度為,面積為1,則高度為.壓縮脈沖的寬度,保持其面積不變,則脈沖的高度增加.當(dāng)矩形脈沖寬度時(shí),矩形脈沖高度,矩形脈沖趨于單位沖激脈沖,即〔1-23抽樣信號(hào)取極限也可得到?jīng)_激信號(hào).構(gòu)造信號(hào),當(dāng)和時(shí),有；當(dāng)和時(shí),有〔此處應(yīng)用了廣義極限.可見,當(dāng)時(shí),信號(hào)波形寬度趨于,幅值趨于,且有〔1-24因此〔1-25將任意形狀的信號(hào)進(jìn)行水平壓縮,如果它滿足上述沖激信號(hào)的兩個(gè)特點(diǎn),就可以用沖激信號(hào)表示.如果波形的凈面積不是1,而是一個(gè)常數(shù),則可以用一個(gè)強(qiáng)度為的沖激信號(hào)表示,即.單位沖激函數(shù)具有以下基本特性：〔1與單位階躍函數(shù)的關(guān)系〔1-26〔1-27〔2抽樣特性〔1-28〔1-29〔3奇偶特性〔1-30〔4尺度特性〔1-31以下幾個(gè)例子可以幫助理解沖激信號(hào)的物理意義.例1-1在圖1-12中,一個(gè)直流電源對(duì)電容充電,當(dāng)開關(guān)在時(shí)刻關(guān)合時(shí),電容在瞬間被充電至電壓.設(shè)電容的初始電壓為0,則電容的電荷隨時(shí)間的變化為〔1-32充電電流是電荷變化的導(dǎo)函數(shù)〔1-33它是一個(gè)強(qiáng)度為的沖激信號(hào).實(shí)際電路中不可避免地有電感和電阻,充電時(shí)間不可能為無窮小,充電電流幅值也達(dá)不到無窮大,但在充電電流持續(xù)時(shí)間很短、電流幅值很大的情況下,可用沖激信號(hào)近似表示.例1-2在圖1-13中,一個(gè)質(zhì)量為的剛性球處于靜止?fàn)顟B(tài),在時(shí)刻被另一剛性球撞擊,開始以速度運(yùn)動(dòng),因?yàn)樽矒魰r(shí)間很短,則被撞剛性球的速度變化為〔1-34其加速度為〔1-35其所受到的撞擊力為〔1-36被撞擊球所受的撞擊力和運(yùn)動(dòng)加速度都可以用沖激信號(hào)表示.實(shí)際中的撞擊時(shí)間不可能為無窮小,因此撞擊力也達(dá)不到無窮大,但在撞擊時(shí)間很短的情況下可以用沖激信號(hào)近似表示.圖1-13剛性球碰撞圖1-13剛性球碰撞圖1-14長線上質(zhì)點(diǎn)的線密度圖1-14長線上質(zhì)點(diǎn)的線密度圖1-12直流電源對(duì)電容充電圖1-12直流電源對(duì)電容充電例1-3圖1-14所示是一根長線,在和兩位置有兩個(gè)質(zhì)量分別為和的質(zhì)點(diǎn),長線其他部分無質(zhì)量.該長線質(zhì)量分布隨變化的關(guān)系為〔1-37其質(zhì)量線密度為〔1-38實(shí)際中的質(zhì)點(diǎn)總具有一定的尺寸,在尺寸很小的情況下,質(zhì)量線密度可以用沖激信號(hào)表示.3.單位沖激偶信號(hào)單位沖激偶信號(hào)的定義為〔1-39單位沖激偶信號(hào)的基本特性：〔1-40〔1-41〔1-42〔1-43〔1-44典型離散信號(hào)1．單位樣值信號(hào)單位樣值信號(hào)的定義為〔1-45〔1-46圖1-15是單位樣值信號(hào)的波形.單位樣值信號(hào)不是單位沖激信號(hào)的抽樣.2．單位階躍序列單位階躍序列的定義為〔1-47〔1-48圖1-16是單位階躍序列的波形.對(duì)連續(xù)單位階躍信號(hào)進(jìn)行抽樣,并設(shè)定在時(shí)刻對(duì)單位階躍信號(hào)的抽樣值為1,則抽樣結(jié)果為單位階躍序列.圖1-16單位階躍序列-2-10123圖1-16單位階躍序列-2-10123···圖1-15單位樣值信號(hào)-2-101233．三角序列三角序列的表達(dá)式為〔1-49式中為幅值,為離散角頻率,表示單位離散間隔信號(hào)變化的角度〔用弧度表示,為初始相位.圖1-17是三角序列的波形.當(dāng)三角序列的離散角頻率為時(shí),即為直流序列,直流序列是三角序列的特例.圖1-17三角序列圖1-17三角序列012345678910-1-2三角序列經(jīng)常來自于對(duì)連續(xù)三角信號(hào)的數(shù)值抽樣,如果抽樣周期是,則有〔1-50此時(shí)離散角頻率和連續(xù)角頻率的關(guān)系為〔1-51連續(xù)角頻率表示連續(xù)三角信號(hào)在單位時(shí)間內(nèi)變化的角度,離散角頻率表示離散三角序列在單位離散間隔內(nèi)變化的角度,請(qǐng)注意理解和區(qū)分它們的物理意義.對(duì)連續(xù)三角信號(hào)抽樣得離散三角序列,雖然是周期信號(hào),但并不一定是周期信號(hào).設(shè)的周期為,抽樣周期為,則的周期性取決于和的關(guān)系.如果存在非零正整數(shù)和,滿足,即為有理數(shù),則為周期序列.如果是既約分?jǐn)?shù),則的周期為.當(dāng)為無理數(shù)時(shí),不會(huì)周期重復(fù),為非周期序列.4．指數(shù)序列指數(shù)序列的表達(dá)式為〔1-52式中和均為實(shí)數(shù),為時(shí)的信號(hào)幅值,為離散衰減系數(shù),當(dāng)時(shí),隨增大而增加；當(dāng)時(shí),隨增大而減小.圖1-18是指數(shù)序列的典型波形.對(duì)連續(xù)指數(shù)信號(hào)抽樣,可得離散指數(shù)序列〔1-53其中〔1-54表示一個(gè)抽樣間隔中的信號(hào)衰減.圖1-18指數(shù)序列波形圖1-18指數(shù)序列波形0復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列的表達(dá)式為〔1-55式中和可為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù).類似于連續(xù)復(fù)指數(shù)函數(shù),隨著和取值的不同,也有不同的變化.〔1當(dāng)和都為實(shí)數(shù)時(shí),有〔1-56此為實(shí)指數(shù)序列.指數(shù)序列是復(fù)指數(shù)序列的一個(gè)特例.〔2當(dāng)為實(shí)數(shù),為復(fù)數(shù)時(shí),設(shè)〔1-57有〔r為e的σ次方〔1-58其實(shí)部和虛部都是指數(shù)包絡(luò)的三角序列,復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別表示了離散信號(hào)的衰減和角頻率.當(dāng)時(shí),有〔1-59其實(shí)部和虛部都是三角序列.〔3當(dāng)和都為復(fù)數(shù)時(shí),設(shè),〔1-60則有〔1-61其實(shí)部和虛部分別是一個(gè)指數(shù)包絡(luò)的三角序列,復(fù)數(shù)的模和輻角分別表示了指數(shù)包絡(luò)三角序列的幅值和初始相位,復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別表示了衰減和角頻率.借助于離散復(fù)指數(shù)信號(hào),可以表示離散指數(shù)信號(hào)、離散三角信號(hào)和離散指數(shù)包絡(luò)三角信號(hào),描述了幅值、衰減、頻率和相位等特征量.和連續(xù)三角信號(hào)類似,一個(gè)離散三角序列可以表示為一對(duì)共軛的離散復(fù)指數(shù)序列的疊加,即〔1-62依然可以用類似于圖1-7所示的向量圖表示離散三角序列和離散復(fù)指數(shù)序列的關(guān)系,差別在于,連續(xù)信號(hào)情況下,旋轉(zhuǎn)向量連續(xù)旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角頻率分別為和；離散信號(hào)情況下,旋轉(zhuǎn)向量離散〔步進(jìn)旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角頻率〔單位離散間隔步進(jìn)的角度分別為和.1.4信號(hào)的運(yùn)算信號(hào)的移位、反褶與尺度變化已知信號(hào),是對(duì)的移位運(yùn)算,正號(hào)對(duì)應(yīng)于波形左移時(shí)間；負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于波形右移時(shí)間.是對(duì)的尺度運(yùn)算,當(dāng)時(shí),波形在水平方向被壓縮；當(dāng)時(shí),波形在水平方向被擴(kuò)展.是對(duì)的反褶運(yùn)算.信號(hào)同時(shí)包含了對(duì)信號(hào)的移位、反褶和尺度運(yùn)算.具體運(yùn)算步驟可分解如下：〔1改寫信號(hào)形式〔1-63〔2由做尺度和反褶運(yùn)算得；〔3由做移位運(yùn)算得.在同時(shí)包含移位、反褶和尺度運(yùn)算時(shí),需注意運(yùn)算步驟,否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.例1-4已知信號(hào),波形如圖1-19<a>所示.求的波形.解改寫信號(hào)形式,得.由做尺度運(yùn)算,得,波形如圖1-19<b>所示.對(duì)做反褶運(yùn)算,得,波形如圖1-19<c>所示.再對(duì)右移,得,最終波形如圖1-19<d>所示.圖1-19信號(hào)的圖1-19信號(hào)的移位、反褶與尺度0<c>02.5<d>0<b>0<a>圖1-20信號(hào)周期延拓0<c>0<b>0<a>…………1.已知信號(hào)和,信號(hào)相加運(yùn)算為〔1-64信號(hào)相乘運(yùn)算為〔1-65如果和為周期信號(hào),它們的周期分別為和,那么的周期性取決于和的關(guān)系.如果存在非零正整數(shù)和,滿足,即為有理數(shù),則為周期信號(hào).如果是既約分?jǐn)?shù),則的周期為或.如果為無理數(shù),則為非周期信號(hào).可以看到,周期信號(hào)相疊加并不一定是周期信號(hào),只有它們的周期之比為有理數(shù)時(shí),疊加后的信號(hào)才保持周期性.1.已知非周期信號(hào),它的周期延拓為〔1-66其中為延拓周期.為周期信號(hào),周期等于延拓周期.圖1-20為信號(hào)周期延拓示意圖,它包括無混疊周期延拓和有混疊周期延拓兩種情況.當(dāng)信號(hào)非零值的時(shí)間有限〔簡稱時(shí)間有限,且非零值的時(shí)間小于延拓周期時(shí),重復(fù)移位的波形互相不混疊,為無混疊延拓,如圖1-20<b>所示.當(dāng)信號(hào)非零值的時(shí)間無限〔簡稱時(shí)間無限,或者時(shí)間有限,但非零值的時(shí)間大于延拓周期時(shí),重復(fù)移位的波形互相混疊,為有混疊延拓,如圖1-20<c>所示.1.所謂抽樣,就是從連續(xù)信號(hào)中,每隔一定時(shí)間間隔抽取一個(gè)樣本,通常為等間隔抽樣,抽樣間隔也稱抽樣周期.信號(hào)抽樣有脈沖抽樣和數(shù)值抽樣兩種方式.圖1-22信號(hào)沖激脈沖抽樣……<a><b><c>圖1-21信號(hào)矩形脈沖抽樣……<a><b><c>脈沖抽樣是用一個(gè)周期脈沖信號(hào)和被抽樣信號(hào)相乘,得到抽樣信號(hào),此處下標(biāo)表示周期信號(hào),下標(biāo)圖1-22信號(hào)沖激脈沖抽樣……<a><b><c>圖1-21信號(hào)矩形脈沖抽樣……<a><b><c>圖1-23圖1-23信號(hào)數(shù)值抽樣<a><b>1.5信號(hào)的分解信號(hào)分解是為了分析信號(hào)的方便把一個(gè)信號(hào)分解為多個(gè)〔有限個(gè)或無限個(gè)較為簡單的信號(hào)分量的疊加.信號(hào)分解的概念和方法是信號(hào)分析的精髓.常用的信號(hào)分解方式有：直流分量和交流分量分解,偶分量和奇分量分解,實(shí)分量和虛分量分解,脈沖分量分解,正交分量分解等.信號(hào)脈沖分量分解和正交分解的概念留待后面詳細(xì)介紹.直流分量與交流分量任一信號(hào)可分解為直流分量和交流分量之和,即〔1-67其中是直流分量,為信號(hào)的平均值〔1-68是交流分量,是原信號(hào)中去掉直流分量后的部分.在信號(hào)直流分量和交流分量分解的方式下,原信號(hào)的平均功率等于其直流分量的功率與其交流分量的平均功率之和.偶分量與奇分量任一信號(hào)可分解為偶分量和奇分量之和,即〔1-69其中為偶分量,為奇分量,且有〔1-70在信號(hào)偶分量與奇分量分解的方式下,原信號(hào)的平均功率等于其偶分量的平均功率與其奇分量的平均功率之和.實(shí)部分量與虛部分量任一復(fù)信號(hào)可分解為實(shí)部信號(hào)和虛部信號(hào)之和,即〔1-71其中為實(shí)部分量,為虛部分量,有〔1-72是的共軛.在信號(hào)實(shí)部分量和虛部分量分解的方式下,信號(hào)平均功率為〔1-73即原信號(hào)的平均功率等于其實(shí)部分量的平均功率與其虛部分量的平均功率之和.1.7系統(tǒng)的分類連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)的輸入〔激勵(lì)信號(hào)和輸出〔響應(yīng)信號(hào)都是連續(xù)信號(hào)時(shí),稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng).我們所熟悉的電路系統(tǒng)即為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng).連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)通常用微分方程或微分方程組來描述.當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)都是離散信號(hào)時(shí),稱為離散時(shí)間系統(tǒng).離散時(shí)間系統(tǒng)可以通過一個(gè)軟件程序來實(shí)現(xiàn),在數(shù)字信號(hào)處理中大量使用.例如,在數(shù)字電度表中,首先對(duì)電壓和電流進(jìn)行抽樣,得離散電壓和離散電流信號(hào),然后則通過實(shí)時(shí)的數(shù)字計(jì)算,獲得離散的功率信號(hào)和電量信號(hào),還可以分析諧波,計(jì)算諧波功率和電量.離散系統(tǒng)通常用差分方程或差分方程組來描述.存在連續(xù)和離散混合的系統(tǒng),即一個(gè)系統(tǒng)中同時(shí)包含連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào).例如數(shù)字電度表中的模數(shù)〔A/D轉(zhuǎn)換系統(tǒng),抽樣前的信號(hào)是連續(xù)的,抽樣后的信號(hào)是離散的.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)系統(tǒng)在任意時(shí)刻的輸出只取決于同時(shí)刻的系統(tǒng)輸入,和系統(tǒng)過去的狀態(tài)無關(guān),則稱為即時(shí)系統(tǒng).如果系統(tǒng)的輸出不僅取決于同時(shí)刻的系統(tǒng)輸入,還取決于系統(tǒng)過去的狀態(tài),則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng).即時(shí)系統(tǒng)不包含記憶元件.例如,對(duì)于電路系統(tǒng),電感和電容能夠儲(chǔ)能,屬于記憶元件,電阻則屬于非記憶元件.因此,一個(gè)只包含電源和電阻的系統(tǒng)是即時(shí)系統(tǒng),而包含了電感或電容的系統(tǒng)稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng).動(dòng)態(tài)系統(tǒng)用微分方程或差分方程描述,即時(shí)系統(tǒng)用代數(shù)方程描述.線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)需要滿足疊加性和均勻性.所謂疊加性,即多個(gè)激勵(lì)信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)