2024屆山西省太原市四十八中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆山西省太原市四十八中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A．（0，2） B．（2，0） C．（0，4） D．（4，0）2．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為A． B． C． D．3．已知雙曲線方程為，它的一條漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被13整除”的第二步中，當(dāng)時(shí)為了使用歸納假設(shè)，對(duì)變形正確的是（）A． B．C． D．5．設(shè)函數(shù)，則“”是“有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．已知函數(shù)，若方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A． B． C． D．8．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．9．函數(shù)的部分圖象可能是（）A． B．C． D．10．把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（）.A． B．C． D．11．設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[A，B]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），則當(dāng)A＜x＜B時(shí)，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）12．已知集合,,則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量，若，則__________.14．設(shè)函數(shù)，.若，且的最小值為-1，則實(shí)數(shù)的值為__________．15．已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若，則_________.16．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18．（12分）設(shè)集合，其中.（1）寫出集合中的所有元素；（2）設(shè)，證明“”的充要條件是“”（3）設(shè)集合，設(shè)，使得，且，試判斷“”是“”的什么條件并說明理由.19．（12分）現(xiàn)在很多人喜歡自助游,2017年孝感楊店桃花節(jié)，美麗的桃花風(fēng)景和人文景觀迎來眾多賓客.某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解“自助游”是否與性別有關(guān)，在孝感桃花節(jié)期間，隨機(jī)抽取了人，得如下所示的列聯(lián)表：贊成“自助游”不贊成“自助游”合計(jì)男性女性合計(jì)（1）若在這人中，按性別分層抽取一個(gè)容量為的樣本，女性應(yīng)抽人，請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并據(jù)此資料能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過前提下，認(rèn)為贊成“自助游”是與性別有關(guān)系？（2）若以抽取樣本的頻率為概率，從旅游節(jié)大量游客中隨機(jī)抽取人贈(zèng)送精美紀(jì)念品，記這人中贊成“自助游”人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:20．（12分）已知．（1）證明：；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）假設(shè)某士兵遠(yuǎn)程射擊一個(gè)易爆目標(biāo)，射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，三次射中目標(biāo)或連續(xù)兩次射中目標(biāo)，該目標(biāo)爆炸，停止射擊，否則就一直獨(dú)立地射擊至子彈用完．現(xiàn)有5發(fā)子彈，設(shè)耗用子彈數(shù)為隨機(jī)變量X．（1）若該士兵射擊兩次，求至少射中一次目標(biāo)的概率；（2）求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望E(X)．22．（10分）為了解國(guó)產(chǎn)奶粉的知名度和消費(fèi)者的信任度，某調(diào)查小組特別調(diào)查記錄了某大型連鎖超市年與年這兩年銷售量前名的五個(gè)奶粉的銷量（單位：罐），繪制出如下的管狀圖：（1）根據(jù)給出的這兩年銷量的管狀圖，對(duì)該超市這兩年品牌奶粉銷量的前五強(qiáng)進(jìn)行排名（由高到低，不用說明理由）；（2）已知該超市年奶粉的銷量為（單位：罐），以，，這年銷量得出銷量關(guān)于年份的線性回歸方程為（，，年對(duì)應(yīng)的年份分別?。?，求此線性回歸方程并據(jù)此預(yù)測(cè)年該超市奶粉的銷量.相關(guān)公式：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求得，從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)．【題目詳解】由題意，，∴焦點(diǎn)在軸正方向上，坐標(biāo)為．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．解題時(shí)要掌握拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式．2、A【解題分析】分析：可從事件的反面考慮，即事件A不發(fā)生的概率為，由此可易得結(jié)論．詳解：設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為，則，解得．故選A．點(diǎn)睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率時(shí)，通常從事件的反而入手可能較簡(jiǎn)單，如本題中“至少發(fā)生1次”的反面為“一次都不發(fā)生”，若本題求“至多發(fā)生3次”的概率，其反面是“至少發(fā)生4次”即“全發(fā)生”．3、A【解題分析】方法一：雙曲線的漸近線方程為，則，圓的方程，圓心為，所以，化簡(jiǎn)可得，則離心率.方法二：因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，則有平行線的對(duì)應(yīng)成比例可得知，即則離心率為.選A.4、A【解題分析】試題分析：假設(shè)當(dāng)，能被13整除，當(dāng)應(yīng)化成形式，所以答案為A考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法5、B【解題分析】分析：利用函數(shù)的奇偶性將有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得，從而可得結(jié)果.詳解：是偶函數(shù)，有四個(gè)不同根，等價(jià)于時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，，時(shí)，恒成立，遞增，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，時(shí)，令，得在上遞增；令，得在上遞減，時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，，，得，等價(jià)于有四個(gè)零點(diǎn)，“”是“有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”的必要不充分條件，故選B.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，所以中檔題.函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點(diǎn)問題是高考的高頻考點(diǎn)，考生需要對(duì)初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對(duì)稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn).6、C【解題分析】當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，無解，不符合題意，故排除兩個(gè)選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，畫圖函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，或，解得不符合題意，故排除選項(xiàng)，選.點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查復(fù)合函數(shù)的研究方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查零點(diǎn)問題題.題目所給的分段函數(shù)當(dāng)時(shí)，圖像是確定的，當(dāng)時(shí)，圖像是含有參數(shù)的，所以要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.在分類討論的過程中，圍繞的解的個(gè)數(shù)來進(jìn)行.7、D【解題分析】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.點(diǎn)睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.8、C【解題分析】f′(x)＝，則f′(1)＝1，故函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，－2)處的切線方程為y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故選C9、B【解題分析】∵，∴，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，又，∴函?shù)為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可排除、．又∵當(dāng)時(shí)，，可排除．綜上，故選．點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問題的常見題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．(2)由實(shí)際情景探究函數(shù)圖象．關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題求解，要注意實(shí)際問題中的定義域問題．10、A【解題分析】

先根據(jù)左加右減的性質(zhì)進(jìn)行平移，再根據(jù)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍時(shí)的值變?yōu)樵瓉淼谋叮玫酱鸢福绢}目詳解】解：向左平移個(gè)單位，即以代，得到函數(shù)，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，即以代，得到函數(shù)：．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的變換，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】試題分析：設(shè)F（x）=f（x）-g（x），∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），F(xiàn)′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，∴F（x）在給定的區(qū)間[A，B]上是減函數(shù)．∴當(dāng)x＞A時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（A），即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性12、D【解題分析】分析：先化簡(jiǎn)集合P,Q，再求.詳解：由題得，，所以.故答案為：D.點(diǎn)睛：本題主要考查集合的化簡(jiǎn)與交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】

由向量平行關(guān)系求出，利用向量模的公式即可得到答案．【題目詳解】因?yàn)椋?，解得，則，故．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量平行以及向量模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．14、2【解題分析】分析：先表示函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，最后根據(jù)的最小值為-1得實(shí)數(shù)的值.詳解：因?yàn)?，設(shè)，則所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)睛：兩函數(shù)關(guān)系問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式或方程，從而求出參數(shù)的取值范圍或值.15、3【解題分析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)的周期性，得出函數(shù)的周期，然后利用函數(shù)的周期和的值，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足條件，則，即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又由，令，則，即，所以．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)的周期性的判定和函數(shù)值的求解，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件求得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、2【解題分析】

直接利用余弦定理得到答案.【題目詳解】，，（舍去）故答案為2【題目點(diǎn)撥】本題考查了余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1），減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間是，沒有減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1）和，減區(qū)間是.【解題分析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫出切線方程的點(diǎn)斜式方程，整理化簡(jiǎn)即可；（2）求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)對(duì)導(dǎo)數(shù)正負(fù)的影響對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，求得對(duì)應(yīng)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.【題目詳解】（1）若，，導(dǎo)函數(shù)為.依題意，有，則切線方程為，即.（2），①當(dāng)時(shí)，，由，得，則函數(shù)的增區(qū)間是（0,1），減區(qū)間是；②當(dāng)時(shí)，由，得，再討論兩根的大小關(guān)系；⒈當(dāng)時(shí)，，由，得或者，則函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；⒉當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的增區(qū)間是，沒有減區(qū)間；⒊當(dāng)時(shí)，，由，得或者，則函數(shù)的增區(qū)間是（0,1）和，減區(qū)間是；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1），減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間是，沒有減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1）和，減區(qū)間是.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，屬導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)題.18、（1），，，；（2）證明見解析；（3）充要條件.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，直接列出即可（2）利用的和的符號(hào)和最高次的相同，利用排除法可以證明。（3）利用（2）的結(jié)論完成（3）即可。【題目詳解】（1）中的元素有，，，。（2）充分性：當(dāng)時(shí)，顯然成立。必要性：若=1，則若=，則若的值有個(gè)1，和個(gè)。不妨設(shè)2的次數(shù)最高次為次，其系數(shù)為1，則，說明只要最高次的系數(shù)是正的，整個(gè)式子就是正的，同理，只要最高次的系數(shù)是負(fù)的，整個(gè)式子就是負(fù)的，說明最高次的系數(shù)只能是0，就是說，即綜上“”的充要條件是“”（3）等價(jià)于等價(jià)于由（2）得“=”的充要條件是“”即“=”是“”的充要條件【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19、(1)贊成“自助游”不贊成“自助游”合計(jì)男性女性合計(jì)在犯錯(cuò)誤的概率不超過前提下，不能認(rèn)為贊成“自助游”與性別有關(guān)系.（2）的分布列為：期望.【解題分析】試題分析：(1)根據(jù)分層抽樣比為，可知女性共55人，從而可以知難行45人，即可填表，計(jì)算卡方，得出結(jié)論；（2）由題意知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，從而利用公式計(jì)算分布列和期望．試題解析：(1)贊成“自助游”不贊成“自助游”合計(jì)男性女性合計(jì)將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入計(jì)算，得的觀測(cè)值：，在犯錯(cuò)誤的概率不超過前提下，不能認(rèn)為贊成“自助游”與性別有關(guān)系．(2)的所有可能取值為：,依題意，的分布列為：20、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】

(1)根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得到;(2)，則，故，分情況去掉絕對(duì)值解出不等式即可.【題目詳解】（1）證明：．（2）解：若，則，故∴或，解得：．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了含有絕對(duì)值的不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，以及函數(shù)的最值問題；一般對(duì)于解含有多個(gè)絕對(duì)值的不等式，根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間