2024屆河北省正定縣第七中學數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

2024屆河北省正定縣第七中學數(shù)學高二第二學期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，由不等式，，，…，類比推廣到，則()A． B． C． D．2．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．某次戰(zhàn)役中，狙擊手A受命射擊敵機，若要擊落敵機，需命中機首2次或命中機中3次或命中機尾1次，已知A每次射擊，命中機首、機中、機尾的概率分別為0.2、0.4、0.1，未命中敵機的概率為0.3，且各次射擊相互獨立。若A至多射擊兩次，則他能擊落敵機的概率為（）A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.14．下列命題中真命題的個數(shù)是（）①若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為16，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為64；②“平面向量，夾角為銳角，則”的逆命題為真命題；③命題“，”的否定是“，”；④若：，：，則是的充分不必要條件.A．1 B．2 C．3 D．45．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．6．函數(shù)在其定義域內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則導函數(shù)的圖象為（）A． B．C． D．7．在等差數(shù)列中，若，，則（）A． B．1 C． D．8．在滿分為15分的中招信息技術(shù)考試中，初三學生的分數(shù)，若某班共有54名學生，則這個班的學生該科考試中13分以上的人數(shù)大約為（）（附：）A．6 B．7 C．9 D．109．已知集合A={x|x2-6x+5≤0},B={x|y=A．1，2 B．1，210．設(shè)函數(shù)，集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A． B．C． D．11．已知直線與雙曲線分別交于點，若兩點在軸上的射影恰好是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．4 D．12．已知，且，則a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是__________．14．三棱錐P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC，M是PA的中點，N是AB的中點，當二面角P﹣AB﹣C為時，則直線BM與CN所成角的余弦值為______.15．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示（網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1），則該“陽馬”外接球表面積為________16．已知平面向量，滿足||=1，||=2，|﹣|=，則在方向上的投影是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和為.18．（12分）從某市主辦的科技知識競賽的學生成績中隨機選取了40名學生的成績作為樣本，已知這40名學生的成績?nèi)吭?0分至100分之間，現(xiàn)將成績按如下方式分成6組，第一組[40,50)；第二組[50,60)；…；第六組[90,100]，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求成績在區(qū)間[80,90)內(nèi)的學生人數(shù)；（2）從成績大于等于80分的學生中隨機選取2名，求至少有1名學生的成績在區(qū)間[90,100]內(nèi)的概率．19．（12分）已知函數(shù).（1）若是的一個極值點，判斷的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，，且，證明：.20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（a為參數(shù)），在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為.（1）求C的普通方程和l的傾斜角；（2）設(shè)點，l和C交于A，B兩點，求.21．（12分）某校為了推動數(shù)學教學方法的改革，學校將高一年級部分生源情況基本相同的學生分成甲、乙兩個班，每班各40人，甲班按原有模式教學，乙班實施教學方法改革.經(jīng)過一年的教學實驗，將甲、乙兩個班學生一年來的數(shù)學成績?nèi)∑骄鶖?shù)，兩個班學生的平均成績均在，按照區(qū)間，，，，進行分組，繪制成如下頻率分布直方圖，規(guī)定不低于80分(百分制)為優(yōu)秀.完成表格，并判斷是否有以上的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與教學改革有關(guān)”；(2)從乙班，，分數(shù)段中，按分層抽樣隨機抽取7名學生座談，從中選三位同學發(fā)言，記來自發(fā)言的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和期望.22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】由已知中不等式：歸納可得：不等式左邊第一項為，第二項為，右邊為，故第個不等式為：，故，故選D.【方法點睛】本題通過觀察幾組不等式，歸納出一般規(guī)律來考察歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.2、D【解題分析】

由題意可知有解，即在有解，求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可知m的范圍.【題目詳解】∵函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于對稱的點，∴有解，∴，∴在有解，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∴，故選D.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)求最值，考查對稱性的運用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為在有解，屬于中檔題．3、A【解題分析】每次射擊，命中機首、機中、機尾的概率分別為,未命中敵機的概率為,且各次射擊相互獨立，若射擊一次就擊落敵機，則他擊中利敵機的機尾，故概率為；若射擊次就擊落敵機，則他次都擊中利敵機的機首，概率為；或者第一次沒有擊中機尾、且第二次擊中了機尾，概率為,若至多射擊兩次，則他能擊落敵機的概率為,故選.4、C【解題分析】分析：對四個命題逐一分析即可.詳解：對于①，由方差的性質(zhì)得：則數(shù)據(jù)，，…，的方差為，故正確；對于②，逆命題為平面向量，滿足，則向量，夾角為銳角，是假命題，故錯誤；對于③，命題“，”的否定是“，”，正確；對于④，，，是的充分不必要條件，故正確.故選C.點睛：本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識點較多，綜合性較強，但難度不大.5、C【解題分析】

根據(jù)程序圖，當x<0時結(jié)束對x的計算，可得y值．【題目詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續(xù)運行，x=1-2=-1<0，程序運行結(jié)束，得，故選C．【題目點撥】本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值與導數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論.詳解：觀察函數(shù)圖象，從左到右單調(diào)性先單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單調(diào)遞增.對應的導數(shù)符號為正，負，正.,選項D的圖象正確.故選D.點睛：本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)符號的對應關(guān)系是解題關(guān)鍵.7、C【解題分析】

運用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d，再運用通項公式解得首項即可．【題目詳解】由題意知，所以.故選C.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】

分析：現(xiàn)利用正態(tài)分布的意義和原則結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，計算大于的概率，即可求解得到其人數(shù)．詳解：因為其中數(shù)學考試成績服從正態(tài)分布，因為，即根據(jù)正態(tài)分布圖象的對稱性，可得，所以這個班級中數(shù)學考試成績在分以上的人數(shù)大約為人，故選C．點睛：本題主要考查了隨機變量的概率分布中正態(tài)分布的意義和應用，其中熟記正態(tài)分布圖象的對稱性是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的應用，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

由題意，集合A={x|1≤x≤5}，B={x|x>2}，再根據(jù)集合的運算，即可求解.【題目詳解】由題意，集合A={x2-6x+5≤0}={x|1≤x≤5}所以A∩B={x|2<x≤5}=(2,5]，故選C.【題目點撥】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式求解和集合的運算問題，其中解答中正確求解集合A,B，再根據(jù)集合的運算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

根據(jù)集合的定義可知為定義域，為值域；根據(jù)對數(shù)型復合函數(shù)定義域的要求可求得集合，結(jié)合對數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性可求得值域，即集合；根據(jù)圖可知陰影部分表示，利用集合交并補運算可求得結(jié)果.【題目詳解】的定義域為：，即：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，；當時，的值域為：圖中陰影部分表示：又，本題正確選項：【題目點撥】本題考查集合基本運算中的交并補混合運算，關(guān)鍵是能夠明確兩個集合表示的含義分別為函數(shù)的定義域和值域，利用對數(shù)型復合函數(shù)的定義域要求和單調(diào)性可求得兩個集合；涉及到圖的讀取等知識.11、A【解題分析】

由直線與雙曲線聯(lián)立，可知x=為其根，整理可得.【題目詳解】解：由．，兩點在軸上的射影恰好是雙曲線的兩個焦點，．．故選：．【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率，雙曲線的有關(guān)性質(zhì)和雙曲線定義的應用，屬于中檔題．12、B【解題分析】

根據(jù)，可得，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，，且，則，解得或，故選B．【題目點撥】本題主要考查了共線向量的坐標表示及應用，其中解答中熟記共線向量的概念以及坐標表示是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

求的導函數(shù)，利用，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【題目詳解】解：由，得令，可得故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故答案為或.【題目點撥】本題考查導數(shù)知識的運用，函數(shù)求導，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

先連結(jié)PN，根據(jù)題意，∠PNC為二面角P－AB－C的平面角，得到∠PNC＝，根據(jù)向量的方法，求出兩直線方向向量的夾角，即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：連結(jié)PN，因為N為AB中點，PA＝PB，CA＝CB，所以，，所以，∠PNC為二面角P－AB－C的平面角，所以，∠PNC＝，設(shè)PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，則CN＝PN＝BM＝，，設(shè)直線BM與CN所成角為，，【題目點撥】本題主要考查異面直線所成的角，靈活運用向量法求解即可，屬于?？碱}型.15、【解題分析】

由三視圖還原幾何體,可知該幾何體為四棱錐,底面ABCD為矩形,.求出PC長度,可得四棱錐外接球的半徑,代入球的表面積公式即可求得.【題目詳解】由三視圖還原幾何體如圖,該幾何體為四棱錐,底面ABCD為矩形,,該幾何體外接球的半徑為.該“陽馬”外接球表面積為.故答案為:.【題目點撥】本題考查三視圖還原幾何體,考查幾何體外接球的表面積,難度較易.16、【解題分析】分析：根據(jù)向量的模求出?=1，再根據(jù)投影的定義即可求出．詳解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2?=3，解得?=1，∴在方向上的投影是=，故答案為點睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算和投影的定義，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）利用和項與通項關(guān)系，當時，，將條件轉(zhuǎn)化為項之間遞推關(guān)系：，再構(gòu)造等比數(shù)列：，根據(jù)等比數(shù)列定義及通項公式求得，即得；注意驗證當時是否滿足題意，（2）由于可裂成相鄰兩項之差：，所以利用裂項相消法求數(shù)列的前項和.試題解析：（Ⅰ）因為，故當時，；當時，，兩式對減可得；經(jīng)檢驗，當時也滿足；故，故數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，故，即.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，故.點睛：裂項相消法是指將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如(其中是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和(如本例)，還有一類隔一項的裂項求和，如或.18、（1）4;（2）P(A)=3【解題分析】試題分析：(Ⅰ)由各組的頻率和等于1直接列式計算成績在[80,90)的學生頻率,用40乘以頻率可得成績在[80,90)的學生人數(shù);

(試題解析：（1）因為各組的頻率之和為1，所以成績在區(qū)間[80,90)內(nèi)的頻率為所以選取的40名學生中成績在區(qū)間[80,90)內(nèi)的學生人數(shù)為（2）設(shè)A表示事件“在成績大于等于80分的學生中隨機選取2名，至少有1名學生的成績在區(qū)間[90,100]內(nèi)”，由（1）可知成績在區(qū)間[80,90成績在區(qū)間[90,100]內(nèi)的學生有0.005×10×40=2（人），記這2名學生分別為則選取2名學生的所有可能結(jié)果為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f)，(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15種，事件“至少有1名學生的成績在區(qū)間[90,100]內(nèi)”的可能結(jié)果為(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)，共9種，所以P(A)=919、（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）見解析【解題分析】

（1）求出導函數(shù)，由極值點求出參數(shù)，確定的正負得的單調(diào)性；（2）求出，得極值點滿足：所以，由（1）即，不妨設(shè).要證，則只要證，而，因此由的單調(diào)性，只要能證，即即可．令，利用導數(shù)的知識可證得結(jié)論成立．【題目詳解】（1）由已知得.因為是的一個極值點，所以，即，所以，令，則，令，得，令，得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又當時，，，所以當時，，當時，；即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2），因此極值點滿足：所以由（1）即，不妨設(shè).要證，則只要證，而，因此由的單調(diào)性，只要能證，即即可．令，則，當時，，，，所以，即在單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，又，，在單調(diào)遞增，所以，即.【題目點撥】本題考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、有限與無限思想，體現(xiàn)綜合性、應用性與創(chuàng)新性，導向?qū)Πl(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.20、(1)..(2).【解題分析】

（1）直接利用參數(shù)方程和極坐標方程公式得到普通方程，再計算傾斜角.（2）判斷點在直線l上，建立直線參數(shù)方程，代入橢圓方程，利用韋達定理得到答案.【題目詳解】（1）消去參數(shù)α得，即C的普通方程為.由，得，（*）將，代入（*），化簡得，所以直線l的傾斜角