4.3一元二次不等式的應用教案-高一上學期數(shù)學北師大版

4.3一元二次不等式的應用教學目標教學目標利用一元二次不等式結合二次函數(shù)解決實際應用問題．教學重難點教學重難點教學重點：實際問題中的一元二次不等式解法．教學難點：從實際問題所蘊含的不等關系中抽象出一元二次不等式．課前準備課前準備PPT課件教學過程教學過程一、知識回顧問題1：二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式解集的對應關系是怎樣的？請你完成下面的表格.師生活動：學生默寫，完成之后教師展示，學生互相檢查糾錯.預設的答案：Δ＞0Δ＝0Δ＜0的圖象的根有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根的解集的解集教師講解：（1）函數(shù)的角度：一元二次不等式表示二次函數(shù)的函數(shù)值大于0，圖象在軸的上方；一元二次不等式的解集即二次函數(shù)圖象在軸上方部分的自變量的取值范圍.（2）方程的角度：一元二次不等式的解集的端點值是一元二次方程的根.設計意圖：復習舊知識，并通過默寫的形式讓師生都了解是否掌握了，為本節(jié)課的學習掃清知識障礙.問題2：求解一元二次不等式的步驟是怎樣的？師生活動：學生寫出步驟，教師用如下的程序框圖呈現(xiàn).預設的答案：設計意圖：本節(jié)課重點依然是一元二次不等式的解法，學生需要借助三個“二次”的聯(lián)系，獲得一元二次不等式的一般性解法，從整體上把握所學內(nèi)容，讓學生明確不等式解法，有助于學生良好認知結構的建立和完善，并為后面知識的學習提供幫助.二、新知探究例1：某農(nóng)家院有客房20間，日常每間客房日租金為80元，每天都客滿，該農(nóng)家院欲提高檔次，并提高租金，經(jīng)市場調(diào)研，每間客房日租金每增加10元，客房出租數(shù)就會減少1間.，每間客房日租金不得超過130元，要使每天客房的租金總收入不低于1800元，該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間有多大？問題3：這個實際問題中蘊含的不等關系是什么？求解不等式的步驟是什么？師生活動：學生分析題目，得出一元二次不等式，并求解，完成之后展示交流，師生點評修改，教師給出解答示范.預設的答案：（1）設每間客房日租金提高個10元；（2）列出關于未知數(shù)的不等式；（3）解不等式，確定的范圍；（4）考慮到所以x只能取整數(shù)，即當每間客房日租金提高20元，30元，......，50元時，每天客房的租金總收入不低于1800元.解答：設每間客房日租金提高x個10元，即每間客房日租金提高到(80+10x)元，則客房出租數(shù)減少x間，此時客房的租金總收入為元.又因為每天客房的租金總收入不低于1800元，所以化簡，得 解得 .所以 .由題意可知：每間客房日租金不得超過130元，即，所以.因此，該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間是20元，30元，40元，50元.設計意圖：對實際問題深入分析，確定不等關系，解不等式，感受到由“形”到“數(shù)”的轉換過程．通過問題體會二次函數(shù)與一元二次不等式、一元二次方程的關系，體會用一元二次不等式解決實際問題的意義，掌握利用一元二次不等式解決實際問題的基本步驟.例2：為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺了相關政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔.袁陽按照相關政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月的銷售量單位：件)與銷售單價(單位：元)之間的關系近似滿足一次函數(shù)：.設袁陽每月獲得的利潤為(單位：元)，寫出每月獲得的利潤與銷售單價的函數(shù)關系.物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元，如果袁陽想要每月獲得的利潤不小于3000元，那么政府每個月為他承擔的總差價的取值范圍是多少？問題4：該問題中的不等關系是什么？求解不等式的步驟是什么？師生活動：教師給學生充足的時間獨立思考并作答，再做課堂展示，教師巡視，對有困難的同學進行個別指導.預設的答案：（1）列出每月獲得的利潤與銷售單價的關系式；（2）列出關于未知數(shù)的不等式；（3）求解所列出的不等式；（4）考慮到這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元，從而確定答案.解：(1)依題意可知每件的銷售利潤為元，每月的銷售量為件，所以每月獲得的利潤與銷售單價(的函數(shù)關系為(2)由每月獲得的利潤不小于3000元，得.化簡，得 .解得 .又因為這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25．.設政府每個月為他承擔的總差價為元，則.由.得.故政府每個月為他承擔的總差價的取值范圍為.設計意圖：提升學生獨立解決問題的能力，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值.初步應用公園要建造一個圓形噴水池.在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如下左圖所示.為使水流形狀較為漂亮，設計成水流在到OA距離為1米處達到距水平最大高度為2.25米，如果不計其他因素，那么水池半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外?分析

由題意可知，本題可借助拋物線這一數(shù)學模型求解.關鍵是要根據(jù)題設條件求出所需的具體拋物線方程，為此，以O為原點，以OA所在直線為y軸，水面中垂直O(jiān)A的直線為x軸建立直角坐標系，如上右圖所示，則水流所呈現(xiàn)的拋物線方程為由題意，點A的坐標為，把代入方程解得，于是拋物線方程為令，得，解得，(不合題意，舍去)所以水池半徑至少要2.5米，才能使水流不落到池外.師生活動：學生自主完成，小組討論展示.預設的答案：設計意圖：使學生進一步掌握一元二次不等式解決實際問題的基本步驟，并再次體會相關變量所具有的“實際含義”，避免今后做題過程中在此處出錯.需要注意的是問題中的變量所具備的“實際意義”，須結合實際將一元二次不等式的解集轉化成最終問題答案.設計意圖：本節(jié)課由學生所熟悉的現(xiàn)實生活問題或具體情景，抽象出數(shù)學問題，并利用一元二不等式表示出數(shù)量關系，求其結果并討論結果的意義，經(jīng)歷“實際問題—數(shù)學問題—不等式—求出結果并討論實際意義”的模式，經(jīng)歷數(shù)學建模的完整過程，通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學生更加明確如何利用一元二次不等式解決生活中的實際問題，并牢記此類問題的易錯點：忽略變量的實際意義，體會解決實際問題的方法，形成解決實際問題的一般思路.【課堂練習一】1．某種雜志原以每本元的價格銷售，可以售出萬本.根據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價每提高元，銷售量就減少本.設每本雜志的定價為元，要使得提價后的銷售總收入不低于萬元，則應滿足（）A． B． C． D．師生活動：學生獨立完成，學生代表做出解答.預設的答案：A設提價后雜志的定價設為元，則提價后的銷售量為：萬本．因為銷售的總收入不低于萬元．列不等式為：．即，即，故選：A.【課堂練習二】2．商場若將進貨單價為8元的商品按每件10元出售．每天可銷售100件，現(xiàn)準備采用提高售價來增加利潤．已知這種商品每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，銷售價每件可定為（）A．11元 B．16元C．12元到16元之間 D．13元到15元之間預設的答案：C設銷售價定為每件元，利潤為元．則．由題意可得：．即，所以．解得：．所以每件銷售價應定為12元到16元之間，故選：C設計意圖：鞏固一元二次不等式的實際應用.四、歸納小結、布置作業(yè)問題5：利用一元二次不等式解決生活中實際問題要經(jīng)歷哪些步驟？需要注意什么？師生活動：學生總結，教師幫助梳理.預設的答案：利用不等式解決實際問題的一般步驟如下：1.選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；2.由題中給出的不等關系冽出關于未知數(shù)的不等式(組)；3.求解所列出的不等式(組)；4.結合題目的實際意義確定答案.作業(yè)布置：教材第39頁，練習1，2，課本第40頁A組第5題，B組第3題.五、目標檢測設計1．已知關于的不等式．若時，不等式對都成立，求實數(shù)的取值范圍．設計意圖：考查一元二次函數(shù)圖象在一元二次不等式中的應用能力.2．設二次函數(shù)，其中，，.（1）若，，且關于的不等式的解集為，求的取值范圍；（2）若，，，方程有兩個大于1的根，求實數(shù)的取值范圍.設計意圖：考查一元二次不等式恒成立問題.某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本．如何定價才能使提價后的銷售總收入不低于20萬元？4．國家原計劃以2400元/噸的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品噸．按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元（稱作稅率為8個百分點，即8%）．為了減輕農(nóng)民負擔，制定積極的收購政策．根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低個百分點，收購量能增加個百分點．試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%．5．某校園內(nèi)有一塊長為800m，寬為600m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．設計意圖：3，4，5均考查學生利用一元二次不等式解決實際問題的能力．參考答案：1．.令．∵，且不等式對都成立．則，即，解得．又，∴實數(shù)k的取值范圍是.2．（1）；（2）.（1）若，，則．因為．所以的解集為等價于的解集