河南省開(kāi)封市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

河南省開(kāi)封市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知，，則=（

）A． B． C． D．2．已知橢圓C的焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．3．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．1 D．或14．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．5．已知圓，若過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩個(gè)不同點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．6．若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值時(shí)，（

）A．2 B． C． D．7．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知圓，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是圓C上任意一點(diǎn)，若定點(diǎn)A滿足，則面積的最大值是（

）A．3 B．9 C． D．二、多選題9．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知是直線l的方向向量，是平面的法向量，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．已知點(diǎn)和，點(diǎn)在軸上，且為直角，則（

）A．直線的斜率為 B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C．直線的一個(gè)方向向量為 D．直線的方程為12．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，，記與的離心率分別為，，在第一象限的交點(diǎn)為P，下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題13．已知直線的傾斜角為45°，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為.14．已知三個(gè)頂點(diǎn)分別為，則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．15．3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)．如圖所示的塔筒為打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為6cm，下底直徑為9cm，高為9cm，則喉部（最細(xì)處）的直徑為cm．四、雙空題16．已知平行六面體中，，與的交點(diǎn)為，，，則，．五、問(wèn)答題17．已知雙曲線的焦距為10，上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于6．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的標(biāo)準(zhǔn)方程．六、計(jì)算題18．已知正方形ABCD的中心為點(diǎn)，點(diǎn)A在第三象限，AB邊所在直線的方程是．(1)求AD邊所在直線的方程；(2)求對(duì)角線AC所在直線的方程．七、問(wèn)答題19．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)．(1)求正方體的外接球的球心O到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值．20．已知圓，直線．(1)求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，求切線長(zhǎng)最短時(shí)切線的方程．21．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，E為線段AP上一點(diǎn)，且平面BDE．(1)求AE的長(zhǎng)；(2)F為線段CP上的動(dòng)點(diǎn)，求直線DF與平面BDE所成角正弦值的取值范圍．22．已知，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是．(1)求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；(2)若斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線交曲線于點(diǎn)，且，求的面積．參考答案：1．C【分析】根據(jù)給定條件，用空間向量的減法運(yùn)算即可求.【詳解】由，，可得.故選：C2．A【分析】根據(jù)橢圓上的點(diǎn)及橢圓的長(zhǎng)短軸關(guān)系即可求得橢圓方程.【詳解】由題可知，所以，且橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.3．B【分析】根據(jù)直線平行的充要條件計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得或1，當(dāng)時(shí)，，，兩直線平行，當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：B.4．A【分析】直接根據(jù)投影向量的公式計(jì)算得到答案.【詳解】向量在向量上的投影向量.故選：A.5．B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，圓的圓心為，分析圓的圓心以及半徑，求出到直線的距離，由直線與圓的位置關(guān)系可得當(dāng)最大時(shí)，弦長(zhǎng)最小，而的最大值為，據(jù)此計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，則，

當(dāng)最大時(shí)，弦長(zhǎng)最小，在圓內(nèi)部，故的最大值為，則的最小值為.故選：B．6．D【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再結(jié)合基本不等式即可得到當(dāng)取最小值的條件，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值為，此時(shí)，則.故選：D7．C【分析】結(jié)合圖形及斜率定義可得答案.【詳解】如圖，當(dāng)公共點(diǎn)在AO之間（不含O）時(shí)，直線l的斜率為負(fù)，當(dāng)公共點(diǎn)在A時(shí)，斜率有最大值，為，則此時(shí)斜率范圍為；當(dāng)公共點(diǎn)在OB之間（不含O）時(shí)，直線l的斜率為正，當(dāng)公共點(diǎn)在B時(shí)，斜率有最小值，為，則此時(shí)斜率范圍為；當(dāng)公共點(diǎn)在O點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率不存在.綜上，直線l的斜率的取值范圍是.故選：C8．A【分析】設(shè)出坐標(biāo)，由得到，利用對(duì)于任意一點(diǎn)都成立，建立方程求解可得點(diǎn)坐標(biāo)，可得當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大時(shí)的面積最大，此時(shí)軸，利用可得答案.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，由得，化簡(jiǎn)得，又因?yàn)榧?，所以，因?yàn)閷?duì)于任意恒成立，所以，解得，所以，所以當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大時(shí)的面積最大，此時(shí)軸，所以或，所以的面積為.故選：A.9．BC【分析】由空間向量基底概念驗(yàn)證各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】因構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則任意兩個(gè)向量不共線，3個(gè)向量不共面.A選項(xiàng)，注意到，則，，三向量共面，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，注意到任意兩個(gè)向量不共線，設(shè)，易得不存在.故，，三者不共面，即可作為一組基底，故B正確；C選項(xiàng)，注意到任意兩個(gè)向量不共線，設(shè)，易得不存在，故，，三者不共面，即可作為一組基底，故C正確；D選項(xiàng)，注意到，則，，三向量共面，故D錯(cuò)誤；故選：BC10．AD【分析】由直線的方向向量與平面的法向量的平行與垂直判斷直線與平面的垂直與平行．【詳解】，則，，即，A正確，B錯(cuò)誤；，則，，解得，C錯(cuò)誤，D正確．故選：AD．11．BCD【分析】根據(jù)直線斜率，直線垂直，直線方向向量，直線方程逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】已知點(diǎn)和，則，故A不正確；點(diǎn)在軸上，且為直角，設(shè)，則，所以，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B正確；則直線的一個(gè)方向向量為，則也是直線的一個(gè)方向向量，故C正確；，則直線的方程為，即，故D正確.故選：BCD.12．AD【分析】由離心率公式判斷AB，利用橢圓與雙曲線的定義及余弦定理得出的關(guān)系，從而得出關(guān)系判斷CD．【詳解】由題意，，，所以，A正確，不能得出，B錯(cuò)誤；設(shè)，，則，解得，若，則，即，所以，，，即，所以，C錯(cuò)，D正確．故選：AD．13．【解析】解方程即得解.【詳解】由題得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14．【分析】根據(jù)圓心和半徑求得正確答案.【詳解】依題意可知，所以是圓的直徑，所以圓心為，半徑為，所以外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：15．【分析】由已知，根據(jù)題意，以最細(xì)處所在的直線為軸，其垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出雙曲線方程，并根據(jù)離心率表示出之間的關(guān)系，由題意底直徑為6cm，所以雙曲線過(guò)點(diǎn)，下底直徑為9cm，高為9cm，所以雙曲線過(guò)點(diǎn)，代入雙曲線方程即可求解方程從而得到喉部（最細(xì)處）的直徑.【詳解】由已知，以最細(xì)處所在的直線為軸，其垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，由已知可得，，且，所以，所以雙曲線方程為，底直徑為6cm，所以雙曲線過(guò)點(diǎn)，下底直徑為9cm，高為9cm，所以雙曲線過(guò)點(diǎn)，代入雙曲線方程得：，解得：，所以喉部（最細(xì)處）的直徑為cm.故答案為：.16．1/【分析】由數(shù)量積定義直接計(jì)算，根據(jù)空間向量基本定理得到，平方后，利用向量數(shù)量積公式得到.【詳解】如圖：因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，，所以；因?yàn)椋凰?故答案為：1；17．(1)(2)【分析】（1）由雙曲線定義可得答案；（2）由題可設(shè)，代入可得答案.【詳解】（1）雙曲線的焦距為10，所以半焦距，上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于6，所以，，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，設(shè)，將點(diǎn)帶入方程，可得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18．(1)(2)【分析】（1）由題意可得，設(shè)AD邊所在直線的方程為，再根據(jù)點(diǎn)E到直線AB和AD的距離相等，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出，即可得解；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線的方程即可.【詳解】（1）正方形ABCD中，，設(shè)AD邊所在直線的方程為，因?yàn)檎叫蜛BCD的中心為點(diǎn)，則與交于點(diǎn)，所以點(diǎn)E到直線AB和AD的距離相等，所以，解之得或，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，點(diǎn)A不在第三象限，所以AD邊所在直線的方程為；（2）由聯(lián)立，解得，即，又，，所以對(duì)角線AC所在直線的方程為.19．(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得O到平面的距離.（2）利用向量法求得平面與平面ABCD夾角的余弦值.【詳解】（1）如圖，分別以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即，取，則平面的一個(gè)法向量為．又因?yàn)?，所以點(diǎn)O到平面的距離為．（2）平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面ABCD夾角的余弦值為．20．(1)(2)或【分析】（1）圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的圓心為，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱列方程可得的值，從而得對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)切線長(zhǎng)的幾何性質(zhì)從而得切線長(zhǎng)最短時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)切線方程求解斜率，從而得此時(shí)切線方程.【詳解】（1）圓的圓心，半徑，記圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的圓心為，則，解之得，圓的半徑為，所以圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓M的切線，所以，易知切線長(zhǎng)最短時(shí)，也最短，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)，所以直線PM的方程為：，聯(lián)立直線l的方程,則，解得，可得，設(shè)直線PA的方程為：，所以，解之得或，所以切線PA的方程為或21．(1)(2)【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由平面BDE，可得，其中為平面BDE的一個(gè)法向量，即可得答案；（2）由（1）設(shè)，記DF與平面BDE所成角為，則可得表達(dá)式，即可得答案.【詳解】（1）如圖，分別以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)，則.，，，設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為，則，取，則平面BDE的一個(gè)法向量為，由平面BDE，則，故；（2）F為線段CP上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，其中0≤b≤2，又由（1）可知.記DF與平面BDE所成角為，則.對(duì)于函數(shù)，注意到.則在上遞減，在上遞增，則.可得，則直