2024屆安徽省肥東縣圣泉中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆安徽省肥東縣圣泉中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為兩個(gè)不同平面，為直線且，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．函數(shù)的最小正周期是，若將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的解析式為A． B．C． D．3．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．4．在等比數(shù)列an中，a1=4，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列A．2B．-2C．3D．-35．已知函數(shù)，若在和處切線平行，則（）A．B．C．D．6．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－87．如圖，在矩形中，在線段上，且，將沿翻折．在翻折過程中，記二面角的平面角為，則的最大值為（）A． B． C． D．8．觀察下列各式：，則的末四位數(shù)字為（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81259．已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后關(guān)于軸對稱，則下列結(jié)論中不正確的是A． B．是圖象的一個(gè)對稱中心C． D．是圖象的一條對稱軸10．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．11．若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則等于（）A． B． C． D．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“（，）”的過程中，由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是_______．14．在等差數(shù)列中,,則________15．從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人，組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有__________種不同的選法．（用數(shù)字作答）16．已知m＞0,函數(shù).若存在實(shí)數(shù)n，使得關(guān)于x的方程f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0有6個(gè)不同的根，則m的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：對任意，恒成立.19．（12分）如圖是某市年月日至日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，某人隨機(jī)選擇年月日至月日中的某一天到達(dá)該市，并停留天.（1）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量指數(shù)大于的概率；（2）設(shè)是此人停留期間空氣質(zhì)量指數(shù)小于的天數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）20．（12分）如圖，菱形的對角線與相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)分別在，上，，交于點(diǎn).將沿折到的位置，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）求的極值點(diǎn)；（2）求方程的根的個(gè)數(shù).22．（10分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，求滿足條件的最小的整數(shù)值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

當(dāng)時(shí)，若，則推不出；反之可得，根據(jù)充分條件和必要條件的判斷方法，判斷即可得到答案．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，若且，則推不出，故充分性不成立；當(dāng)時(shí)，可過直線作平面與平面交于，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，又，所以，又，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，關(guān)鍵是掌握充分條件和必要條件的定義，判斷是的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件能否推得條件；二是由條件能否推得條件．2、D【解題分析】

先根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出，再求出圖像變換后的解析式，利用其對稱中心為求出的值即得解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，所以，解得.所以.將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析為.由題得.因?yàn)楹瘮?shù)的解析式.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查三角函數(shù)的圖像變換，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

整理得到，根據(jù)模長的運(yùn)算可求得結(jié)果.【題目詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查向量模長的求解，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】由題意，得S1+2=4,S2+2=4q+6,S3+2=4q2+4q+6點(diǎn)睛：本題若直接套用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解，一是計(jì)算量較大，二是往往忽視“q=1”的特殊情況，而采用數(shù)列的前三項(xiàng)進(jìn)行求解，大大降低了計(jì)算量，也節(jié)省的時(shí)間，這是處理選擇題或填空題常用的方法.5、A【解題分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得，得到，則，由x1≠x2，利用基本不等式求得x12+x22＞1．【題目詳解】由f（x）lnx，得f′（x）（x＞0），∴，整理得：，則，∴，則，∴x1x2≥2，∵x1≠x2，∴x1x2＞2．∴2x1x2＝1．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．6、C【解題分析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，則P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.7、A【解題分析】

做輔助線，構(gòu)造并找到二面角所對應(yīng)的平面角，根據(jù)已知可得，進(jìn)而求得其最大值.【題目詳解】在平面圖中過A作DM的垂線并延長，交于,交于.在翻折過程中A點(diǎn)在平面BCD上的投影的軌跡就是平面圖中的AE.設(shè)翻折的角度為，在平面BCD投影為，過作于F，則即為二面角所對的平面角.然后有，.故=，求導(dǎo)得,設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以即時(shí)，有最大值，此時(shí)=,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題的解題關(guān)鍵在于找到二面角的平面角,并且用了求導(dǎo)數(shù)的方法求最大值，有一定的難度.8、C【解題分析】

根據(jù)，分析次數(shù)與末四位數(shù)字的關(guān)系，歸納其變化規(guī)律求解.【題目詳解】因?yàn)椋^察可知的末四位數(shù)字3125，的末四位數(shù)字5625，的末四位數(shù)字8125，的末四位數(shù)字0625，又，則的末四位數(shù)字為0625.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列中的歸納推理，還考查了理解辨析推理的能力，屬于中檔題.9、C【解題分析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得,的圖象關(guān)于軸對稱，所以,時(shí)可得，故，，不正確，故選C.10、A【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，確定函數(shù)的單調(diào)性【題目詳解】解：由圖象可知，即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而有解集為，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是識圖，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)表示為一般形式，結(jié)合題中條件求出的值，再利用復(fù)數(shù)求模公式求出.【題目詳解】，由于復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，，得，，因此，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)求模，解決復(fù)數(shù)問題，要通過復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將復(fù)數(shù)表示為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)相關(guān)知識求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】

把用替換后兩者比較可知增加的式子．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，掌握數(shù)學(xué)歸納法的概念是解題基礎(chǔ)．從到時(shí)，式子的變化是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解題分析】

由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡得，即可得到復(fù)數(shù)的虛部．【題目詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的分類，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，正確化簡、運(yùn)算復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的概念求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、40【解題分析】

根據(jù)前項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件列式求得的值.【題目詳解】依題意.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.15、660【解題分析】

第一類，先選女男，有種，這人選人作為隊(duì)長和副隊(duì)有種，故有種；第二類，先選女男，有種，這人選人作為隊(duì)長和副隊(duì)有種，故有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有種，故答案為.16、.【解題分析】分析：作出的圖象，依題意可得4m－m2+1＜m，解之即可.詳解：作出f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)x＞m時(shí)，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0，[f(x)-n][f(x)-(n+1)]=0。f(x)=n或f(x)=n+1∴要使方程f2(x)-(2n+1)f(x)+n2+n=0有6個(gè)不同的根，則4m－m2+1＜m，即m2－3m－1＞0.又m＞0，解得m＞.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是關(guān)鍵，分析到4m－m2+1＜m是難點(diǎn).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析.(2).【解題分析】

分析：（1）只要求得在時(shí)的最小值即可證；（2）在上有兩個(gè)不等實(shí)根，可轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等實(shí)根，這樣只要研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，由直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)可得的范圍．詳解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù).則，令，則，令，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，（2）解：在有兩個(gè)零點(diǎn)方程在有兩個(gè)根，在有兩個(gè)根，即函數(shù)與的圖像在有兩個(gè)交點(diǎn)．，當(dāng)時(shí)，，在遞增當(dāng)時(shí)，，在遞增所以最小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是．點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查函數(shù)零點(diǎn)問題．用導(dǎo)數(shù)證明不等式可轉(zhuǎn)化這求函數(shù)的最值問題，函數(shù)零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，這可用分離參數(shù)法變形，然后再研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得圖象的大致趨勢．18、（1）（2）（3）見解析【解題分析】

（1）當(dāng)時(shí),求導(dǎo)數(shù)，將切點(diǎn)橫坐標(biāo)帶入導(dǎo)數(shù)得到斜率，再計(jì)算切線方程.（2）求導(dǎo)，取導(dǎo)數(shù)為0，參數(shù)分離得到，設(shè)右邊為新函數(shù)，求出其單調(diào)性，求得取值范圍得到答案.（3）將導(dǎo)函數(shù)代入不等式，化簡得到，設(shè)左邊為新函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到證明.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．∴∴，又∵∴，即∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，可得，?dāng)時(shí)，方程僅有一解，∴，∴令則由題可知直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．∵∴當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)．又∵，，且當(dāng)時(shí)，∴，∴∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．（3）∵∴要證對任意，恒成立即證成立即證成立設(shè)∴∵時(shí)，易知在上為減函數(shù)∴∴在上為減函數(shù)∴∴成立即對任意，恒成立．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線方程，極值點(diǎn)，參數(shù)分離法，恒成立問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生解決問題的能力.19、(1)；(2)答案見解析；(3)答案見解析.【解題分析】分析：（1）由空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，直接利用古典概型概率公式可得“此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量指數(shù)大于”的概率；（2）由題意可知，的可能取值為，，，分別利用古典概型概率公式求出相應(yīng)的概率，由此能求出故的分布列，利用期望公式可得；（3）由圖知，從日開始，連續(xù)三天（日，日，日）空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.詳解：（1）設(shè)“此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量指數(shù)大于”的事件為，則；（2）的可能取值為，，，則，，，故的分布列為：所以.（3）由圖知，從日開始，連續(xù)三天（日，日，日）空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.點(diǎn)睛：本題主要考查互斥事件的概率公式、以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.求解數(shù)學(xué)期望問題，首先正確要理解題意，其次要準(zhǔn)確無誤的找出隨機(jī)變量的所以可能值，計(jì)算出相應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差的公式進(jìn)行計(jì)算，也就是要過三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)；（2）概率計(jì)算關(guān)；（3）公式應(yīng)用關(guān).20、（1）見解析（2）【解題分析】

（1），可得，在菱形中，求出，由勾股定理的逆定理，即可證明；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo)，根據(jù)空間向量面面角公式，求出二面角的余弦，即可求出結(jié)論.【題目詳解】（1）證明：∵，∴，∴.∵四邊形為菱形，∴.∵，∴；又，，∴，∴，∴，∴，∴.（2）解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，，，，，，.設(shè)平面法向量，由得，取，∴.同理可得面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，∴.故二面角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，直線垂直的證明，利用空間向量法求二面角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.21、（1）