多元函數(shù)的極限與連續(xù)、偏導數(shù)

多元函數(shù)的極限與連續(xù)、偏導數(shù)匯報人：AA2024-01-24目錄多元函數(shù)基本概念多元函數(shù)極限多元函數(shù)連續(xù)性偏導數(shù)概念與計算多元函數(shù)微分學應用總結與回顧01多元函數(shù)基本概念0102多元函數(shù)定義多元函數(shù)的一般形式為$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自變量，$z$是因變量，$f$是對應法則。多元函數(shù)是指自變量有兩個或兩個以上的函數(shù)，其因變量由一個或多個自變量的變化所決定。解析法用含有兩個或兩個以上自變量的解析式來表示多元函數(shù)的方法。表格法列出多元函數(shù)自變量和因變量的對應數(shù)值表來表示多元函數(shù)的方法。圖示法在平面直角坐標系中，用曲線、曲面或點來表示多元函數(shù)的方法。多元函數(shù)表示方法單調性多元函數(shù)在某個區(qū)間內是否單調增加或減少。有界性多元函數(shù)在其定義域內是否有界。周期性多元函數(shù)是否具有周期性，即是否存在一個正數(shù)$T$，使得對于定義域內的任意$x$和$y$，都有$f(x+T,y)=f(x,y)$?？晌⑿远嘣瘮?shù)在其定義域內是否可微，即是否存在全微分。連續(xù)性多元函數(shù)在其定義域內是否連續(xù)，即當自變量的變化很小時，因變量的變化也很小。多元函數(shù)性質02多元函數(shù)極限設函數(shù)$f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$的某去心鄰域內有定義，若存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)$\epsilon$，總存在正數(shù)$\delta$，使得當點$P(x,y)$滿足$0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$時，都有$|f(x,y)-A|<\epsilon$成立，則稱A為函數(shù)$f(x,y)$當$(x,y)\to(x_0,y0)$時的極限，記作$\lim{{(x,y)}\to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$。多元函數(shù)極限定義多元函數(shù)極限性質有界性若$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$，則存在點$P_0$的某去心鄰域，使得函數(shù)$f(x,y)$在該鄰域內有界。唯一性若$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$且$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=B$，則$A=B$。保號性若$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=A>0$（或$A<0$），則存在點$P_0$的某去心鄰域，使得在該鄰域內恒有$f(x,y)>0$（或$f(x,y)<0$）。直接代入法若函數(shù)在點$P_0(x_0,y_0)$處連續(xù)，則$lim_{{(x,y)}to{(x_0,y_0)}}f(x,y)=f(x_0,y_0)$。消去零因子法通過分子分母同時除以某個零因子，從而消去零因子，簡化計算。利用無窮小性質利用等價無窮小、高階無窮小等性質進行替換和簡化計算。利用極坐標變換在某些情況下，通過極坐標變換可以簡化多元函數(shù)極限的計算。多元函數(shù)極限計算03多元函數(shù)連續(xù)性設函數(shù)$f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$的某一鄰域內有定義，如果$lim_{(x,y)to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，則稱函數(shù)$f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$處連續(xù)。連續(xù)性的定義多元函數(shù)在一點連續(xù)，則該點的函數(shù)值等于該點的極限值；多元函數(shù)在一點連續(xù)，則在該點的某一鄰域內函數(shù)有界；多元函數(shù)在一點連續(xù)，則在該點的某一鄰域內函數(shù)可積。連續(xù)性的性質連續(xù)概念及性質連續(xù)條件對于二元函數(shù)$f(x,y)$，若其在點$P_0(x_0,y_0)$處連續(xù)，需要滿足$lim_{Deltaxto0}lim_{Deltayto0}f(x_0+Deltax,y_0+Deltay)=f(x_0,y_0)$。判斷方法通過計算函數(shù)在某一點處的極限值，并與該點的函數(shù)值進行比較，若相等則函數(shù)在該點連續(xù)；或者通過證明函數(shù)在某一點處的偏導數(shù)存在且連續(xù)，從而證明函數(shù)在該點連續(xù)。連續(xù)條件與判斷方法四則運算規(guī)則若多元函數(shù)$u(x,y)$和$v(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$處連續(xù)，則它們的和、差、積、商（分母不為零）在點$P_0(x_0,y_0)$處也連續(xù)。復合運算規(guī)則若多元函數(shù)$u(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$處連續(xù)，且另一元函數(shù)$varphi(t)$在$u(x_0,y_0)$處連續(xù)，則復合函數(shù)$varphi[u(x,y)]$在點$P_0(x_0,y_0)$處也連續(xù)。初等函數(shù)連續(xù)性一切初等函數(shù)在其定義域內都是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)運算規(guī)則04偏導數(shù)概念與計算偏導數(shù)定義設函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的某一鄰域內有定義，當$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$處有增量$Deltax$時，相應地函數(shù)有增量$f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)$。如果$lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{Deltax}$存在，則稱此極限為函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處對$x$的偏導數(shù)，記作$frac{partialz}{partialx}|_{(x=x_0,y=y_0)}$或$f'_x(x_0,y_0)$。偏導數(shù)性質偏導數(shù)具有線性性、乘積法則、鏈式法則等性質，與一元函數(shù)的導數(shù)性質類似。偏導數(shù)定義及性質如果二元函數(shù)$z=f(x,y)$的偏導數(shù)$frac{partialz}{partialx}$與$frac{partialz}{partialy}$仍然可導，則稱它們的偏導數(shù)為函數(shù)$z=f(x,y)$的二階偏導數(shù)。二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)。高階偏導數(shù)定義高階偏導數(shù)的求法與一階偏導數(shù)類似，只是需要多次求導。例如，函數(shù)$z=f(x,y)$的二階偏導數(shù)$frac{partial^2z}{partialx^2}$可以通過對$frac{partialz}{partialx}$再次求偏導數(shù)得到。高階偏導數(shù)求法高階偏導數(shù)求法隱函數(shù)定義如果變量$x$和$y$滿足一個方程$F(x,y)=0$，在一定條件下，我們可以確定一個單值連續(xù)函數(shù)$y=f(x)$或$x=g(y)$，使得方程成立，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。要點一要點二隱函數(shù)求偏導數(shù)方法對于隱函數(shù)$F(x,y)=0$，我們可以利用鏈式法則求出其偏導數(shù)。首先，對方程兩邊關于$x$求偏導數(shù)，得到$frac{partialF}{partialx}+frac{partialF}{partialy}cdotfrac{dy}{dx}=0$，然后解出$frac{dy}{dx}$即可得到隱函數(shù)對$x$的偏導數(shù)。類似地，我們可以求出隱函數(shù)對$y$的偏導數(shù)。隱函數(shù)求偏導數(shù)方法05多元函數(shù)微分學應用參數(shù)方程法通過曲線的參數(shù)方程，利用求導法則求出切線的方向向量，進而得到切線方程。隱函數(shù)法對于給定的隱函數(shù)，通過求偏導數(shù)得到切線的斜率，再結合切點坐標求得切線方程。向量法利用向量的點積和叉積性質，結合曲線在切點處的切向量和法向量，求出切線方程?？臻g曲線切線方程求解對于給定的顯式方程，通過求偏導數(shù)得到法線的方向向量，進而得到法線方程。顯式方程法隱函數(shù)法參數(shù)方程法對于給定的隱函數(shù)，通過求偏導數(shù)得到法線的斜率，再結合曲面上一點的坐標求得法線方程。通過曲面的參數(shù)方程，利用求導法則求出法線的方向向量，進而得到法線方程。030201空間曲面法線方程求解二階偏導數(shù)法利用多元函數(shù)的二階偏導數(shù)構成的Hessian矩陣，判斷極值點的類型（極大值、極小值或鞍點）。拉格朗日乘數(shù)法對于帶有約束條件的多元函數(shù)極值問題，可以通過拉格朗日乘數(shù)法將問題轉化為無約束極值問題進行求解。一階偏導數(shù)法通過求解多元函數(shù)的一階偏導數(shù)，找到可能的極值點，進一步判斷極值點的性質。多元函數(shù)極值問題探討06總結與回顧多元函數(shù)的極限掌握多元函數(shù)極限的定義，了解極限存在的條件，能夠運用極限性質進行求解。多元函數(shù)的連續(xù)性理解多元函數(shù)連續(xù)性的定義，掌握判斷多元函數(shù)連續(xù)性的方法，了解連續(xù)函數(shù)的性質。偏導數(shù)理解偏導數(shù)的定義及幾何意義，掌握偏導數(shù)的計算法則，了解偏導數(shù)與函數(shù)性質的關系。關鍵知識點總結030201常見誤區(qū)提示認為多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限完全相同。實際上，多元函數(shù)的極限需要考慮多個自變量的變化趨勢，比一元函數(shù)更為復雜。誤區(qū)二忽視多元函數(shù)連續(xù)性的定義域。在判斷多元函數(shù)連續(xù)性時，需要注意函數(shù)的定義域，否則可能導致錯誤的結論。誤區(qū)三混淆偏導數(shù)與全導數(shù)的概念。偏導數(shù)僅考慮一個自變量的變化對函數(shù)值的影響，而全導數(shù)則考慮所有自變量的變化對函數(shù)值的影響。誤區(qū)一010203練習題一求二元函數(shù)$f(x,y)=frac{xy}{x^2+y^2}$在點$(0,0)$處的極限。答案解析通過極坐標變換，將原式轉化為$lim_{rhoto0}frac{rho^2sinthetacostheta}{rho^2}=lim_{rhoto0}sinthetacostheta=0$，故該二元函數(shù)在點$(0,0)$處的極限為$0$。練習題二判斷二元函數(shù)$f(x,y)=begin{cases}frac{x^2y}{x^4+y^2},&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)end{cases}$在點$(0,0)$處是否連續(xù)。練習題與答案解析答案解析首先求出函數(shù)在點$(0,0)$處的極限為$0$，然后觀察函數(shù)在該點的取值也為$0$，因此該二元函數(shù)在點$(0,0)$處連續(xù)。練習題三求二元函數(shù)$z