江西省撫州一中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

江西省撫州一中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知分別為四面體的棱上的點(diǎn),且,,,,則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．平面 B．C．直線相交于同一點(diǎn) D．平面2．已知的展開式中沒有項(xiàng)，，則的值可以是（）A．5 B．6 C．7 D．83．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)等于()A． B． C． D．i4．“”是“對任意恒成立”的A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）A．2019 B． C．2020 D．6．已知函數(shù)和都是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．7．設(shè)向量與向量垂直，且，，則下列向量與向量共線的是（）A． B． C． D．8．函數(shù)在上取得最小值時(shí)，的值為（）．A．0 B． C． D．9．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.6826 B．0.1587 C．0.1588 D．0.341310．在某互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)上，為了提升安全級別，將5名特警分配到3個(gè)重要路口執(zhí)勤，每個(gè)人只能選擇一個(gè)路口，每個(gè)路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一個(gè)路口，則不同的安排方法有（）A．180種 B．150種 C．96種 D．114種11．已知集合，若，則＝()A．或 B．或 C．或 D．或或12．將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事件A為“兩顆骰子向上點(diǎn)數(shù)不同”，事件B為“至少有一顆骰上點(diǎn)數(shù)為3點(diǎn)”則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．_________________．14．已知是定義在上的奇函數(shù)，若，，則的值為__________．15．歐拉在1748年給出的著名公式(歐拉公式)是數(shù)學(xué)中最卓越的公式之一，其中,底數(shù)＝2.71828…，根據(jù)歐拉公式，任何一個(gè)復(fù)數(shù)，都可以表示成的形式，我們把這種形式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第________象限．16．兩根相距的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于的概率是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性．18．（12分）某周末，鄭州方特夢幻王國匯聚了八方來客.面對該園區(qū)內(nèi)相鄰的兩個(gè)主題公園“千古蝶戀”和“西游傳說”，成年人和未成年人選擇游玩的意向會(huì)有所不同.某統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)對園區(qū)內(nèi)的100位游客（這些游客只在兩個(gè)主題公園中二選一）進(jìn)行了問卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示，在被調(diào)查的50位成年人中，只有10人選擇“西游傳說”，而選擇“西游傳說”的未成年人有20人.(1）根據(jù)題意，請將下面的列聯(lián)表填寫完整；（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為選擇哪個(gè)主題公園與年齡有關(guān).附參考公式與表：.19．（12分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，求多面體的體積．20．（12分）已知命題函數(shù)是上的奇函數(shù)，命題函數(shù)的定義域和值域都是，其中.（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的值；（2）若“且”為假命題，“或”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（2）已知，若函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，且（為與無關(guān)的常數(shù)），證明：.22．（10分）某學(xué)校實(shí)行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對3個(gè)才能通過初試已知甲、乙兩人參加初試，在這8個(gè)試題中甲能答對6個(gè)，乙能答對每個(gè)試題的概率為，且甲、乙兩人是否答對每個(gè)試題互不影響.（1）試通過概率計(jì)算，分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；（2）若答對一題得5分，答錯(cuò)或不答得0分，記乙答題的得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)線面平行以及空間直線和平面的位置關(guān)系分別進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】，，是的中位線，，且，平面，平面，平面，故正確，，，，且，則，故B正確，是梯形，則直線，相交，設(shè)交點(diǎn)為，則，平面，，平面，則是平面和平面的公共點(diǎn)，則，即直線，，相交于同一點(diǎn)，故正確，因?yàn)?，，所以直線與必相交，所以錯(cuò)誤.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間直線和平面位置關(guān)系的判斷，根據(jù)空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2、C【解題分析】

將條件轉(zhuǎn)化為的展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，不含項(xiàng)，不含項(xiàng)，然后寫出的展開式的通項(xiàng)，即可分析出答案.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_式中沒有項(xiàng)，所以的展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，不含項(xiàng)，不含項(xiàng)的展開式的通項(xiàng)為：所以當(dāng)取時(shí)，方程無解檢驗(yàn)可得故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查的是二項(xiàng)式定理的知識，在解決二項(xiàng)式展開式的指定項(xiàng)有關(guān)的問題的時(shí)候，一般先寫出展開式的通項(xiàng).3、D【解題分析】

把給出的等式通過復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算化簡后,直接利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可得解.【題目詳解】,,.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查共扼復(fù)數(shù),是基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合判別式的解法進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】解：對任意恒成立，推不出，，“”是“對任意恒成立”的必要不充分條件．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)判別式的解法是解決本題的關(guān)鍵．5、D【解題分析】

用，代入已知等式，得，可以變形為：，說明是等差數(shù)列，故可以求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出的值.【題目詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故本題選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了公式的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的判定義、以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.6、B【解題分析】

由和都是定義在上的偶函數(shù)，可推導(dǎo)出周期為4，而，即可計(jì)算.【題目詳解】因?yàn)槎际嵌x在上的偶函數(shù)，所以，即，又為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)周期，所以，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，周期性，利用周期求函數(shù)值，屬于中檔題.7、B【解題分析】

先根據(jù)向量計(jì)算出的值，然后寫出的坐標(biāo)表示，最后判斷選項(xiàng)中的向量哪一個(gè)與其共線.【題目詳解】因?yàn)橄蛄颗c向量垂直，所以，解得，所以，則向量與向量共線，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的垂直與共線問題，難度較易.當(dāng)，若，則，若，則.8、D【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性分析求解即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí),.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng),即時(shí),取得最小值.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的最值問題,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，知這組數(shù)據(jù)是以為對稱軸的，根據(jù)所給的區(qū)間的概率與要求的區(qū)間的概率之間的關(guān)系，單獨(dú)要求的概率的值．詳解：∵機(jī)變量服從正態(tài)分布，，

，

∴.故選：D．點(diǎn)睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求某一個(gè)區(qū)間的概率，屬基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】分析：先不管條件甲和乙不能安排在同一個(gè)路口，先算出總共的安排方法，再減去甲和乙在同一個(gè)路口的情況即可.詳解：先不管條件甲和乙不能安排在同一個(gè)路口，分兩種情況：①三個(gè)路口人數(shù)情況3，1，1，共有種情況；②三個(gè)路口人數(shù)情況2，2，1，共有種情況.若甲乙在同一路口，則把甲乙看作一個(gè)整體，則相當(dāng)于將4名特警分配到三個(gè)不同的路口，則有種，故甲和乙不能安排在同一個(gè)路口，不同的安排方法有種.故選：D.點(diǎn)睛：本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題.11、C【解題分析】或．故選C．點(diǎn)睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素元素的限制條件，明確集合的類型，是數(shù)集，是點(diǎn)集還是其它集合．2、求集合的交、交、補(bǔ)時(shí)，一般先化簡，再由交、并、補(bǔ)的定義求解．3、在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化，一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍．12、D【解題分析】

用組合數(shù)公式計(jì)算事件A和事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)，代入條件概率公式計(jì)算．【題目詳解】解：兩顆骰子各擲一次包含的基本事件的個(gè)數(shù)是1．事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)有，則．事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)為10，則．所以在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為：，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)微積分基本定理計(jì)算即可【題目詳解】（x2+2x+1）dx．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了微積分基本定理，關(guān)鍵是找到原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性和可推導(dǎo)得到函數(shù)為周期函數(shù)，周期為；將變?yōu)?，根?jù)奇函數(shù)可得，且可求得結(jié)果.【題目詳解】為奇函數(shù)，又是周期為的周期函數(shù)又，本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的周期性求解函數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)的奇偶性和對稱性求解得到函數(shù)的周期，從而將所求函數(shù)值變?yōu)橐阎暮瘮?shù)值.15、四【解題分析】

由歐拉公式求出，再由復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算計(jì)算出，由此求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在幾象限．【題目詳解】因?yàn)椋裕?，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本計(jì)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于簡單題．16、【解題分析】在距繩子兩段兩米處分別取A，B兩點(diǎn)，當(dāng)繩子在線段AB上時(shí)（不含端點(diǎn)），符合要求，所以燈與兩端距離都大于2m的概率為，故填．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）討論見解析【解題分析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（Ⅱ）分類討論參數(shù)的范圍，利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可.【題目詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，所以．所以．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅱ）因?yàn)?，所以．?）當(dāng)時(shí)，因?yàn)橛傻?，由得，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，令，得．①當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或．所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞減．②當(dāng)時(shí)，由得或；由得．所以在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．③當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗栽趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．④當(dāng)時(shí)，由得或；由得．所以在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．綜上可知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用利用導(dǎo)數(shù)證明含參函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）沒有99%的把握認(rèn)為選擇哪個(gè)主題公園與年齡有關(guān)【解題分析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好列聯(lián)表.（2）計(jì)算的觀測值，由此判斷“沒有99%的把握認(rèn)為選擇哪個(gè)主題公園與年齡有關(guān)”.【題目詳解】（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表如下：選擇“西游傳說”選擇“千古蝶戀”總計(jì)成年人104050未成年人203050總計(jì)3070100（2）的觀測值是.因?yàn)椋詻]有99%的把握認(rèn)為選擇哪個(gè)主題公園與年齡有關(guān).【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查補(bǔ)全列聯(lián)表，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的有關(guān)計(jì)算和運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）平面得到，，得到平面.（Ⅱ）證明平面，平面，再計(jì)算得到答案.【題目詳解】（Ⅰ）∵平面平面，，平面平面，∴平面，∴．在菱形中，，可知為等邊三角形，為中點(diǎn)，∴．∵，∴平面．（Ⅱ）如圖，取的中點(diǎn)為，連接，則．矩形和菱形所在的平面相互垂直，平面平面，故平面，平面，∴．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面垂直，幾何體的體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.20、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義得f(－x)＋f(x)＝0，解得實(shí)數(shù)的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元二次方程有兩個(gè)大于1的不相等實(shí)根，利用實(shí)根分布解得k的取值范圍，由“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，得命題p和q中有且僅有一個(gè)為真命題，根據(jù)真假列方程組解得實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：（1）若命題p為真命題，則f(－x)＋f(x)＝0，即，化簡得對任意的x∈R成立，所以k＝1．（2）若命題q為真命題，因?yàn)樵赱a，b]上恒成立，所以g(x)在[a，b]上是單調(diào)增函數(shù)，又g(x)的定義域和值域都是[a，b]，所以所以a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，且1＜a＜b．即方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根且不相等，記h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，故，解得，所以k的取值范圍為．因?yàn)椤皃且q”為假命題，“p或q”為真命題，所以命題p和q中有且僅有一個(gè)為真命題，即p真q假，或p假q真．所以或所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為．點(diǎn)睛：以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，首先要對兩個(gè)簡單命題進(jìn)行化簡，然后依據(jù)“p∨q”“p∧q”“非p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不等式(組)求解即可.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解題分析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定