高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性課件4-2-2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第一課時(shí)）

4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第一課時(shí)）創(chuàng)設(shè)情景古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)。他們研究過(guò)三角形數(shù)1，3，6，10，15，…，如圖所示，這個(gè)圖案中有n層。如果圖中的石子有100層，那么第1層到第100層一共用了多少粒石子？即求1＋2＋3＋…＋100=？這就是歷史上著名的“高斯的算法”，也就是首尾配對(duì)法，通過(guò)過(guò)配對(duì)湊成相同數(shù)，變“多步求和”為“一步相乘”！

高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列

1，2，3，…，n,…①前100項(xiàng)和的問(wèn)題。如果圖中的石子有101層，那么第1層到第101層一共用了多少粒石子？追問(wèn)1:新知探究即求1＋2＋3＋…＋100+101=？你能用“高斯算法”求和嗎？

這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的和的問(wèn)題，若簡(jiǎn)單地模仿“高斯算法”，將會(huì)出現(xiàn)不能全部配對(duì)的問(wèn)題，會(huì)多出一項(xiàng)或者說(shuō)少了一項(xiàng)，這就是高斯算法的不足之處，在求和問(wèn)題中需要進(jìn)行奇偶數(shù)項(xiàng)的討論.（1）n為偶數(shù)時(shí)：

（2）n為奇數(shù)時(shí)：

記=？將上述方法推廣到一般，可以得到：（可拿出中間項(xiàng)或末項(xiàng)，用“高斯算法”入手探求）追問(wèn)2:是否一定要分類(lèi)討論？能否設(shè)法避開(kāi)分類(lèi)討論實(shí)現(xiàn)配對(duì)，將不同數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和？問(wèn)題1:同學(xué)們，是否還記得小學(xué)時(shí)，梯形面積公式是什么推導(dǎo)的？先將兩個(gè)相同的梯形拼成一個(gè)平行四邊形，設(shè)梯形上底長(zhǎng)a，下底長(zhǎng)為b，高為h，則平行四邊形的底長(zhǎng)為（a+b），高為h，用平行四邊形推導(dǎo)梯形面積。倒置平移abhababh1.為什么要倒置一個(gè)全等的梯形？2.梯形面積公式的推導(dǎo)體現(xiàn)了什么研究策略？補(bǔ)成平行四邊形將不規(guī)則的或不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的或熟悉的圖形問(wèn)題2：如圖案中，石子堆有n層，那么第1層到第n層一共有多少粒石子？

啟發(fā)能否借助這樣的策略研究下面的石子堆問(wèn)題？倒置平移讓它自己和自己配對(duì)將首尾配對(duì)從和式內(nèi)部跨越到和式外部進(jìn)行所以，要求

Sn=1＋2＋3＋…＋n，我們可以把和倒過(guò)再寫(xiě)一個(gè)式子，Sn=n+(n-1)+(n-2)+…＋2＋1，將首尾配對(duì)從和式內(nèi)部跨越到和式外部進(jìn)行，將兩個(gè)和式配對(duì)就可以避免分類(lèi)討論的麻煩.分析：這其實(shí)是求一個(gè)具體的等差數(shù)列前n項(xiàng)和.問(wèn)題3：由上述方法得到啟示，用倒序相加法求.如何才能將等式的右邊化簡(jiǎn)？公式變形

如何根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)記憶公式呢？含a1和an含a1和d

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共有“a1，d，n，an，Sn”五個(gè)量，故知三可求其二．結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前n

項(xiàng)和公式(等腰梯形的面積=平行四邊形面積+三角形面積)公式記憶等差數(shù)列前n

項(xiàng)和公式選用公式變用公式知三求二(1)(2)不從公式(1)出發(fā)，你能用其他方法得到公式(2)嗎？

公式應(yīng)用選用公式變用公式知三求二例1

整理,得

解得n=12或n=-5（舍去）所以n=12選用公式變用公式知三求二例1鞏固練習(xí)例2已知一個(gè)等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎？解：由題意知：S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式得到還有其它方法嗎？方程思想例題講解例2已知一個(gè)等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎？一題多解例2變式、已知一個(gè)等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前30項(xiàng)和嗎？由例2，可知【解】例2變式、已知一個(gè)等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前30項(xiàng)和嗎？【另解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可推得：

成等差數(shù)列

解得前30項(xiàng)的和為2730.說(shuō)明：1.上述方法沒(méi)有列出方程求出具體的個(gè)別量，而是恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)中的整體思想來(lái)快速求出，要注意體會(huì)這種思想在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用.2.等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列變式提高整體思想一般地，在等差數(shù)列{an}中，有S2n－1＝(2n－1)an.解析在等差數(shù)列中，S6，S12－S6，S18－S12成等差數(shù)列，∵S6＝1，S12＝4，∴1，3，S18－4成公差為2的等差數(shù)列，即S18－4＝5，∴S18＝9.1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S6＝1，S12＝4，則S18＝________.鞏固練習(xí)解析由題知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d

＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，2.(多選)(2022·淄博調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí)，a2＋a8＋a11是一個(gè)