2024屆福建省福州市三校聯(lián)盟數(shù)學高二下期末檢測模擬試題含解析

2024屆福建省福州市三校聯(lián)盟數(shù)學高二下期末檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為，則輸出的值為（）A． B． C． D．2．設函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)f（x）的最大值為﹣1，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣2]3．已知雙曲線與橢圓：有共同的焦點，它們的離心率之和為，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．4．設集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0},則A∩B＝（）A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）5．已知關于的實系數(shù)一元二次方程的一個根在復平面上對應點是，則這個方程可以是（）A． B．C． D．6．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，則（）A．-3 B．0 C．3 D．20197．已知函數(shù)，的值域是，則實數(shù)的取值范圍是()A．（1,2） B． C．（1,3） D．（1,4）8．為了考察兩個變量x和y之間的線性相關性，甲、乙兩位同學各自獨立地做10次和15次驗，并且利用線性回歸方程，求得回歸直線分別為和．已知兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都為t，那么下列說法正確的（）A．與相交于點（s，t）B．與相交，交點不一定是（s，t）C．與必關于點（s，t）對稱D．與必定重合9．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．已知，若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中常數(shù)項為（）A． B． C． D．11．“四邊形是矩形，四邊形的對角線相等”補充以上推理的大前提是（）A．正方形都是對角線相等的四邊形 B．矩形都是對角線相等的四邊形C．等腰梯形都是對角線相等的四邊形 D．矩形都是對邊平行且相等的四邊形12．圓與圓的公切線有幾條（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個總體為：、、、、，且總體平均數(shù)是，則這個總體的方差是______．14．函數(shù)在上的減區(qū)間為_____．15．定義在上的偶函數(shù)滿足且在[—1，0]上是增函數(shù)，給出下列關于的判斷:①是周期函數(shù)；②關于直線對稱；③是[0，1]上是增函數(shù)；④在[1，2]上是減函數(shù)；⑤.其中正確的序號是_________.16．若不等式有且只有1個正整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了解人們]對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責成人社部進行調研.人社部從網(wǎng)上年齡在1565歲的人群中隨機調查100人，調査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結果如下：年齡支持“延遲退休”的人數(shù)155152817（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；45歲以下45歲以上總計支持不支持總計（2）若以45歲為分界點，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動.現(xiàn)從這8人中隨機抽2人①抽到1人是45歲以下時，求抽到的另一人是45歲以上的概率.②記抽到45歲以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.18．（12分）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，短軸長為(1)求橢圓C的方程；(2)當直線l的斜率為3時,求ΔPOQ的面積；(3)在x軸上是否存在點M(m,0),滿足|PM|=|QM|？若存在,求出m的取值范圍；若不存在,請說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，其中為實常數(shù).（1）若當時，在區(qū)間上的最大值為，求的值；（2）對任意不同兩點，，設直線的斜率為，若恒成立，求的取值范圍.20．（12分）某校為“中學數(shù)學聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復賽兩個階段進行，規(guī)定：分數(shù)不小于本次考試成績中位數(shù)的具有復賽資格，某校有900名學生參加了初賽，所有學生的成績均在區(qū)間內，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復賽資格應劃定的最低分數(shù)線；（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人參加學校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù)，學校打算給這4人一定的物質獎勵，若該生分數(shù)在給予500元獎勵，若該生分數(shù)在給予800元獎勵，用Y表示學校發(fā)的獎金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學期望。21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，又底面，，為的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

讀懂流程圖，可知每循環(huán)一次，的值減少4，當時，得到的值.【題目詳解】根據(jù)流程圖，可知每循環(huán)一次，的值減少4，輸入，因為2019除以4余3，經過多次循環(huán)后，再經過一次循環(huán)后滿足的條件，輸出【題目點撥】流程圖的簡單問題，找到循環(huán)規(guī)律，得到的值，得到輸出值.屬于簡單題.2、D【解題分析】

考慮x≥1時，f（x）遞減，可得f（x）≤﹣1，當x＜1時，由二次函數(shù)的單調性可得f（x）max＝1+a，由題意可得1+a≤﹣1，可得a的范圍．【題目詳解】當x≥1時，f（x）＝﹣log1（x+1）遞減，可得f（x）≤f（1）＝﹣1，當且僅當x＝1時，f（x）取得最大值﹣1；當x＜1時，f（x）＝﹣（x+1）1+1+a，當x＝﹣1時，f（x）取得最大值1+a，由題意可得1+a≤﹣1，解得a≤﹣1．故選：D．【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的最值求法，注意運用對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．3、C【解題分析】

由橢圓方程求出雙曲線的焦點坐標，及橢圓的離心率，結合題意進一步求出雙曲線的離心率，從而得到雙曲線的實半軸長，再結合隱含條件求得雙曲線的虛半軸長得答案．【題目詳解】由橢圓，得，，則，雙曲線與橢圓的焦點坐標為，，橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為．設雙曲線的實半軸長為m，則，得，則虛半軸長，雙曲線的方程是．故選C．【題目點撥】本題考查雙曲線方程的求法，考查了橢圓與雙曲線的簡單性質，是中檔題．4、C【解題分析】

求得集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x<2}，根據(jù)集合的交集運算，即可求解．【題目詳解】由題意，集合A={x|x所以A∩B={x|-1≤x<2}=[-1,2)．故選：C．【題目點撥】本題主要考查了集合的交集運算，其中解答中正確求解集合A,B，再根據(jù)集合的運算求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．5、A【解題分析】

先由題意得到方程的兩復數(shù)根為，(為虛數(shù)單位)，求出，，根據(jù)選項，即可得出結果.【題目詳解】因為方程的根在復平面內對應的點是，可設根為：，(為虛數(shù)單位)，所以方程必有另一根，又，，根據(jù)選項可得，該方程為.故選A【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的方程，熟記復數(shù)的運算法則即可，屬于常考題型.6、B【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此求出、、的值，進而結合周期性分析可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則有，即，變形可得：，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則，故.故選：B.【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性周期性的綜合應用，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎題.7、B【解題分析】

先求出當x≤2時，f（x）≥4，則根據(jù)條件得到當x＞2時，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用對數(shù)函數(shù)的單調性進行求解即可．【題目詳解】當x≤2時，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），則當x＞2時，f（x）=3+logax≥4恒成立，即logax≥1，若0＜a＜1，則不等式logax≥1不成立，當a＞1時，則由logax≥1=logaa，則a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故選：D．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)值域的應用，利用分段函數(shù)的表達式先求出當x≤2時的函數(shù)的值域是解決本題的關鍵．8、A【解題分析】

根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點（s，t），判斷A說法正確．【題目詳解】解：根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點（s，t），∴與相交于點，A說法正確．故選：A．【題目點撥】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的應用問題，是基礎題．9、B【解題分析】

由漸近線方程得出的值，結合可求得【題目詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，∴，∴，解得，即離心率為．故選：B．【題目點撥】本題考查雙曲線的漸近線和離心率，解題時要注意，要與橢圓中的關系區(qū)別開來．10、B【解題分析】

通過各項系數(shù)和為1，令可求出a值，于是可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，在中，令，則，而，故，所以展開式中常數(shù)項為，故答案為B.【題目點撥】本題主要考查二項式定理，注意各項系數(shù)之和和二項式系數(shù)和之間的區(qū)別，意在考查學生的計算能力，難度不大.11、B【解題分析】

根據(jù)題意，用三段論的形式分析即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，用演繹推理即三段論形式推導一個結論成立，大前提應該是結論成立的依據(jù)，∵由四邊形是矩形，得到四邊形的對角線相等的結論，∴大前提一定是矩形都是對角線相等的四邊形，故選B．【題目點撥】本題考查演繹推理的定義，關鍵是掌握演繹推理的形式，屬于基礎題.12、C【解題分析】

首先求兩圓的圓心距，然后判斷圓心距與半徑和或差的大小關系,最后判斷公切線的條數(shù).【題目詳解】圓，圓心，，圓,圓心，，圓心距兩圓外切，有3條公切線.故選C.【題目點撥】本題考查了兩圓的位置關系，屬于簡單題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用總體平均數(shù)為求出實數(shù)的值，然后利用方差公式可求出總體的方差.【題目詳解】由于該總體的平均數(shù)為，則，解得.因此，這個總體的方差為.故答案為：.【題目點撥】本題考查方差的計算，利用平均數(shù)和方差公式進行計算是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題.14、【解題分析】

利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為,結合正弦函數(shù)圖像,即可求得函數(shù)的減區(qū)間.【題目詳解】函數(shù)根據(jù)正弦函數(shù)減區(qū)間可得:,解得:,故函數(shù)的減區(qū)間為:再由,可得函數(shù)的減區(qū)間為故答案為:【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的單調區(qū)間的求法,利用正弦函數(shù)的圖像和性質是解決本題的關鍵,考查了計算能力,屬于基礎題.15、①②⑤.【解題分析】,周期為2,,又，所以f(x)關于直線x=1對稱，又因為f(x)為偶函數(shù)，在[-1，0]是增函數(shù)，所以在[0,1]上是減函數(shù)，由于f(x)在[1,2]上的圖像與[-1,0]上的相同，因而在[1,2]也是增函數(shù)，綜上正確的有①②⑤.16、【解題分析】

令（），求出，由導數(shù)研究函數(shù)的單調性，可得唯一的正整數(shù)解是什么，從而得出的范圍．【題目詳解】令（），則.當時，由得；由得；所以在單調遞增，在單調遞減，不合題意，舍去；當時，有，顯然不成立；當時，由得；由得；所以在單調遞減，在單調遞增，依題意，需解得，故實數(shù)a的取值范圍是.【題目點撥】本題考查不等式的正整數(shù)解，實質考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．掌握用導數(shù)研究函數(shù)單調性的方法是解題關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見解析，在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”有差異.(2)①.②分布列見解析，.【解題分析】

分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖得到45歲以下與45歲以上的人數(shù)，由此可得列聯(lián)表，求得后在結合臨界值表可得結論．（2）①結合條件概率的計算方法求解；②由題意可得的可能取值為0,1,2，分別求出對應的概率后可得分布列和期望．詳解：（1）由頻率分布直方圖知45歲以下與45歲以上各50人，故可得列聯(lián)表如下：45歲以下45歲以上總計支持354580不支持15520總計5050100由列聯(lián)表可得，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異．（2）①從不支持“延遲退休”的人中抽取8人，則45歲以下的應抽6人，45歲以上的應抽2人．設“抽到1人是45歲以下”為事件A，“抽到的另一人是45歲以上”為事件B，則,∴,即抽到1人是45歲以下時，求抽到的另一人是45歲以上的概率為．②從不支持“延遲退休”的人中抽取8人，則45歲以下的應抽6人，45歲以上的應抽2人．由題意得的可能取值為0,1,2.，，.故隨機變量的分布列為：012所以.18、（1）x24+y23=1（2）453（3）在【解題分析】

（1）根據(jù)題中條件列有關a、b、c的方程組，解出這三個數(shù)，可得出橢圓C的標準方程；（2）先寫出直線l的方程，并設點Px1,y1、Qx2,y2，將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，利用弦長公式求出（3）①當直線l的斜率為零時，得出m=0；②當直線l的斜率不為零時，設直線l的方程為y=kx-1，設點Px1,y1、Qx2,y2，將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，并列出韋達定理，求出線段PQ的中點【題目詳解】（1）由已知得2b=23ca所以橢圓C的方程為x2（2）設直線l:?y=3(x-1)，設點由y=3(x-1)x24點O到直線l的距離為d=32，則（3）當直線l的斜率不存在時，不符合題意；當直線l的斜率為0時，m=0，當直線l的斜率不為0時，設直線l:y=k(x-1)(k≠0)，設P由y=k(x-1)x2∴x1+xPQ的中點N4k23+4kkMN?kPQ綜上，在x軸上存在點M(m,0)，滿足PM=QM，且m的取值范圍為【題目點撥】本題考查橢圓方程的求解，考查橢圓中三角形面積的計算以及直線與橢圓位置關系的綜合問題，這種類型問題常用韋達定理法求解，解題時要將題中一些問題等價轉化，考查計算能力，屬于中等題。19、(1)(2)【解題分析】

（1）討論與0，1，e的大小關系確定最值得a的方程即可求解；（2）原不等式化為，不妨設，整理得，設，當時，，得，分離，求其最值即可求解a的范圍【題目詳解】（1），令，則.所以在上單調遞增，在上單調遞減.①當，即時，在區(qū)間上單調遞減，則，由已知，，即，符合題意.②當時，即時，在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，則，由已知，，即，不符合題意，舍去.③當，即時，在區(qū)間上單調遞增，則，由已知，，即，不符合題意，舍去.綜上分析，.（2）由題意，，則原不等式化為，不妨設，則，即，即.設，則，由已知，當時，不等式恒成立，則在上是增函數(shù).所以當時，，即，即恒成立，因為，當且僅當，即時取等號，所以.故的取值范圍是.【題目點撥】本題考查函數(shù)的單調性，不等式恒成立問題，構造函數(shù)與分離變量求最值，分類討論思想，轉化化歸能力，是中檔題20、（1）本次考試復賽資格最低分數(shù)線應劃為100分；（2）5人，2人；（3）元.【解題分析】

（1）求獲得復賽資格應劃定的最低分數(shù)線，即是求考試成績中位數(shù)，只需滿足中位數(shù)兩側的頻率之和均為0.5即可；（2）先確定得分在區(qū)間與的頻率之比，即可求解；（3）先確定的可能取值，再求出其對應的概率，即可求出分布列和期望.【題目詳解】（1）由題意知的頻率為：，的頻率為：所以分數(shù)在的頻率為：，從而分數(shù)在的，假設該最低分數(shù)線為由題意得解得．故本次考試復賽資格最低分數(shù)線應劃為100分。（2）在區(qū)間與，，在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人，分在區(qū)間與各抽取5人，2人，結果是5人，2人．（3）的可能取值為2，3，4，則：，從而Y的分布列為Y260023002000(元)．【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖求中位數(shù)，以及分層抽樣和超幾何分布等問題，熟記相關概念，即可求解，屬于?？碱}型.21、(1)證明見解析.(2).【解題分析