2024屆遼寧省葫蘆島市協(xié)作校數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆遼寧省葫蘆島市協(xié)作校數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面幾何里有射影定理：設(shè)三角形的兩邊，是點(diǎn)在上的射影，則.拓展到空間，在四面體中，面，點(diǎn)是在面內(nèi)的射影，且在內(nèi)，類(lèi)比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（）A． B．C． D．2．生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．3．某人射擊一次命中目標(biāo)的概率為，則此人射擊6次，3次命中且恰有2次連續(xù)命中的概率為（）A． B． C． D．4．已知命題，則為A． B．C． D．5．被稱(chēng)為宋元數(shù)學(xué)四大家的南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)中記載了求解三角形面積的公式，如圖是利用該公式設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出的的值為（）A．4 B．5 C．6 D．76．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則（）.A．1 B．2 C．3 D．7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A． B． C． D．8．在“新零售”模式的背景下,自由職業(yè)越來(lái)越流行，諸如:淘寶網(wǎng)店主、微商等等.現(xiàn)調(diào)研某自由職業(yè)者的工資收入情況.記表示該自由職業(yè)者平均每天工作的小時(shí)數(shù)，表示平均每天工作個(gè)小時(shí)的月收入.（小時(shí)）23456（千元）2.5344.56假設(shè)與具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，則關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程必經(jīng)過(guò)點(diǎn)()A． B． C． D．9．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為5的概率為A． B． C． D．10．當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．11．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象如圖所示，為了得到g（x）＝Acosωx的圖象，只需把y＝f（x）的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度12．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知（為常數(shù)），對(duì)任意，均有恒成立，下列說(shuō)法：①的周期為6；②若（為常數(shù)）的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則；③若，且，則必有；④已知定義在上的函數(shù)對(duì)任意均有成立，且當(dāng)時(shí)，；又函數(shù)（為常數(shù)），若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，其中說(shuō)法正確的是_______（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）14．?dāng)?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若記數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則________15．已知隨機(jī)變量X的分布列為P（X＝k）＝（k＝1,2,3,4），則a等于_______．16．已知某程序框圖如圖所示，則執(zhí)行該程序后輸出的結(jié)果是_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）證明：.18．（12分）己知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)．求的值；求的值．19．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上的一點(diǎn).(1)若，求證:;(2)若，異面直線(xiàn)與所成的角為30°，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.20．（12分）在六條棱長(zhǎng)分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中，最大的體積是多少？證明你的結(jié)論．21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)（是參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程：.（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)的普通方程與直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，求的值.22．（10分）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由平面圖形到空間圖形的類(lèi)比推理中，一般是由點(diǎn)的性質(zhì)類(lèi)比推理到線(xiàn)的性質(zhì)，由線(xiàn)的性質(zhì)類(lèi)比推理到面的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【題目詳解】由已知在平面幾何中，若中，是垂足，則，類(lèi)比這一性質(zhì)，推理出：若三棱錐中，面面，為垂足，則．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了類(lèi)比推理的應(yīng)用，其中類(lèi)比推理的一般步驟是：（1）找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；（2）用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想），著重考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

本題首先用列舉法寫(xiě)出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計(jì)算公式求解．【題目詳解】設(shè)其中做過(guò)測(cè)試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過(guò)測(cè)試的取法有共6種，所以恰有2只做過(guò)測(cè)試的概率為，選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．應(yīng)用列舉法寫(xiě)出所有基本事件過(guò)程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用“樹(shù)圖法”，可最大限度的避免出錯(cuò)．3、C【解題分析】

根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，可得這名射手射擊命中3次的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法運(yùn)算求得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響，故此人射擊6次，3次命中的概率為，恰有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率為，故此人射擊6次，3次命中且恰有2次連續(xù)命中的概率為.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題，熟記概念和公式即可，屬于?？碱}型.4、C【解題分析】分析：把全稱(chēng)改為特稱(chēng)，大于改為小于等于。詳解：，故選C點(diǎn)睛：帶全稱(chēng)、特稱(chēng)量詞的否定，命題“，則成立”的否定：，則成立命題“，則成立”的否定：，則成立5、B【解題分析】

模擬程序運(yùn)行，依次計(jì)算可得所求結(jié)果【題目詳解】當(dāng)，，時(shí)，，；當(dāng)，，時(shí)，，；當(dāng)，，時(shí)，，；當(dāng)，，時(shí)，，；故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查程序運(yùn)算的結(jié)果，考查運(yùn)算能力，需注意所在位置6、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求模即可．【題目詳解】解：，，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為三棱錐，根據(jù)棱錐體積公式求得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體為三棱錐三棱錐體積為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)三視圖確定幾何體為三棱錐，且通過(guò)三視圖確定三棱錐的底面和高.8、C【解題分析】分析：先求均值，再根據(jù)線(xiàn)性回歸方程性質(zhì)得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以線(xiàn)性回歸方程必經(jīng)過(guò)點(diǎn),選C.點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.如果線(xiàn)性相關(guān)，則直接根據(jù)用公式求，寫(xiě)出回歸方程，回歸直線(xiàn)方程恒過(guò)點(diǎn).9、A【解題分析】

陽(yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù)，最后計(jì)算相應(yīng)概率.【題目詳解】因?yàn)殛?yáng)數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有：個(gè)，滿(mǎn)足差的絕對(duì)值為5的有：共個(gè)，則.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算，難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式：.10、D【解題分析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得出在上單調(diào)遞增，而根據(jù)即可得出，從而得出，從而得出選項(xiàng)．【題目詳解】∵，∴，由于時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，故，所以，而，所以，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查增函數(shù)的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及積的函數(shù)的求導(dǎo)，屬于中檔題.11、B【解題分析】

由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【題目詳解】根據(jù)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象，可得A＝1，，∴ω＝1．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得1×+φ＝π，求得φ＝，∴函數(shù)f（x）＝sin（1x+）．故把y＝f（x）的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y＝sin（1x++）＝cos1x＝g（x）的圖象.故選B．【題目點(diǎn)撥】確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法：(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝；(1)求ω，確定函數(shù)的最小正周期T，則可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A，ω，b已知)或代入圖象與直線(xiàn)y＝b的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．②特殊點(diǎn)法：確定φ值時(shí)，往往以尋找“最值點(diǎn)”為突破口．具體如下：“最大值點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ＝；“最小值點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí)ωx＋φ＝.12、D【解題分析】分析：對(duì)求導(dǎo)，令，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)椋玫?故選D點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解題分析】

根據(jù)成立即可求得對(duì)稱(chēng)軸,由對(duì)稱(chēng)軸結(jié)合解析式即可求得的值,可判斷①;根據(jù)及對(duì)稱(chēng)軸即可求得的值,可判斷②;根據(jù)條件可得與的關(guān)系,結(jié)合二次函數(shù)的值域即可判斷③;根據(jù)條件可知函數(shù)為偶函數(shù),根據(jù)存在性成立及恒成立,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域即可判斷④.【題目詳解】對(duì)于①,因?yàn)閷?duì)任意,均有成立,則的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),所以解得.即是軸對(duì)稱(chēng)函數(shù),不是周期函數(shù),所以①錯(cuò)誤;對(duì)于②,的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),可得,解得,所以②正確;對(duì)于③,,而由可知?jiǎng)t或.當(dāng)時(shí),代入可得,即,解不等式組可得,不等式無(wú)解,所以不成立當(dāng)時(shí),代入可得,即,解不等式組可得,即所以,所以,所以③錯(cuò)誤;對(duì)于④,由可知函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在上的值域?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)橐驗(yàn)榇嬖谑沟贸闪⑺灾恍枨壹?即實(shí)數(shù)的取值范圍是,所以④正確綜上可知,說(shuō)法正確的是②④故答案為:②④【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性及恒成立問(wèn)題的綜合應(yīng)用,對(duì)于分類(lèi)討論思想的理解,屬于難題。14、2【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)分析兩組數(shù)據(jù)之間關(guān)系，再根據(jù)數(shù)據(jù)變化規(guī)律確定對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差變化規(guī)律，即得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，所以，因此，即故答案為：2【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和項(xiàng)性質(zhì)以及數(shù)據(jù)變化對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響規(guī)律，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.15、5【解題分析】試題分析：．隨機(jī)變量的取值有1、2、3、4,分布列為：

1

2

3

4

由概率的基本性質(zhì)知：考點(diǎn)：1、離散型隨機(jī)變量的分布列．16、-1【解題分析】

本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，帶入求值即可．【題目詳解】當(dāng)．這是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)且周期為3，因?yàn)?，所以輸出結(jié)果為-1【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，帶入求出周期即可．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）先令，再求出，再研究函數(shù)的圖像得到a的取值范圍.(2)利用分析法證明不等式，再轉(zhuǎn)化為證明.詳解：（Ⅰ）由題意，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，又，故在區(qū)間上，在區(qū)間上.所以在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞減.故.又，當(dāng)時(shí)，，所以.（Ⅱ）不妨設(shè)，由（Ⅰ）可知.設(shè)函數(shù)，要證，只需證即可.又，故，由（Ⅰ）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故只需證明，又，即.設(shè)，，又，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以成立，故.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像和性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式和分析法證明不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)j解答本題的關(guān)鍵有三點(diǎn)，其一是轉(zhuǎn)化為，其二是轉(zhuǎn)化為，其三是證明在區(qū)間上單調(diào)遞減.18、（1）（2）【解題分析】

（1）直接利用三角函數(shù)的定義的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【題目詳解】（1）由題意，由角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得．由知，則．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，同角三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．19、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解題分析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，易知要證，先證平面；（2）如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量及直線(xiàn)的方向向量，即可得到結(jié)果.【題目詳解】(1)證明:取中點(diǎn)，連接，，有，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所?(2)設(shè)，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由(1)可知，，所以，故，，，，，對(duì)平面，，，所以其法向量為.又，所以直線(xiàn)與平面成角的正弦值.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線(xiàn)面垂直的證明、中位線(xiàn)定理以及利用空間向量求線(xiàn)面角的正弦值，考查了學(xué)生空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．20、；證明見(jiàn)解析【解題分析】

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊這個(gè)性質(zhì)，按題設(shè)數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，從而題設(shè)四面體中，以棱長(zhǎng)為2的棱為公共邊的兩個(gè)面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（I）（A）與（B），（II）（A）與（C）；（III）（B）與（C），于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)棱長(zhǎng)分別為（I）（II）（III）的四面體來(lái)計(jì)算體積的最大值（或估計(jì)）.【題目詳解】由三角形兩邊之差小于第三邊這個(gè)性質(zhì)，按題設(shè)數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（A）3,3；（B）5,5；（C）4，5；（D）3,4，從而題設(shè)四面體中，以棱長(zhǎng)為2為公共邊的兩個(gè)面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（I）（A）與（B），（II）（A）與（C）；（III）（B）與（C）.對(duì)情形（I）（A）與（B），四邊形沿AB折疊后使，則由得，即是四面體以為底面的高，∴體積為；對(duì)情形（II）（A）與（C）四邊形沿AB折疊后使，有兩種情形，它們體積相等，記為，∵，∴為鈍角，與平面斜交，∴；對(duì)情形