2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)高二數學第二學期期末經典試題含解析

2024屆廣東省廣州市番禺區(qū)高二數學第二學期期末經典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（）．A． B． C． D．2．已知函數的定義域為，且滿足（是的導函數），則不等式的解集為（）A． B． C． D．3．設，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是A．， B．C．， D．4．下列判斷錯誤的是A．若隨機變量服從正態(tài)分布，則B．“R，”的否定是“R，”C．若隨機變量服從二項分布：，則D．“<”是“a<b”的必要不充分條件5．箱子中有標號為1，2，3，4，5，6且大小、形狀完全相同的6個球，從箱子中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數，則獲獎．若有4人參與摸獎，則恰好有3人獲獎的概率為()A．16625 B．96625 C．6246．若過點可作兩條不同直線與曲線段C：相切，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知x,y的取值如下表，從散點圖知，x,y線性相關，且y=0.6x+a，則下列說法正確的是（x1234y1.41.82.43.2A．回歸直線一定過點(2.2,2.2)B．x每增加1個單位，y就增加1個單位C．當x=5時，y的預報值為3.7D．x每增加1個單位，y就增加0.7個單位8．已知、分別為的左、右焦點，是右支上的一點，與軸交于點，的內切圓在邊上的切點為，若，則的離心率為（）A． B． C． D．9．某中學從4名男生和3名女生中推薦4人參加某高校自主招生考試，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A．34種 B．35種 C．120種 D．140種10．已知函數是奇函數，當時，，當時，，則的解集時（）A． B．C． D．11．已知定義在R上的函數滿足：對任意x∈R，都有成立，且當時，(其中為的導數).設，則a，b，c三者的大小關系是（）A． B． C． D．12．10張獎券中有3張是有獎的，某人從中依次抽取兩張.則在第一次抽到中獎券的條件下，第二次也抽到中獎券的概率是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將集合的元素分成互不相交的三個子集：，其中,，，且，，則滿足條件的集合有__________個．14．已知復數z滿足，則________.15．公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯在前人的基礎上寫了一部劃時代的著作《圓錐曲線論》，該書給出了當時數學家們所研究的六大軌跡問題，其中之一便是“到兩個定點的距離之比等于不為1的常數的軌跡是圓”，簡稱“阿氏圓”．用解析幾何方法解決“到兩個定點，的距離之比為的動點軌跡方程是：”，則該“阿氏圓”的圓心坐標是______，半徑是_____．16．若函數，且在上有最大值，則最大值為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在二項式的展開式中，二項式系數之和為256，求展開式中所有有理項.18．（12分）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若直線與橢圓C相交于A、B兩點，在y軸上是否存在點D，使直線AD與BD關于y軸對稱？若存在，求出點D坐標；若不存在，請說明理由．19．（12分）（1）用分析法證明：；（2）用反證法證明：三個數中，至少有一個大于或等于.20．（12分）已知數列滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求.21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（，為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.若直線與曲線相切.（1）求曲線的極坐標方程；（2）在曲線上任取兩點，，該兩點與原點構成，且滿足，求面積的最大值.22．（10分）在直角坐標系中，是過點且傾斜角為的直線.以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的參數方程與曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于兩點，，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】∵隨機變量服從正態(tài)分布，，即對稱軸是，，∴，∴，∴．故選．2、D【解題分析】

構造函數，利用導數分析函數在上的單調性，在不等式兩邊同時乘以化為，即，然后利用函數在上的單調性進行求解即可.【題目詳解】構造函數，其中，則，所以，函數在定義域上為增函數，在不等式兩邊同時乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集為，故選：D.【題目點撥】本題考查利用構造新函數求解函數不等式問題，其解法步驟如下：（1）根據導數不等式的結構構造新函數；（2）利用導數分析函數的單調性，必要時分析該函數的奇偶性；（3）將不等式變形為，利用函數的單調性與奇偶性求解.3、D【解題分析】

由正態(tài)分布的性質，結合圖像依次分析選項即可得到答案。【題目詳解】由題可得曲線的對稱軸為，曲線的對稱軸為，由圖可得，由于表示標準差，越小圖像越瘦長，故，故A,C不正確；根據圖像可知，，，；所以，，故C不正確，D正確；故答案選D【題目點撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點以曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布函數中兩個特征數均值和方差對曲線的位置和形狀的影響，正態(tài)分布曲線關于對稱，且越大圖像越靠右邊，表示標準差，越小圖像越瘦長，屬于基礎題。4、D【解題分析】

根據題目可知，利用正態(tài)分布的對稱性、含有一個量詞的命題的否定、二項分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質逐項分析，得出答案．【題目詳解】（1）隨機變量服從正態(tài)分布，故選項正確．（2）已知原命題是全稱命題，故其否定為特稱命題，將換為，條件不變，結論否定即可，故B選項正確．（3）若隨機變量服從二項分布：，則，故C選項正確．（4）當時，“a<b”不能推出“<”，故D選項錯誤．綜上所述，故答案選D．【題目點撥】本題是一個跨章節(jié)綜合題，考查了正態(tài)分布的對稱性、含有一個量詞的命題的否定、二項分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質四個知識點．5、B【解題分析】獲獎的概率為p=6C62=25，記獲獎的人數為ξ，ξ~B(4,6、D【解題分析】

設切點為，寫出切線方程為，把代入，關于的方程在上有兩個不等實根，由方程根的分布知識可求解.【題目詳解】設切點為，,則切線方程為，在切線上，可得，函數在上遞增，在上遞減，，又，，∴如果有兩解，則.故選：D.【題目點撥】本題考查導數的幾何意義，考查方程根的分布問題。由方程根的個數確定參數取值范圍，可采用分離參數法，轉化為直線與函數圖象交點個數問題。7、C【解題分析】

由已知求得樣本點的中心的坐標，代入線性回歸方程即可求得a值，進一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個選項即可得答案．【題目詳解】解：由已知得，x=1+2+3+44=2.5，由回歸直線方程y^=0.6x+a^恒過樣本中心點（2.5，2.2），得2.2=0.6×2.5+∴回歸直線方程為y?x每增加1個單位，y就增加1個單位，故B錯誤；當x＝5時，y的預測值為3.1，故C正確；x每增加1個單位，y就增加0.6個單位，故D錯誤．∴正確的是C．故選C．【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程，解題關鍵是性質：線性回歸直線一定過點(x8、A【解題分析】

由中垂線的性質得出，利用圓的切線長定理結合雙曲線的定義得出，可得出的值，再結合的值可求出雙曲線的離心率的值.【題目詳解】如圖所示，由題意，，由雙曲線定義得，由圓的切線長定理可得，所以，，，即，所以，雙曲線的離心率，故選：A.【題目點撥】本題考查雙曲線離心率的求解，同時也考查了雙曲線的定義以及圓的切線長定理的應用，解題時要分析出幾何圖形的特征，在出現焦點時，一般要結合雙曲線的定義來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9、A【解題分析】分析：根據題意，選用排除法，分3步，①計算從7人中，任取4人參加志愿者活動選法，②計算選出的全部為男生或女生的情況數目，③由事件間的關系，計算可得答案．詳解：分3步來計算，

①從7人中，任取4人參加志愿者活動，分析可得，這是組合問題，共C74=35種情況；

②選出的4人都為男生時，有1種情況，因女生只有3人，故不會都是女生，

③根據排除法，可得符合題意的選法共35-1=34種；

故選A．點睛：本題考查計數原理的運用，注意對于本類題型，可以使用排除法，即當從正面來解所包含的情況比較多時，則采取從反面來解，用所有的結果減去不合題意的結果．10、A【解題分析】

對的范圍分類討論，利用已知及函數是奇函數即可求得的表達式，解不等式即可．【題目詳解】因為函數是奇函數，且當時，所以當，即：時，，當，即：時，可化為：，解得：.當，即：時，利用函數是奇函數，將化為：，解得：所以的解集是故選A【題目點撥】本題主要考查了函數的奇偶性應用，還考查了分類思想及計算能力，屬于中檔題．11、B【解題分析】試題分析：由題意得：對任意x∈R，都有，即f（x）=f（2-x）成立，所以函數的對稱軸為x=1，所以f（3）=f（-1）．因為當x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0，所以f′（x）＞0，所以函數f（x）在（-∞，1）上單調遞增．因為-1＜0＜，所以f（-1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），所以c＜a＜b．故選B．考點：本題主要考查熟練函數的奇偶性、單調性、對稱性等，利用導數研究函數的單調性。點評：中檔題，熟練掌握函數的性質如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等，在給定區(qū)間，導數值非負，函數是增函數，導數值為非正，函數為減函數。自左向右看，函數圖象上升，函數增；函數圖象下降，函數減。12、B【解題分析】

根據第一次抽完的情況下重新計算總共樣本數和滿足條件樣本數，再由古典概型求得概率?！绢}目詳解】在第一次抽中獎后，剩下9張獎券，且只有2張是有獎的，所以根據古典概型可知，第二次中獎的概率為。選B.【題目點撥】事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為“事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率”，記為；條件概率常有兩種處理方法：（1）條件概率公式：。（2）縮小樣本空間，即在事件A發(fā)生后的己知事實情況下，用新的樣本空間的樣本總數和滿足特征的樣本總數來計算事件B發(fā)生的概率。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

分析：由可得，令，則，，，然后列舉出的值，從而可得結果.詳解：，所以，令，根據合理安排性，集合的最大一個元素，必定為：，則，又，，①當時，同理可得.②當時，同理可得或，綜上，一共有種，故答案為.點睛：本題考查主要考查集合與元素的關系，意在考查抽象思維能力，轉化與劃歸思想，分類討論思想應用，屬于難題.解得本題的關鍵是首項確定，從而得到，由此打開突破點.14、3-i【解題分析】

利用復數的運算法則、共軛復數的性質即可得出．【題目詳解】解：（z﹣2）i＝1+i，則（z﹣2）i?（﹣i）＝﹣i（1+i），可得z＝2﹣i+1＝3﹣i．故答案為：3﹣i．【題目點撥】本題考查了復數的運算法則、共軛復數的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．15、2【解題分析】

將圓化為標準方程即可求得結果.【題目詳解】由得：圓心坐標為：，半徑為：本題正確結果：；【題目點撥】本題考查根據圓的方程求解圓心和半徑的問題，屬于基礎題.16、3【解題分析】

先對函數求導，求出，再由導數的方法研究函數單調性，進而可求出結果.【題目詳解】因為，所以，因此，解得，所以，由得或；由得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；所以當時，取極大值，由得或；又在上有最大值，所以只需.故答案為3【題目點撥】本題主要考查導數的應用，由函數在給定區(qū)間有最大值求參數，只需利用導數的方法研究函數單調性，即可求解，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、答案見解析【解題分析】

由題意首先求得n的值，然后結合展開式的通項公式即可確定展開式中所有有理項.【題目詳解】由題意可得：，解得：，則展開式的通項公式為：，由于且，故當時展開式為有理項，分別為：，，.【題目點撥】(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項．(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數原理討論求解．18、（1）；（2）見解析.【解題分析】分析：（1）由題意得，求解即可；（2）假設存在點滿足條件，則，設，，，聯立方程，從而可得，又由，得，從而求得答案.詳解：（Ⅰ）由題意，設橢圓方程為，則有，解得，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）假設存在點滿足條件，則．設，，，聯立方程，得，，，由，得，即，綜上所述，存在點，使直線AD與BD關于y軸對稱．點睛：對題目涉及的變量巧妙的引進參數，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數的關系進行整體代換，達到“設而不求，減少計算”的效果，直接得結果．19、(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：(1)結合不等式的特征，兩邊平方，用分析法證明不等式即可；(2)利用反證法，假設這三個數沒有一個大于或等于，然后結合題意找到矛盾即可證得題中的結論.試題解析：（1）因為和都是正數，所以要證，只要證，展開得，只要證，只要證，因為成立，所以成立.（2）假設這三個數沒有一個大于或等于，即，上面不等式相加得（*）而，這與（*）式矛盾，所以假設不成立，即原命題成立.點睛：一是分析法是“執(zhí)果索因”，特點是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋找使結論成立的充分條件；二是應用反證法證題時必須先否定結論，把結論的反面作為條件，且必須根據這一條件進行推理，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法．所謂矛盾主要指：①與已知條件矛盾；②與假設矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與公認的簡單事實矛盾；⑤自相矛盾.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）先計算，再分別取時兩個等式相減得到，計算得到.（2）先計算，，利用裂項求和得到答案.【題目詳解】（1），當時，.當時，也成立.,.（2），，.【題目點撥】本題考查了數列的通項公式，裂項求和，意在考查學生對于數列公式和方法的靈活運用及計算能力.21、（1）；（2）【解題分析