2024屆湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高二數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高二數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某單位從6男4女共10名員工中，選出3男2女共5名員工，安排在周一到周五的5個夜晚值班，每名員工值一個夜班且不重復值班，其中女員工甲不能安排在星期一、星期二值班，男員工乙不能安排在星期二值班，其中男員工丙必須被選且必須安排在星期五值班，則這個單位安排夜晚值班的方案共有（）A．960種 B．984種 C．1080種 D．1440種2．一個算法的程序框圖如圖所示，如果輸出的值是1，那么輸入的值是（）A．-1 B．2 C．-1或2 D．1或-23．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-24．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在區(qū)間上遞減,則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．若展開式的常數(shù)項為60，則值為()A． B． C． D．6．如圖所示，這是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足，則向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．38．函數(shù)的圖象過原點且它的導函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線,則的圖象的頂點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知函數(shù)，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．11．已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]12．已知集合A＝{x｜x＜1}，B＝{x｜＜1}，則A∩B＝（）A．{x｜x＜0} B．（x｜x＞0} C．{x｜x＞1} D．{x｜x＜1}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)部分圖象如圖，則函數(shù)解析式為______.14．的展開式中的系數(shù)為，則__________．15．袋中裝有4個黑球，3個白球，甲乙按先后順序無放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的條件下，乙摸到白球的概率是_____.16．在中，，則_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，為常數(shù)（Ⅰ）若時，已知在定義域內(nèi)有且只有一個極值點，求的取值范圍；（Ⅱ）若，已知，恒成立，求的取值范圍。18．（12分）傳說《西游記》中孫悟空的“如意金箍棒”原本是東海海底的一枚“定海神針”.作為兵器，“如意金箍棒”威力巨大，且只有孫悟空能讓其大小隨意變化。假定孫悟空在使用“如意金箍棒”與各路妖怪打斗時，都將其變化為底面半徑為4至10之間的圓柱體?，F(xiàn)假定孫悟空剛與一妖怪打斗完畢，并降伏了此妖怪，此時“如意金箍棒”的底面半徑為10，長度為.在此基礎上，孫悟空使“如意金箍棒”的底面半徑以每秒1勻速縮短，同時長度以每秒40勻速增長，且在這一變化過程中，當“如意金箍棒”的底面半徑為8時，其體積最大.（1）求在這一變化過程中，“如意金箍棒”的體積隨時間（秒）變化的解析式，并求出其定義域；（2）假設在這一變化過程中，孫悟空在“如意金箍棒”體積最小時，將其定型，準備迎戰(zhàn)下一個妖怪。求此時“如意金箍棒”的底面半徑。19．（12分）已知,,設,且,求復數(shù),.20．（12分）己知拋物線：過點（1）求拋物線的方程：（2）設為拋物線的焦點，直線：與拋物線交于，兩點，求的面積.21．（12分）設，，已知函數(shù).（I）當時，求的單調增區(qū)間；（Ⅱ）若對于任意，函數(shù)至少有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)．（1）求的單調區(qū)間和極值；（2）求曲線在點處的切線方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分五類：（1）甲乙都不選：；（2）選甲不選乙：；（3）選乙不選甲：；（4）甲乙都選：；故由加法計數(shù)原理可得，共種，應選答案A。點睛：解答本題的關鍵是深刻充分理解題意，靈活運用排列數(shù)、組合數(shù)公式及分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理兩個基本原理。求解依據(jù)題設條件將問題分為四類，然后運用排列數(shù)、組合數(shù)公式及分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理兩個基本原理求出問題的答案，使得問題獲解。2、C【解題分析】

根據(jù)條件結構，分，兩類情況討論求解.【題目詳解】當時，因為輸出的是1，所以，解得.當時，因為輸出的是1，所以，解得.綜上：或.故選：C【題目點撥】本題主要考查程序框圖中的條件結構，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.3、B【解題分析】

根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【題目詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時，；∴由奇函數(shù)性質可得；∴；∴時，；∴.故選：B.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查理解能力和計算能力，屬于中等題.4、B【解題分析】

由外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，可得要使函數(shù)在上遞減，需內(nèi)函數(shù)二次函數(shù)的對稱軸大于等于1，且內(nèi)函數(shù)在上的最小值大于0，由此聯(lián)立不等式組求解．【題目詳解】解：令，其對稱軸方程為，外函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，要使函數(shù)在上遞減，則，即：．實數(shù)的取值范圍是．故選：．【題目點撥】本題主要考查了復合函數(shù)的單調性以及單調區(qū)間的求法．對應復合函數(shù)的單調性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調性之間的關系進行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，是中檔題．5、D【解題分析】

由二項式展開式的通項公式寫出第項，求出常數(shù)項的系數(shù)，列方程即可求解.【題目詳解】因為展開式的通項為，令，則，所以常數(shù)項為，即，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，熟記二項展開式的通項即可求解，屬于基礎題型.6、A【解題分析】由三視圖可知：該幾何體分為上下兩部分，下半部分是長、寬、高分別為的長方體，上半部分為底面半徑為1，高為2的兩個半圓柱，故其體積為，故選A.7、C【解題分析】分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由已知條件可知三角形為直角三角形，且，再根據(jù)直角三角形射影定理可求得所求投影的值.詳解：根據(jù)題意畫出圖像如下圖所示，因為，所以為中點，所以是圓的直徑，所以.由于，所以三角形為等邊三角形，所以，根據(jù)直角三角形射影定理得，即.故選C.點睛：本小題主要考查圓的幾何性質，考查向量加法的幾何意義，考查直角三角形射影定理等知識.屬于中檔題.8、A【解題分析】

設，則，由圖可知，從而可得頂點在第一象限.【題目詳解】因為函數(shù)的圖象過原點，所以可設，，由圖可知,，則函數(shù)的頂點在第一象限，故選A.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)公式的應用，考查了直線與二次函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題.9、A【解題分析】

令，由可知在上單調遞增，從而可得在上恒成立；通過分離變量可得，令，利用導數(shù)可求得，從而可得，解不等式求得結果.【題目詳解】由且得：令，可知在上單調遞增在上恒成立，即：令，則時，，單調遞減；時，，單調遞增，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調性求解參數(shù)范圍的問題，關鍵是能夠將已知關系式變形為符合單調性的形式，從而通過構造函數(shù)將問題轉化為導數(shù)大于等于零恒成立的問題；解決恒成立問題常用的方法為分離變量，將問題轉化為參數(shù)與函數(shù)最值之間的大小關系比較的問題，屬于?？碱}型.10、B【解題分析】

由復數(shù)的除法運算法則化簡，由此可得到復數(shù)【題目詳解】由題可得；；故答案選B【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的除法運算法則，屬于基礎題。11、D【解題分析】

由為上的減函數(shù)，根據(jù)和時，均單調遞減，且，即可求解.【題目詳解】因為函數(shù)為上的減函數(shù)，所以當時，遞減，即，當時，遞減，即，且，解得，綜上可知實數(shù)的取值范圍是，故選D.【題目點撥】本題主要靠考查了分段函數(shù)的單調性及其應用，其中熟練掌握分段的基本性質，列出相應的不等式關系式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.12、A【解題分析】

分別求出集合A，B，由此能求出A∩B．【題目詳解】∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}．故選：A．【題目點撥】本題考查交集的求法及指數(shù)不等式的解法，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先計算出，結合圖象得出該函數(shù)的周期，可得出，然后將點代入函數(shù)解析式，結合條件可求出的值，由此得出所求函數(shù)的解析式.【題目詳解】由圖象可得，且該函數(shù)的最小正周期為，，所以，.將點代入函數(shù)解析式得，得.，即，，所以，得.因此，所求函數(shù)解析式為，故答案為.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的解析式的求解，求解步驟如下：（1）求、：，；（2）求：根據(jù)題中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；（3）求：將對稱中心點和最高、最低點的坐標代入函數(shù)解析式，若選擇對稱中心點，還要注意函數(shù)在該點附近的單調性.14、【解題分析】由條件知的展開式中的系數(shù)為：解得=故答案為．15、.【解題分析】分析：結合古典概型概率公式，直接利用條件概率公式求解即可詳解：設甲摸到黑球為事件，則，乙摸到白球為事件，則，設甲摸到黑球的條件下，乙摸到球的概率為，故答案為.點睛：本題主要考查古典概型概率公式以及獨立事件的概率公式，條件概率公式，意在考查綜合運用所學知識解答問題的能力，屬于簡單題.16、【解題分析】

由正弦定理的邊化角公式化簡得出，再次利用正弦定理的邊化角公式得出.【題目詳解】由正弦定理的邊化角公式得出即所以故答案為：【題目點撥】本題主要考查了正弦定理的邊化角公式，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】分析：⑴將代入，求出的表達式，求導，然后綜合只有一個極值點即可求出結果⑵法一：將代入，求導后利用單調性來求解；法二：整體思想，采用放縮法進行求解詳解：（Ⅰ）當時，，，因為在定義域內(nèi)有且只有一個極值點，所以在內(nèi)有且僅有一根，則有圖知，所以（Ⅱ），法1：因，，恒成立，則內(nèi)，先必須遞增，即先必須，即先必須，因其對稱軸，有圖知（此時在），所以法2：因，所以，所以，令，因，，所以遞增，，所以，點睛：本題考查了含有參量的導數(shù)極值問題和恒成立問題，在解答此類題目時將參數(shù)代入，然后根據(jù)題意進行轉化，結合導數(shù)的單調性進行證明，本題有一定難度。18、(1)，定義域為；(2)4【解題分析】

（1）根據(jù)時間，寫出“如意金箍棒”的底面半徑和長度，由此計算出體積的解析式，并根據(jù)半徑的范圍求得的取值范圍，也即定義域.利用導數(shù)求得的單調區(qū)間和極大值，根據(jù)此時“如意金箍棒”的底面半徑列方程，解方程求得的值，進而求得解析式.（2）由（1）中求得的單調區(qū)間，求得的最小值，并求得此時“如意金箍棒”的底面半徑.【題目詳解】解：（1）“如意金箍棒”在變化到秒時，其底面半徑為，長度為則有，得：時，（秒），由知，當時，取得極大值所以，解得（）所以，定義域為（2）由（1）得：所以當時，，當時，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)則的最小值或；又所以當（秒）時，“如意金箍棒”體積最小，此時，“如意金箍棒”的底面半徑為（）【題目點撥】本小題主要考查圓柱的體積公式，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值和最值，考查中國古代文化，考查運算求解能力，考查函數(shù)應用問題，屬于中檔題.19、【解題分析】

明確復數(shù),的實部與虛部，結合加減法的運算規(guī)則，即可求出復數(shù)，從而用表示出，接下來根據(jù)復數(shù)相等的充要條件列出關于的方程組求解，即可得出,.【題目詳解】∵.∴.又∵∴∴∴∴【題目點撥】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的加減運算、共軛復數(shù)的定義以及復數(shù)相等的充要條件，屬于中檔題.復數(shù)相等的性質是：若兩復數(shù)相等則它們的實部與虛部分別對應相等.20、（1）；（2）12.【解題分析】

（1）將點的坐標代入拋物線方程中即可；（2）聯(lián)立方程組先求出，點坐標，進而利用兩點間距離公式求出，然后利用點到直線距離公式求出的高，最后代入三角形面積公式求解即可.【題目詳解】（1）點在拋物線上，將代入方程中，有，解得，拋物線的方程為.（2）如圖所示，由拋物線方程可知焦點，則點到直線的距離為，聯(lián)立方程組，可解得，，所以，，所以，.【題目點撥】本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關系以及拋物線性質的應用，涉及到的知識點包括兩點的之間的距離公式和點到直線的距離公式，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力和分析推理能力，屬于基礎題.21、（I）；（Ⅱ）.【解題分析】

（I）將代入函數(shù)的解析式，并將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)的性質，再結合二次函數(shù)的性質得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）將函數(shù)的解析式去絕對值，表示為分段函數(shù)的形式，并判斷出該函數(shù)的單調性，結合零點存在定理判斷函數(shù)的零點，得出關于與的不等式關系，利用不等式的性質求出