山東省平邑縣曾子學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達標(biāo)測試試題含解析

山東省平邑縣曾子學(xué)校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達標(biāo)測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為（）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則（）A．1 B． C．2 D．43．拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．5．曲線與直線及直線所圍成的封閉圖形的面積為()A． B． C． D．6．設(shè)是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，則的值為（）A． B． C． D．7．已知全集U＝{x∈Z|0<x<10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，則(?UA)∩B＝()A．{6，8} B．{2，4} C．{2，6，8} D．{4，8}8．將4名學(xué)生分配到5間宿舍中的任意2間住宿，每間宿舍2人，則不同的分配方法有（）A．240種 B．120種 C．90種 D．60種9．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．10．下面是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且的部分過程：“……，假設(shè)當(dāng)時，＋＋…＋，故當(dāng)時，有，因為，故＋＋…＋，……”，則橫線處應(yīng)該填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，11．已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實數(shù)等于（）A．2 B．1 C．0或1 D．-112．假設(shè)如圖所示的三角形數(shù)表的第行的第二個數(shù)為，則（）A．2046 B．2416 C．2347 D．2486二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線的一個法向量，則直線的傾斜角是_________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；14．已知某種新產(chǎn)品的編號由1個英文字母和1個數(shù)字組成，且英文字母在前，數(shù)字在后.已知英文字母是，，，，這5個字母中的1個，數(shù)字是1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字中的一個，則共有__________個不同的編號（用數(shù)字作答）.15．一個直三棱柱的每條棱長都是，且每個頂點都在球的表面上，則球的表面積為________16．不等式的解集是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍18．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點（點均在第一象限），且直線的斜率成等比數(shù)列，證明：直線的斜率為定值.19．（12分）已知復(fù)數(shù)（，為正實數(shù)，是虛數(shù)單位）是方程的一個根.（1）求此方程的另一個根及的值；（2）復(fù)數(shù)滿足，求的取值范圍.20．（12分）已知定義域為R的函數(shù)f（x）＝是奇函數(shù)，且a∈R．（1）求a的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝，若將函數(shù)g（x）的圖象向右平移一個單位得到函數(shù)h（x）的圖象，求函數(shù)h（x）的值域．21．（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）證明：函數(shù)的圖象經(jīng)過一個定點，并求圖象在點處的切線方程；（2）若，求函數(shù)在上的值域.22．（10分）已知橢圓的左右焦點分別為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點與橢圓交于兩點，且.（I）求直線的方程；（II）已知過右焦點的動直線與橢圓交于不同兩點，是否存在軸上一定點，使？（為坐標(biāo)原點）若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可得到答案．【題目詳解】由曲線的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘，可得，再由，可得：，所以曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為故答案選B【題目點撥】本題考查把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的方法，熟練掌握直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

計算，根據(jù)純虛數(shù)的概念，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算，可得結(jié)果.【題目詳解】為純虛數(shù)，，，故選：B【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)中純虛數(shù)的理解以及復(fù)數(shù)的模的計算，審清題干，細心計算，屬基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】分析：先把拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再求其焦點坐標(biāo).詳解：由題得，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)研究圓錐曲線時，首先一般把曲線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程再研究.4、C【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，進行計算，即可求解．【題目詳解】由角函數(shù)的周期公式，可得函數(shù)的周期，又由絕對值的周期減半，即為最小正周期為，故選C．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的周期的計算，其中解答中熟記余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】聯(lián)立曲線與兩條直線的方程組成的方程組可得三個交點分別為，結(jié)合圖形可得封閉圖形的面積為，應(yīng)選答案D．6、D【解題分析】

將作為基向量，其他向量用其表示，再計算得到答案.【題目詳解】設(shè)是邊長為的正三角形，是的中點，是的中點，故答案選D【題目點撥】本題考查了向量的乘法，將作為基向量是解題的關(guān)鍵.7、A【解題分析】

先化簡已知條件,再求.【題目詳解】由題得,因為,,故答案為A【題目點撥】本題主要考查集合的化簡，考查集合的補集和交集運算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.8、D【解題分析】

根據(jù)分步計數(shù)原理分兩步：先安排宿舍，再分配學(xué)生，繼而得到結(jié)果．【題目詳解】根據(jù)題意可以分兩步完成：第一步：選宿舍有10種；第二步：分配學(xué)生有6種；根據(jù)分步計數(shù)原理有：10×6＝60種．故選D．【題目點撥】本題考查排列組合及計數(shù)原理的實際應(yīng)用，考查了分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

先求，再求【題目詳解】,故選C.【題目點撥】本題考查了集合的并集和補集，屬于簡單題型.10、A【解題分析】

由歸納假設(shè)，推得的結(jié)論，結(jié)合放縮法，便可以得出結(jié)論．【題目詳解】假設(shè)當(dāng)時，＋＋…＋，故當(dāng)時，＋＋…＋+＜，因為，＋＋…＋，故選A．【題目點撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟，以及放縮法的運用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．11、B【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得實部等于0且虛部不等于0.求解即可得到答案.詳解：復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，解得.故選B.點睛：此題考查復(fù)數(shù)的概念，思路：純虛數(shù)是實部為0.虛部不為0的復(fù)數(shù).12、B【解題分析】

由三角形數(shù)表特點可得，利用累加法可求得，進而得到結(jié)果.【題目詳解】由三角形數(shù)表可知：，，，…，，，整理得：，則.故選：.【題目點撥】本題考查數(shù)列中的項的求解問題，關(guān)鍵是能夠采用累加法準(zhǔn)確求得數(shù)列的通項公式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由法向量與方向向量垂直，求出方向向量，得直線的斜率，從而得傾斜角?！绢}目詳解】直線的一個法向量，則直線的一個方向向量為，其斜率為，∴傾斜角為。故答案為：。【題目點撥】本題考查求直線的傾斜角，由方向向量與法向量的垂直關(guān)系可求得直線斜率，從而求得傾斜角，注意傾斜角范圍是，而反正切函數(shù)值域是。14、45【解題分析】

通過分步乘法原理即可得到答案.【題目詳解】對于英文字母來說，共有5種可能，對于數(shù)字來說，共有9種可能，按照分步乘法原理，即可知道共有個不同的編號.【題目點撥】本題主要考查分步乘法原理的相關(guān)計算，難度很小.15、【解題分析】

設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線段的中點，利用勾股定理求出球的半徑，由此能求出球的表面積．【題目詳解】∵一個直三棱柱的每條棱長都是，且每個頂點都在球的球面上，∴設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為，則球心為線段的中點，設(shè)球的半徑為，則∴球的表面積.故答案為：．【題目點撥】本題考查球的表面積的求法，空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、屬于中檔題．16、【解題分析】

直接去掉絕對值即可得解.【題目詳解】由去絕對值可得即，故不等式的解集是.【題目點撥】本題考查了絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）由函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，由區(qū)間上為減函數(shù)得到恒成立，通過分離參數(shù)，求函數(shù)最值得到的范圍（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，首先通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，進而求出最值，在求單調(diào)區(qū)間時注意對參數(shù)分情況討論試題解析：（1）因為函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，所以對恒成立即對恒成立（2）因為當(dāng)時，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)，只需即可由①當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立②當(dāng)時，令，因為，所以解得1）當(dāng)，即時，在區(qū)間上，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上無最大值，不合題設(shè)．2）當(dāng)時，即時，在區(qū)間上；在區(qū)間上．函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，同樣在無最大值，不滿足條件．③當(dāng)時，由，故，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立綜上所述，實數(shù)的取值范圍是考點：1．不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化；2．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性最值18、(1);(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率和所過的點得到關(guān)于的方程組，解得后可得橢圓的方程．（2）由題意設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立后消元可得二次方程，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得直線的斜率，再根據(jù)題意可得，根據(jù)此式可求得，為定值．試題解析：（1）由題意可得，解得．故橢圓的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由，消去整理得，∵直線與橢圓交于兩點，∴．設(shè)點的坐標(biāo)分別為，則，∴．∵直線的斜率成等比數(shù)列，∴，整理得，∴，又，所以，結(jié)合圖象可知，故直線的斜率為定值．點睛：（1）圓錐曲線中的定點、定值問題是常考題型，難度一般較大，常常把直線、圓及圓錐曲線等知識結(jié)合在一起，注重數(shù)學(xué)思想方法的考查，尤其是函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的考查．（2）解決定值問題時，可直接根據(jù)題意進行推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19、(1),;(2)【解題分析】

(1)先求得的根,再根據(jù)題意求另一根即可.

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)模長的計算表達再求解即可.【題目詳解】(1),故,,.

(2)由有,即.所以.【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運算以及模長的用法等,屬于基礎(chǔ)題型.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題意可得，解方程可得的值，即可求得的值；（2）求得，由圖象平移可得，再由指數(shù)函數(shù)的值域，即可求解，得到答案．【題目詳解】(1)由題意，函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，所以，即，所以，經(jīng)檢驗時，是奇函數(shù).(2)由于，所以，即，所以，將的圖象向右平移一個單位得到的圖象，得，所以函數(shù)的值域為．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及圖象的變換，著重考查了變形能力，以及推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）證明見解析，；（2）【解題分析】

（1）將函數(shù)解析式重新整理，解得定點，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式得切線方程，（2）先解出，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域.【題目詳解】（1）因為，所以，所以函數(shù)的圖像經(jīng)過一個定點，因為，所以切線的斜率，.所以在點處的切線方程為，即；（2）因為，，所以，故，則，由得或，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：1200單調(diào)減單調(diào)增從而在上有最小值，且最小值為，因為，，所以，因為在上單調(diào)減，，所以，所以，所以最大值為，所以函數(shù)在上的值域為.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.22、（1）或；（2）【解題分析】

（I）解法一：直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用弦長公式即可得出．解法二：利用焦半徑公式可得．（II）II）設(shè)l2的方程為與橢圓聯(lián)立：．假設(shè)存在點T（t，0）符合要求，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用