2024屆安徽省黃山市“八校聯(lián)盟”數(shù)學高二下期末預測試題含解析

2024屆安徽省黃山市“八校聯(lián)盟”數(shù)學高二下期末預測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“已知函數(shù)，求證：與中至少有一個不少于.”用反證法證明這個命題時，下列假設正確的是（）A．假設且B．假設且C．假設與中至多有一個不小于D．假設與中至少有一個不大于2．已知復數(shù)滿足,則復數(shù)在復平面內(nèi)對應點所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．“”是“方程表示焦點在軸上的雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．給出下列四個說法：①命題“都有”的否定是“使得”；②已知，命題“若，則”的逆命題是真命題；③是的必要不充分條件;④若為函數(shù)的零點，則，其中正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．5．曲線的圖像（）A．關(guān)于軸對稱B．關(guān)于原點對稱,但不關(guān)于直線對稱C．關(guān)于軸對稱D．關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線對稱6．甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問數(shù)學考試的成績老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，我現(xiàn)在給乙看甲、丙的成績，給甲看丙的成績，給丁看乙的成績，看后乙對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（）A．甲可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績C．甲、丁可以知道對方的成績 D．甲、丁可以知道自己的成績7．現(xiàn)有4種不同品牌的小車各2輛(同一品牌的小車完全相同),計劃將其放在4個車庫中（每個車庫放2輛則恰有2個車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有（）A．144種 B．108種 C．72種 D．36種8．已知m∈R，若函數(shù)f(x)=1x+1-mx-m-3(-1<x?0)A．-94,-2 B．（-99．已知為拋物線的焦點，點的坐標為，過點作斜率為的直線與拋物線交于、兩點，延長、交拋物線于、兩點設直線的斜率為，則（）A．1 B．2 C．3 D．410．體育場南側(cè)有4個大門,北側(cè)有3個大門,某學生到該體育場練跑步,則他進出門的方案有()A．12種 B．7種 C．24種 D．49種11．在中，角A，B，C的對邊分別為，若，則的形狀為A．正三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形12．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用反證法證明命題“如果，那么”時，應假設__________.14．已知定點和曲線上的動點，則線段的中點的軌跡方程為________15．已知函數(shù)的值域為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，則________.16．對于無理數(shù),用表示與最接近的整數(shù),如,.設，對于區(qū)間的無理數(shù),定義,我們知道,若,和,則有以下兩個恒等式成立：①；②,那么對于正整數(shù)和兩個無理數(shù),,以下兩個等式依然成立的序號是______；①；②.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2018年6月19日凌晨某公司公布的年中促銷全天交易數(shù)據(jù)顯示，天貓年中促銷當天全天下單金額為1592億元.為了了解網(wǎng)購者一次性購物情況，某統(tǒng)計部門隨機抽查了6月18日100名網(wǎng)購者的網(wǎng)購情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表，已知網(wǎng)購金額在2000元以上(不含2000元)的頻率為0.4.網(wǎng)購金額(元)頻數(shù)頻率50.05150.15250.25300.3合計1001(Ⅰ)先求出的值，再將圖中所示的頻率分布直方圖繪制完整；(Ⅱ)對這100名網(wǎng)購者進一步調(diào)查顯示：購物金額在2000元以上的購物者中網(wǎng)齡3年以上的有35人，購物金額在2000元以下(含2000元)的購物者中網(wǎng)齡不足3年的有20人，請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表，并據(jù)此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)？網(wǎng)齡3年以上網(wǎng)齡不足3年總計購物金額在2000元以上35購物金額在2000元以下20總計100參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828參考公式：其中.（Ⅲ）從這100名網(wǎng)購者中根據(jù)購物金額分層抽出20人給予返券獎勵，為進一步激發(fā)購物熱情，在和兩組所抽中的8人中再隨機抽取2人各獎勵1000元現(xiàn)金，求組獲得現(xiàn)金獎的數(shù)學期望.18．（12分）已知函數(shù)（1）設的最大值為，求的最小值；（2）在（1）的條件下，若，且，求的最大值.19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，記數(shù)列的前項和為，證明：.20．（12分）已知不等式的解集為．（1）求集合；（2）設實數(shù)，證明：．21．（12分）已知的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是．（Ⅰ）求展開式中各項二項式系數(shù)的和；（Ⅱ）求展開式中中間項．22．（10分）某手機代工廠對生產(chǎn)線進行升級改造評估，隨機抽取了生產(chǎn)線改造前、后100個生產(chǎn)班次的產(chǎn)量進行對比，改造前、后手機產(chǎn)量（單位：百部）的頻率分布直方圖如下：（1）記表示事件：“改造前手機產(chǎn)量低于5000部”，視頻率為概率，求事件的概率；（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為手機產(chǎn)量與生產(chǎn)線升級改造有關(guān)：手機產(chǎn)量部手機產(chǎn)量部改造前改造后（3）根據(jù)手機產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求改造后手機產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）.參考公式：隨機變量的觀測值計算公式：，其中.臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：因為與中至少有一個不少于的否定是且，所以選B.詳解：因為與中至少有一個不少于的否定是且，故答案為：B.點睛：（1）本題主要考查反證法，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)兩個數(shù)中至少有一個大于等于a的否定是兩個數(shù)都小于a.2、A【解題分析】

把已知變形等式，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【題目詳解】由，得，∴復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，在第一象限．故選：A．【題目點撥】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

解得方程表示焦點在軸上的雙曲線的m的范圍即可解答.【題目詳解】表示焦點在軸上的雙曲線?,解得1<m<5,故選B.【題目點撥】本題考查雙曲線的方程，是基礎(chǔ)題，易錯點是不注意4、C【解題分析】

對于①②③④分別依次判斷真假可得答案.【題目詳解】對于①，命題“都有”的否定是“使得”，故①錯誤；對于②，命題“若，則”的逆命題為“若，則”正確；對于③，若則，若則或，因此是的充分不必要條件，故③錯誤；對于④，若為函數(shù)，則，即，可令，則，故為增函數(shù)，令，顯然為減函數(shù)，所以方程至多一解，又因為時，所以，則④正確，故選C.【題目點撥】本題主要考查真假命題的判斷，難度中等.5、D【解題分析】

構(gòu)造二元函數(shù)，分別考慮與、、、、的關(guān)系，即可判斷出相應的對稱情況.【題目詳解】A．，所以不關(guān)于軸對稱；B．，，所以關(guān)于原點對稱，也關(guān)于直線對稱；C．，所以不關(guān)于軸對稱；D．，所以關(guān)于直線對稱，同時也關(guān)于直線對稱.故選：D.【題目點撥】本題考查曲線與方程的綜合應用，難度一般.若曲線關(guān)于軸對稱，則將曲線中的換成，此時曲線的方程不變；若曲線關(guān)于軸對稱，則將曲線中的換成，此時曲線的方程不變；若曲線關(guān)于對稱，則將曲線中的換成、換成，此時曲線的方程不變；若曲線關(guān)于原點對稱，則將曲線中的換成、換成，此時曲線的方程不變.6、D【解題分析】

先由乙不知道自己成績出發(fā)得知甲、丙和乙、丁都是一優(yōu)秀、一良好，那么甲、丁也就結(jié)合自己看的結(jié)果知道自己成績了.【題目詳解】解：乙看后不知道自己成績，說明甲、丙必然是一優(yōu)秀、一良好，則乙、丁也必然是一優(yōu)秀、一良好；甲看了丙的成績，則甲可以知道自己和丙的成績；丁看了乙的成績，所以丁可以知道自己和乙的成績，故選D.【題目點撥】本題考查了推理與證明，關(guān)鍵是找到推理的切入點.7、C【解題分析】

根據(jù)題意，分3步進行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個品牌的小車，②、將取出的2個品牌的小車任意的放進2個車庫中，③、剩余的4輛車放進剩下的2個車庫，相同品牌的不能放進同一個車庫，分別分析每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，分3步進行分析：①、在4種不同品牌的小車任取2個品牌的小車，有C42種取法，②、將取出的2個品牌的小車任意的放進2個車庫中，有A42種情況，③、剩余的4輛車放進剩下的2個車庫，相同品牌的不能放進同一個車庫，有1種情況，則恰有2個車庫放的是同一品牌的小車的不同放法共有C42A42×1＝72種，故選：C．點睛：能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有以下特點：(1)完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可．(2)完成每一步有若干種方法．(3)把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．8、B【解題分析】

通過參變分離、換元法，把函數(shù)f(x)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化成直線y=m與拋物線的交點個數(shù).【題目詳解】∵-1<x≤0,∴0<x+1≤1，∵函數(shù)f(x)在-1<x≤0有兩個不同零點?方程m=(1x+1)2∴m=t2-3t在t≥1有且僅有兩個不同的根?y=m∴-【題目點撥】通過換元把復雜的分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟知的二次函數(shù)，但要注意換元后新元的取值范圍.9、D【解題分析】

設，，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得，設，，則，，設AC，BD所在的直線方程可得，，由此可得的值．【題目詳解】設過點F作斜率為的直線方程為：，

聯(lián)立拋物線C：可得：，

設A，B兩點的坐標為：，，

則，

設，，

則，同理，

設AC所在的直線方程為，

聯(lián)立，得，

，同理，，

則．

故選：D．【題目點撥】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查斜率的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．10、D【解題分析】第一步，他進門，有7種選擇；第二步，他出門，有7種選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得他進出門的方案有7×7＝49(種)．11、C【解題分析】

根據(jù)題目分別為角A，B，C的對邊，且可知，利用邊化角的方法，將式子化為，利用三角形的性質(zhì)將化為，化簡得，推出，從而得出的形狀為直角三角形．【題目詳解】由題意知，由正弦定理得又展開得，又角A，B，C是三角形的內(nèi)角又綜上所述，的形狀為直角三角形，故答案選C．【題目點撥】本題主要考查了解三角形的相關(guān)問題，主要根據(jù)正余弦定理，利用邊化角或角化邊，若轉(zhuǎn)化成角時，要注意的應用．12、B【解題分析】

利用象限角的定義直接求解，即可得到答案．【題目詳解】由題意，，所以表示第二象限角，故選B．【題目點撥】本題主要考查了角所在象限的判斷，考查象限角的定義等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由反證法的定義得應假設：【題目詳解】由反證法的定義得應假設：故答案為：【題目點撥】本題主要考查反證法的證明過程，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.14、【解題分析】

通過中點坐標公式，把點的坐標轉(zhuǎn)移到上，把點的坐標代入曲線方程，整理可得點的軌跡方程?！绢}目詳解】設點的坐標為，點，因為點是線段的中點，所以解得，把點的坐標代入曲線方程可得，整理得，所以點的軌跡方程為故答案為：【題目點撥】本題考查中點坐標公式，相關(guān)點法求軌跡方程的方法，屬于中檔題。15、【解題分析】

由的值域為，，可得，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系可求．【題目詳解】由的值域為，，可得，，，，由單調(diào)遞減區(qū)間為，，可知及是的根，且，把代入可得，，解可得，或，當時，可得，當時，代入可得不符合題意，故，故答案為：．【題目點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系的應用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．16、①，②..【解題分析】

根據(jù)新定義,結(jié)合組合數(shù)公式,進行分類討論即可.【題目詳解】當時,由定義可知：,,當時,由定義可知：,,故①成立；當時,由定義可知：,,當時,由定義可知：,故②成立.故答案為：①，②.【題目點撥】本題考查了新定義題,考查了數(shù)學閱讀能力,考查了組合數(shù)的計算公式,考查了分類討論思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)．（Ⅲ）1.【解題分析】

(Ⅰ)由題意可知2000元以上（不含2000元）的頻率為0.4，所以網(wǎng)購金額在(2500，3000]的頻率為0.4?0.3=0.1，由此再結(jié)合頻率分布直方圖與頻率分布表可分別求得的值。再由數(shù)據(jù)補全頻率分布直方圖。(Ⅱ)先補全2×2列聯(lián)表，由表中數(shù)據(jù)求得K2。（Ⅲ）在(2000，2500]組獲獎人數(shù)X為0，1，2，求得概率及期望。【題目詳解】（Ⅰ）因為網(wǎng)購金額在2000元以上（不含2000元）的頻率為0.4，所以網(wǎng)購金額在(2500，3000]的頻率為0.4?0.3=0.1，即q=0.1，且y=100×0.1=10，從而x=15，p=0.15，相應的頻率分布直方圖如圖2所示．（Ⅱ）相應的2×2列聯(lián)表為：由公式K2=，因為5.56>5.024，所以據(jù)此列聯(lián)表判斷，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)．（Ⅲ）在(2000，2500]和(2500，3000]兩組所抽出的8人中再抽取2人各獎勵1000元現(xiàn)金，則(2000，2500]組獲獎人數(shù)X為0，1，2，且，故(2000，2500]組獲得現(xiàn)金獎的數(shù)學期望+1000+2000=1．【題目點撥】本題綜合考查頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖、補全2×2列聯(lián)表、卡方計算及應用、隨機變量分布列及期望，需要對概念公式熟練運用，同時考查學生的運算能力。18、(1)(2)2【解題分析】

運用不等式性質(zhì)求出最小值根據(jù)不等式求最大值【題目詳解】（1）∵，∴（當且僅當時取“=”號）∴（2）∵（當且僅當時取“=”號），（當且僅當時取“=”號），（當且僅當時取“=”號），∴（當且僅當時取“=”號）∴（當且僅當時取“=”號）∴的最大值為2.【題目點撥】本題考查了根據(jù)絕對值的應用求出不等式的解集，運用不等式性質(zhì)求解是本題關(guān)鍵，注意題目中的轉(zhuǎn)化。19、(1).(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：（I）當時，，整理得，當n=1時，有.數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即可求數(shù)列的通項公式．（II）由（I）有，則,用裂項相消法可求其前n項和.試題解析：（I）當時，有，解得.當時，有，則整理得：數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即數(shù)列的通項公式為：．（II）由（I）有，則故得證.20、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）對分、、三種情況討論，去絕對值，分別解出不等式，可得出不等式的解集；（2）證法一：由題意得出，，將不等式兩邊作差得出，由此可得出所證不等式成立；證法二：利用分析法得出所證不等式等價于，由題意得出，，判斷出的符號，可得出所證不等式成立.【題目詳解】（1）當時，不等式化為：，解得；當時，不等式化為：，解得；當時，不等式化為：，解得.綜上可知，；（2）證法一：因為，，所以，.而，所以；證法二：要證，只需證：，只需證：，因為，，所以，.所以成立，所以成立.【題目點撥】本題考查利用分類討論法解絕對值不等式，以及利用分析法和比較法證明不等式，證明時可結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)合理選擇證明方法，考查分類討論思想和邏輯推理能