2016年山東省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)試卷及解析

2016年山東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，每小題給出四個選項，只有一個選項符合題目要求.1．（5分）（2016?山東）若復(fù)數(shù)z滿足2z+=3﹣2i，其中i為虛數(shù)單位，則z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）（2016?山東）設(shè)集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，則A∪B=（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）3．（5分）（2016?山東）某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是（）A．56 B．60 C．120 D．1404．（5分）（2016?山東）若變量x，y滿足，則x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．125．（5分）（2016?山東）一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為（）A．+π B．+π C．+π D．1+π6．（5分）（2016?山東）已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)．則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（5分）（2016?山東）函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A． B．π C． D．2π8．（5分）（2016?山東）已知非零向量，滿足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），則實數(shù)t的值為（）A．4 B．﹣4 C． D．﹣9．（5分）（2016?山東）已知函數(shù)f（x）的定義域為R．當(dāng)x＜0時，f（x）=x3﹣1；當(dāng)﹣1≤x≤1時，f（﹣x）=﹣f（x）；當(dāng)x＞時，f（x+）=f（x﹣）．則f（6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．210．（5分）（2016?山東）若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y=f（x）具有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11．（5分）（2016?山東）執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a，b的值分別為0和9，則輸出的i的值為．12．（5分）（2016?山東）若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是﹣80，則實數(shù)a=．13．（5分）（2016?山東）已知雙曲線E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是．14．（5分）（2016?山東）在[﹣1，1]上隨機(jī)地取一個數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓（x﹣5）2+y2=9相交”發(fā)生的概率為．15．（5分）（2016?山東）已知函數(shù)f（x）=，其中m＞0，若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是．三、解答題,：本大題共6小題，共75分.16．（12分）（2016?山東）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）證明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．17．（12分）（2016?山東）在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線．（I）已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點，求證：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．18．（12分）（2016?山東）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）令cn=，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．19．（12分）（2016?山東）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：（I）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（II）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．20．（13分）（2016?山東）已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）討論f（x）的單調(diào)性；（II）當(dāng)a=1時，證明f（x）＞f′（x）+對于任意的x∈[1，2]成立．21．（14分）（2016?山東）平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率是，拋物線E：x2=2y的焦點F是C的一個頂點．（I）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交與不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M．（i）求證：點M在定直線上；（ii）直線l與y軸交于點G，記△PFG的面積為S1，△PDM的面積為S2，求的最大值及取得最大值時點P的坐標(biāo)．2016年山東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，每小題給出四個選項，只有一個選項符合題目要求.1．（5分）（2016?山東）若復(fù)數(shù)z滿足2z+=3﹣2i，其中i為虛數(shù)單位，則z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】計算題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z，通過復(fù)數(shù)方程求解即可．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足2z+=3﹣2i，設(shè)z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故選：B．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，考查計算能力．2．（5分）（2016?山東）設(shè)集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，則A∪B=（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）【考點】并集及其運(yùn)算．【專題】計算題；集合思想；數(shù)學(xué)模型法；集合．【分析】求解指數(shù)函數(shù)的值域化簡A，求解一元二次不等式化簡B，再由并集運(yùn)算得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故選：C．【點評】本題考查并集及其運(yùn)算，考查了指數(shù)函數(shù)的值域，考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題．3．（5分）（2016?山東）某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是（）A．56 B．60 C．120 D．140【考點】頻率分布直方圖．【專題】計算題；圖表型；概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)已知中的頻率分布直方圖，先計算出自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率，進(jìn)而可得自習(xí)時間不少于22.5小時的頻數(shù)．【解答】解：自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為：0.7×200=140，故選：D【點評】本題考查的知識點是頻率分布直方圖，難度不大，屬于基礎(chǔ)題目．4．（5分）（2016?山東）若變量x，y滿足，則x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】計算題；對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式．【分析】由約束條件作出可行域，然后結(jié)合x2+y2的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與原點距離的平方求得x2+y2的最大值．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，聯(lián)立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故選：C．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．5．（5分）（2016?山東）一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為（）A．+π B．+π C．+π D．1+π【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個半球，下部是一個四棱錐，進(jìn)而可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個半球，下部是一個四棱錐，半球的直徑為棱錐的底面對角線，由棱錐的底底面棱長為1，可得2R=．故R=，故半球的體積為：=π，棱錐的底面面積為：1，高為1，故棱錐的體積V=，故組合體的體積為：+π，故選：C【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．6．（5分）（2016?山東）已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)．則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】探究型；空間位置關(guān)系與距離；簡易邏輯．【分析】根據(jù)空間直線與直線，平面與平面位置關(guān)系的幾何特征，結(jié)合充要條件的定義，可得答案．【解答】解：當(dāng)“直線a和直線b相交”時，“平面α和平面β相交”成立，當(dāng)“平面α和平面β相交”時，“直線a和直線b相交”不一定成立，故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件，故選：A【點評】本題考查的知識點是充要條件，空間直線與平面的位置關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）（2016?山東）函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A． B．π C． D．2π【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】利用和差角及二倍角公式，化簡函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得函數(shù)的周期．【解答】解：數(shù)f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）?2cos（x+）=2sin（2x+），∴T=π，故選：B【點評】本題考查的知識點是和差角及二倍角公式，三角函數(shù)的周期，難度中檔．8．（5分）（2016?山東）已知非零向量，滿足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），則實數(shù)t的值為（）A．4 B．﹣4 C． D．﹣【考點】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用．【分析】若⊥（t+），則?（t+）=0，進(jìn)而可得實數(shù)t的值．【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴?（t+）=t?+2=t||?||?+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故選：B．【點評】本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）（2016?山東）已知函數(shù)f（x）的定義域為R．當(dāng)x＜0時，f（x）=x3﹣1；當(dāng)﹣1≤x≤1時，f（﹣x）=﹣f（x）；當(dāng)x＞時，f（x+）=f（x﹣）．則f（6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】求得函數(shù)的周期為1，再利用當(dāng)﹣1≤x≤1時，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），當(dāng)x＜0時，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵當(dāng)x＞時，f（x+）=f（x﹣），∴當(dāng)x＞時，f（x+1）=f（x），即周期為1．∴f（6）=f（1），∵當(dāng)﹣1≤x≤1時，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵當(dāng)x＜0時，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)值的計算，考查函數(shù)的周期性，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．10．（5分）（2016?山東）若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y=f（x）具有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點，使這點的導(dǎo)函數(shù)值乘積為﹣1，進(jìn)而可得答案．【解答】解：函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點，使這點的導(dǎo)函數(shù)值乘積為﹣1，當(dāng)y=sinx時，y′=cosx，滿足條件；當(dāng)y=lnx時，y′=＞0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y=ex時，y′=ex＞0恒成立，不滿足條件；當(dāng)y=x3時，y′=3x2＞0恒成立，不滿足條件；故選：A【點評】本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11．（5分）（2016?山東）執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a，b的值分別為0和9，則輸出的i的值為3．【考點】程序框圖．【專題】計算題；操作型；算法和程序框圖．【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量i的值，模擬程序的運(yùn)行過程，可得答案．【解答】解：∵輸入的a，b的值分別為0和9，i=1．第一次執(zhí)行循環(huán)體后：a=1，b=8，不滿足條件a＜b，故i=2；第二次執(zhí)行循環(huán)體后：a=3，b=6，不滿足條件a＜b，故i=3；第三次執(zhí)行循環(huán)體后：a=6，b=3，滿足條件a＜b，故輸出的i值為：3，故答案為：3【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時，可采用模擬程序法進(jìn)行解答．12．（5分）（2016?山東）若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是﹣80，則實數(shù)a=﹣2．【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】二項式定理．【分析】利用二項展開式的通項公式Tr+1=（ax2）5﹣r，化簡可得求的x5的系數(shù)．【解答】解：（ax2+）5的展開式的通項公式Tr+1=（ax2）5﹣r=a5﹣r，令10﹣=5，解得r=2．∵（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是﹣80∴a3=﹣80，得a=﹣2．【點評】考查了利用二項式定理的性質(zhì)求二項式展開式的系數(shù)，屬常規(guī)題型．13．（5分）（2016?山東）已知雙曲線E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是2．【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】方程思想；分析法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】可令x=c，代入雙曲線的方程，求得y=±，再由題意設(shè)出A，B，C，D的坐標(biāo)，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，運(yùn)用離心率公式計算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b=±，由題意可設(shè)A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2?=3?2c，即為2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（負(fù)的舍去）．故答案為：2．【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用方程的思想，正確設(shè)出A，B，C，D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（5分）（2016?山東）在[﹣1，1]上隨機(jī)地取一個數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓（x﹣5）2+y2=9相交”發(fā)生的概率為．【考點】幾何概型．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】利用圓心到直線的距離小于半徑可得到直線與圓相交，可求出滿足條件的k，最后根據(jù)幾何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圓（x﹣5）2+y2=9的圓心為（5，0），半徑為3．圓心到直線y=kx的距離為，要使直線y=kx與圓（x﹣5）2+y2=9相交，則＜3，解得﹣＜k＜．∴在區(qū)間[﹣1，1]上隨機(jī)取一個數(shù)k，使直線y=kx與圓（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率為=．故答案為：．【點評】本題主要考查了幾何概型的概率，以及直線與圓相交的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵弄清概率類型，同時考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）（2016?山東）已知函數(shù)f（x）=，其中m＞0，若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是（3，+∞）．【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】作出函數(shù)f（x）=的圖象，依題意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．【解答】解：當(dāng)m＞0時，函數(shù)f（x）=的圖象如下：∵x＞m時，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個不同的根，必須4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范圍是（3，+∞），故答案為：（3，+∞）．【點評】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是關(guān)鍵，分析得到4m﹣m2＜m是難點，屬于中檔題．三、解答題,：本大題共6小題，共75分.16．（12分）（2016?山東）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）證明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦定理；余弦定理．【專題】計算題；證明題；綜合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由切化弦公式，帶入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，這樣根據(jù)兩角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，從而根據(jù)正弦定理便可得出a+b=2c；（Ⅱ）根據(jù)a+b=2c，兩邊平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，從而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，這樣由余弦定理便可得出，從而得出cosC的范圍，進(jìn)而便可得出cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）證明：由得：；∴兩邊同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根據(jù)正弦定理，；∴，帶入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值為．【點評】考查切化弦公式，兩角和的正弦公式，三角形的內(nèi)角和為π，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)．17．（12分）（2016?山東）在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O′的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線．（I）已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點，求證：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）取FC中點Q，連結(jié)GQ、QH，推導(dǎo)出平面GQH∥平面ABC，由此能證明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OO′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）取FC中點Q，連結(jié)GQ、QH，∵G、H為EC、FB的中點，∴GQ，QH∥，又∵EFBO，∴GQBO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH?面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OO′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F(xiàn)（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由題意可知面ABC的法向量為=（0，0，3），設(shè)=（x0，y0，z0）為面FCB的法向量，則，即，取x0=1，則=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是銳角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值為．【點評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．18．（12分）（2016?山東）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）令cn=，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）求出數(shù)列{an}的通項公式，再求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）求出數(shù)列{cn}的通項，利用錯位相減法求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，n=1時，a1=S1=11，∴an=6n+5；∵an=bn+bn+1，∴an﹣1=bn﹣1+bn，∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）cn===6（n+1）?2n，∴Tn=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①，∴2Tn=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②，①﹣②可得﹣Tn=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1]=12+6×﹣6（n+1）?2n+1=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2，∴Tn=3n?2n+2．【點評】本題考查數(shù)列的通項與求和，著重考查等差數(shù)列的通項與錯位相減法的運(yùn)用，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（12分）（2016?山東）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：（I）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（II）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．【考點】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計算題；分類討論；分類法；概率與統(tǒng)計．【分析】（I）“星隊”至少猜對3個成語包含“甲猜對1個，乙猜對2個”，“甲猜對2個，乙猜對1個”，“甲猜對2個，乙猜對2個”三個基本事件，進(jìn)而可得答案；（II）由已知可得：“星隊”兩輪得分之和為X可能為：0，1，2，3，4，6，進(jìn)而得到X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（I）“星隊”至少猜對3個成語包含“甲猜對1個，乙猜對2個”，“甲猜對2個，乙猜對1個”，“甲猜對2個，乙猜對2個”三個基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星隊”兩輪得分之和為X可能為：0，1，2，3，4，6，則P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下圖所示：X012346P∴數(shù)學(xué)期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==【點評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬中檔題．20．（13分）（2016?山東）已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）討論f（x）的單調(diào)性；（II）當(dāng)a=1時，證明f（x）＞f′（x）+對于任意的x∈[1，2]成立．【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類分析導(dǎo)函數(shù)的符號，由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．則F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用導(dǎo)數(shù)分別求g（x）與h（x）的最小值得到F（x）＞恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+對于任意的x∈[1，2]成立．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，得f′（x）=a（1﹣）+==（x＞0）．若a≤0，則ax2﹣2＜0恒成立，∴當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)a＞0，若0＜a＜2，當(dāng)x∈（0，1）和（，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；若a＞2，當(dāng)x∈（0，）和（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；（Ⅱ）解：∵a=1，令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+．令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．則F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號；又，設(shè)φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，則φ（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）時φ（x0）＞0，x∈（x0，2）時，φ（x0）＜0，∴函數(shù)φ（x）在（1，x0）上單調(diào)遞增；在（x0，2）上單調(diào)遞減，由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，當(dāng)且僅當(dāng)x=2取等號，∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+對于任意的x∈[1，2]成立．【點評】本題