2024屆長(zhǎng)治市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆長(zhǎng)治市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)f（x）＝2x－1，（a∈R），若對(duì)任意x1∈[1，＋∞），總存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知，則等于()A．-4 B．-2 C．1 D．23．已知某函數(shù)圖象如圖所示，則圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（）A． B．C． D．4．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A． B． C． D．與的值有關(guān)5．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．6．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．7．若集合，函數(shù)的定義域?yàn)榧螧，則A∩B等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2）8．如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)依次為，，記線段、以及的圖象圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）為，若向矩形內(nèi)任意投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為()A． B．C． D．9．在正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．10．甲、乙、丙、丁4個(gè)人跑接力賽，則甲乙兩人必須相鄰的排法有（）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種11．設(shè),且，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．12．在某項(xiàng)測(cè)試中，測(cè)量結(jié)果與服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.21二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)f（x）＝e2x+2f（0）ex﹣f′（0）x，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f（x）≥x﹣ex+a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_．14．若雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為_(kāi)______．15．隨機(jī)變量X服從于正態(tài)分布N（2，σ2）若P（X≤0）＝a，則P（2＜X＜4）＝_____16．集合中所有3個(gè)元素的子集的元素和為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）進(jìn)入春天，大氣流動(dòng)性變好，空氣質(zhì)量隨之提高，自然風(fēng)光越來(lái)越美，自駕游鄉(xiāng)村游也就越來(lái)越熱．某旅游景區(qū)試圖探究車流量與景區(qū)接待能力的相關(guān)性，確保服務(wù)質(zhì)量和游客安全，以便于確定是否對(duì)進(jìn)入景區(qū)車輛實(shí)施限行．為此，該景區(qū)采集到過(guò)去一周內(nèi)某時(shí)段車流量與接待能力指數(shù)的數(shù)據(jù)如表：時(shí)間周一周二周三周四周五周六周日車流量（x千輛）1099.510.51188.5接待能力指數(shù)y78767779807375（I）根據(jù)表中周一到周五的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程．（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2，則認(rèn)為該線性回歸方程是可靠的．請(qǐng)根據(jù)周六和周日數(shù)據(jù)，判定所得的線性回歸方程是否可靠？附參考公式及參考數(shù)據(jù)：線性回歸方程，其中；18．（12分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿足：.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，求的最大值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為.（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，），求的值.20．（12分）已知函數(shù)（1）設(shè)的最大值為，求的最小值；（2）在（1）的條件下，若，且，求的最大值.21．（12分）夏天喝冷飲料已成為年輕人的時(shí)尚.某飲品店購(gòu)進(jìn)某種品牌冷飲料若干瓶，再保鮮.（Ⅰ）飲品成本由進(jìn)價(jià)成本和可變成本（運(yùn)輸、保鮮等其它費(fèi)用）組成.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，“可變成本”（元）與飲品數(shù)量（瓶）有關(guān)系.與之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：飲品數(shù)量（瓶）24568可變成本（元）34445依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；如果該店購(gòu)入20瓶該品牌冷飲料，估計(jì)“可變成本”約為多少元？（Ⅱ）該飲品店以每瓶10元的價(jià)格購(gòu)入該品牌冷飲料若干瓶，再以每瓶15元的價(jià)格賣給顧客。如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完，則通過(guò)促銷以每瓶5元的價(jià)格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)天能夠把剩余冷飲料都低價(jià)處理完畢，且處理完畢后，當(dāng)天不再購(gòu)進(jìn))．該店統(tǒng)計(jì)了去年同期100天該飲料在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量(單位：瓶)，制成如下表：每日前8個(gè)小時(shí)銷售量（單位：瓶）15161718192021頻數(shù)10151616151315若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率，若當(dāng)天購(gòu)進(jìn)18瓶，求當(dāng)天利潤(rùn)的期望值.（注：利潤(rùn)=銷售額購(gòu)入成本“可變本成”）參考公式：回歸直線方程為，其中參考數(shù)據(jù)：，.22．（10分）已知函數(shù)(1)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

對(duì)a分a=0,a＜0和a＞0討論，a＞0時(shí)分兩種情況討論，比較兩個(gè)函數(shù)的值域的關(guān)系，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【題目詳解】當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）＝2x－1的值域?yàn)閇1,+∞），函數(shù)的值域?yàn)閇0,++∞），滿足題意.當(dāng)a＜0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇a+2,-a+2],因?yàn)閍+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此時(shí)函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?a,+∞）,由題得2a＜1，即a＜，即a＜0.當(dāng)a＞0時(shí)，y=的值域?yàn)椋?a,+∞）,y=的值域?yàn)閇-a+2,a+2],當(dāng)a≥時(shí)，-a+2≤2a,由題得.當(dāng)0＜a＜時(shí)，-a+2＞2a，由題得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.綜合得a的范圍為a＜或1≤a≤2，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.2、D【解題分析】

首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，將1代入，求出f′（1）的值，化簡(jiǎn)f′（x），最后將x＝3代入即可．【題目詳解】因?yàn)閒′（x）＝1x+1f′（1），令x＝1，可得f′（1）＝1+1f′（1），∴f′（1）＝﹣1，∴f′（x）＝1x+1f′（1）＝1x﹣4，當(dāng)x＝3，f′（3）＝1．故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求出f′（1）是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

對(duì)給出的四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析、討論后可得結(jié)果．【題目詳解】對(duì)于A，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以不滿足題意．對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不滿足題意．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意．對(duì)于D，函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意．故選D．【題目點(diǎn)撥】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；(5)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．4、A【解題分析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性，即可求得，從而求出即可.詳解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是，，而與關(guān)于對(duì)稱，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性得：，故.故選：A.點(diǎn)睛：解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.5、C【解題分析】

求導(dǎo)，把分別代入導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)，得到斜率和切點(diǎn)，再計(jì)算切線方程.【題目詳解】將代入導(dǎo)函數(shù)方程，得到將代入曲線方程，得到切點(diǎn)為：切線方程為：故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了曲線的切線，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、B【解題分析】由題設(shè)可得，即，解之得，即；結(jié)合圖形可得，即，應(yīng)選答案B。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是建構(gòu)不等式（組），求解時(shí)先依據(jù)題設(shè)條件，將點(diǎn)代入橢圓方程得到，即，解之得，從而求得，然后再借助與橢圓的幾何性質(zhì)，建立了不等式，進(jìn)而使得問(wèn)題獲解。7、D【解題分析】試題分析：，，所以?？键c(diǎn)：1.函數(shù)的定義域；2.集合的運(yùn)算。8、D【解題分析】分析：利用定積分的幾何意義求出陰影部分的面積，由幾何概型的概率公式，即可得結(jié)果.詳解：陰影部分的面積是，矩形的面積是，點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查定積分的幾何意義以及幾何概型概率公式，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和，其中在軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù),所以在用定積分求曲邊形面積時(shí)，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù)；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來(lái)求解.9、B【解題分析】

證明與平面所成角為，再利用邊的關(guān)系得到正弦值.【題目詳解】如圖所示：連接與交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作與平面所成角等于與平面所成角正方體平面平面與平面所成角為設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1在中故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面夾角，判斷與平面所成角為是解得的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.10、B【解題分析】

甲乙兩人捆綁一起作為一個(gè)人與其他2人全排列，內(nèi)部2人全排列．【題目詳解】因?yàn)榧滓覂扇吮仨毾噜?，看成一個(gè)整體，所以甲乙兩人必須相鄰的排法有種，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列問(wèn)題，相鄰問(wèn)題用捆綁法求解．11、B【解題分析】

利用不等式性質(zhì)判斷或者舉反例即可.【題目詳解】對(duì)A,當(dāng)時(shí)不滿足對(duì)B,因?yàn)閯t成立.故B正確.對(duì)C,當(dāng)時(shí)不滿足,故不成立.對(duì)D,當(dāng)時(shí)不滿足,故不成立.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了不等式的性質(zhì)運(yùn)用等,屬于基礎(chǔ)題型.12、B【解題分析】

根據(jù)已知條件,求出正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為,根據(jù)對(duì)稱性可求出的值,進(jìn)而可求【題目詳解】解:測(cè)量結(jié)果與服從正態(tài)分布正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布中概率問(wèn)題的求解.在解此類問(wèn)題時(shí),結(jié)合正態(tài)分布曲線圖像進(jìn)行求解,其關(guān)鍵是找到曲線的對(duì)稱軸.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（﹣∞，0]．【解題分析】

令，得到，再對(duì)求導(dǎo)，然后得到，令，得到，再得到，然后對(duì)，利用參變分離，得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，從而得到的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)樗粤畹?，即，而令得，即所以則整理得設(shè)，則令，則所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以所以的范圍為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬中檔題．14、【解題分析】

求解出雙曲線漸近線和拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)，利用三角形面積構(gòu)造方程可求得，利用雙曲線的關(guān)系和即可求得離心率.【題目詳解】由雙曲線方程可得漸近線方程為：由拋物線方程可得準(zhǔn)線方程為：可解得漸近線和準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，解得：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線離心率的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用三角形面積構(gòu)造方程，得到之間關(guān)系，進(jìn)而得到之間的關(guān)系.15、【解題分析】

利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，求得的值.【題目詳解】由條件知,故.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正態(tài)分布在指定區(qū)間的概率，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

集合A中所有元素被選取了次，可得集合中所有3個(gè)元素的子集的元素和為即可得結(jié)果.【題目詳解】集合中所有元素被選取了次，∴集合中所有3個(gè)元素的子集的元素和為，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的子集、正整數(shù)平方和計(jì)算公式，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）（Ⅱ）是可靠的，詳見(jiàn)解析【解題分析】

（I）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用公式求得的值，即可求得回歸直線的方程.（Ⅱ）由（I）中的回歸直線的方程，分別代入和進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)論.【題目詳解】（I）由表中的數(shù)據(jù)，可得（10+9+9.5+10.5+11）＝10，（78+76+77+79+80）＝78，又由5，2.5，則，78﹣2×10＝1．所以y關(guān)于x的線性回歸方程為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，滿足|74﹣73|＝1＜2，當(dāng)時(shí)，，滿足|75﹣75|＝0＜2，所以是可靠的．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及回歸分析的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，利用公式準(zhǔn)確求解回歸直線方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）2.【解題分析】

（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理實(shí)現(xiàn)角邊轉(zhuǎn)化，然后利用余弦定理，求出角的大??；（Ⅱ）方法1：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；方法2：利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，利用兩角和的正弦公式和輔助角公式，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性，可求出的最大值；【題目詳解】（I）由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理得：，又在中，，所?（II）方法1：由（I）及，得，即，因?yàn)?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以.則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故的最大值為2.方法2：由正弦定理得，，則，因?yàn)?，所以，故的最大值?（當(dāng)時(shí)）.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查了二角和的正弦公式及輔助角公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、（1）（2）【解題分析】

(1)由極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化公式求得；(2)利用直線參數(shù)方程中的幾何意義求解.【題目詳解】解，（1）∵圓的極坐標(biāo)方程為∴（*）又∵，∴代入（*）即得圓的直角坐標(biāo)方程為（2）直線1的參數(shù)方程可化為代入圓c的直角坐標(biāo)方程，得，∴∴【題目點(diǎn)撥】本題考查平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)的互化，以及直線的參數(shù)方程中的的幾何意義，屬于中檔題.20、(1)(2)2【解題分析】

運(yùn)用不等式性質(zhì)求出最小值根據(jù)不等式求最大值【題目詳解】（1）∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）∴（2）∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)），∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）∴的最大值為2.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)絕對(duì)值的應(yīng)用求出不等式的解集，運(yùn)用不等式性質(zhì)求解是本題關(guān)鍵，注意題目中的轉(zhuǎn)化。21、(Ⅰ)，可變成本”約為元；(Ⅱ)利潤(rùn)的期望值為元【解題分析】

（Ⅰ）將關(guān)于之間對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式求出與，可得出回歸直線方程，再將代入回歸直線方程可得出“可變成本”的值；（Ⅱ）根據(jù)利潤(rùn)公式分別算出當(dāng)銷量分別為瓶、瓶、瓶、瓶時(shí)的利潤(rùn)和頻率，列出利潤(rùn)隨機(jī)變量的分布列