江西省贛州市十八縣（市、區(qū)）二十三校2024屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

江西省贛州市十八縣（市、區(qū)）二十三校2024屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．命題“對(duì)任意的個(gè)位數(shù)字不等于2”的否定是（

）A．的個(gè)位數(shù)字等于2B．的個(gè)位數(shù)字不等于2C．的個(gè)位數(shù)字等于2D．的個(gè)位數(shù)字不等于22．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．4．已知為第一象限角，且，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角5．已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．6．若，則“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．某工廠新購(gòu)置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，以減少對(duì)空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：）與過濾時(shí)間（單位：）的關(guān)系為（是正常數(shù)）.若經(jīng)過過濾后消除了的污染物，則污染物減少大約需要（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增10．若數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù)為等差數(shù)列，則稱數(shù)列為“二階等差數(shù)列”.若不是等比數(shù)列，但中存在不相同的三項(xiàng)可以構(gòu)成等比數(shù)列，則稱是“局部等比數(shù)列”.給出下列數(shù)列，其中既是“二階等差數(shù)列”，又是“局部等比數(shù)列”的是（

）A． B．C． D．11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．B．三棱錐的體積是C．點(diǎn)到平面的距離是D．該正方體外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑之比是12．若方程有兩個(gè)根，則（

）A． B．C． D．三、填空題13．.14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為.15．在中，，則的取值范圍是.16．如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個(gè)正四棱錐和一個(gè)正四棱柱貫穿構(gòu)成，正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為6，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點(diǎn)，則.四、問答題17．在等腰直角中，為內(nèi)一點(diǎn)，.(1)若，求；(2)若，求.18．已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的值；(2)求在上的值域.19．如圖，在正三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，.(1)求；(2)求直線與平面所成角的正弦值.20．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和及其最小值.21．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若為的中點(diǎn)，在上存在點(diǎn)，使得，求的值.22．已知函數(shù).(1)試討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.參考答案：1．A【分析】由全稱命題的否定：任意改存在并否定原結(jié)論，即可得答案.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為的個(gè)位數(shù)字等于2.故選：A2．B【分析】解一元二次不等式求集合N，再應(yīng)用集合的并、補(bǔ)運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由或，所以或，且則.故選：B3．A【分析】根據(jù)兩個(gè)向量垂直則數(shù)量積為0運(yùn)算即可.【詳解】，又，所以，即，解得，所以，所以，故選：A4．D【分析】由已知，利用差角正弦公式可得，進(jìn)而有，結(jié)合為第一象限角列不等式求范圍即可.【詳解】由題設(shè)，則，所以，而為第一象限角，所以，則,所以，即為第四象限角.故選：D5．D【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，令的公差為且，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，即可求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，令的公差為且，則，可得，所以，故.故選：D6．C【分析】根據(jù)充分、必要性定義，結(jié)合特殊值、基本不等式判斷條件間的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】由，，顯然時(shí)，不成立，充分性不成立；由，，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C7．B【分析】利用給定的函數(shù)模型，求出，再借助取對(duì)數(shù)的方法求出時(shí)的值即可.【詳解】依題意，經(jīng)過過濾后還剩余的污染物，則，解得，設(shè)污染物減少用時(shí)小時(shí)，于是，即，則，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，因此，所以污染物減少大約需要.故選：B8．D【分析】根據(jù)給定信息，利用函數(shù)奇偶性定義導(dǎo)出函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，再計(jì)算判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，由是偶函數(shù)，得，即，由為奇函數(shù)，得，即，顯然，因此，即，有，，，而的值都不確定，ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及抽象函數(shù)等式問題，利用賦值法探討函數(shù)的性質(zhì)，再借助性質(zhì)即可求解.9．ACD【分析】A選項(xiàng)，利用三角函數(shù)的周期公式即可判斷；BCD選項(xiàng)，利用代入檢驗(yàn)法即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期，故A正確；因?yàn)椋圆皇堑膶?duì)稱軸，是的對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD.10．BC【分析】根據(jù)數(shù)列新定義，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義逐項(xiàng)判斷正誤即可.【詳解】A：由為常數(shù)列，也是等比數(shù)列，不符合“局部等比數(shù)列”；B：由不是等比數(shù)列，且，故為常數(shù)列，也為等差數(shù)列；其中可構(gòu)成等比數(shù)列，符合；C：由不是等比數(shù)列，且，故為等差數(shù)列；其中可構(gòu)成等比數(shù)列，符合；D：由不是等比數(shù)列，且，則，，，顯然不為等差數(shù)列，不符合；故選：BC11．AC【分析】A由正方體的性質(zhì)，應(yīng)用線面垂直的判定和性質(zhì)判斷；B由，應(yīng)用棱錐體積公式求體積；C先證面，再將點(diǎn)到平面的距離化為到面的距離判斷；D由正方體外接球、內(nèi)切球半徑與棱長(zhǎng)關(guān)系即可判斷.【詳解】A：由面，面，則，又，而，面，則面，面，所以，對(duì)；B：由，錯(cuò)；C：由，面，面，則面，又面即為面，且是上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離，即為到面的距離，由⊥平面，平面，則，又，而，平面，則⊥平面，所以所求距離為，對(duì)；D：由于正方體外接球半徑為體對(duì)角線的一半，即為，正方體內(nèi)切球的半徑為棱長(zhǎng)的一半，即為1，所以正方體外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑之比是，錯(cuò).故選：AC12．BCD【分析】絕對(duì)值函數(shù)借助圖像分析單調(diào)性，善于運(yùn)用不等式.【詳解】如圖所示，作出函數(shù)和的圖像，易知①，②，且，所以，對(duì)于A：易知，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增且，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令函數(shù).當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.由①知，即，則B正確；對(duì)于C：由②知，即，又，所以，C正確；對(duì)于D：由上可知，所以，而①+②可得，即，所以，D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題注重不等式的應(yīng)用，同時(shí)要借助同學(xué)分析之間的相等與不等關(guān)系.13．【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，直接計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：14．【分析】根據(jù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷的區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍.【詳解】令，則在上遞減，在上遞增，而在定義域上為增函數(shù)，所以在上遞減，在上遞增，又在上單調(diào)遞減，故，則.故答案為：15．【分析】由正弦定理求外接圓半徑，在其外接圓中連接，由，討論的位置情況確定范圍.【詳解】由題設(shè)，外接圓半徑為，如下圖，外接圓中連接，所以為等邊三角形，且，所以，當(dāng)反向共線時(shí)最小為，當(dāng)同向共線時(shí)最大為，所以.故答案為：16．2【分析】先作出截面，再由截面分析出各三角形的邊長(zhǎng)，利用相似三角形求解即可.【詳解】過作垂直于四棱錐底面的截面，如圖所示，由條件可知，為底面正方形的對(duì)角線，所以，所以,長(zhǎng)度為正四棱柱底面正方形的對(duì)角線，所以，長(zhǎng)度為正四棱柱底面正方形的對(duì)角線的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：作出截面把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，然后應(yīng)用相似三角形求解.17．(1)；(2).【分析】（1）由題設(shè)可得，進(jìn)而可得，在中應(yīng)用余弦定理求；（2）設(shè)，則，，在中應(yīng)用正弦定理、差角正弦公式求.【詳解】（1）由題設(shè)，則，在中，則，即，由，則，所以，則.（2）設(shè)，則，由（1）知：，在中，則，即.18．(1)；(2).【分析】（1）對(duì)給定函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)極值點(diǎn)的意義求出并驗(yàn)證即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)求出在指定區(qū)間上的最大最小值即可得解.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由在處取得極值，得，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在處取得極值，所以.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，而，即，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?19．(1)；(2).【分析】（1）設(shè)，由題設(shè)可得、，進(jìn)而可得，結(jié)合求參數(shù)，即可得；（2）作，構(gòu)建以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值即可.【詳解】（1）設(shè)，又分別為的中點(diǎn)，則，由為正三棱柱，即上下底面為等邊三角形，又，所以，且，由，則，可得，所以.（2）作，構(gòu)建以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如下圖示，則，故，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，而，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.20．(1)；(2)，的最小值為.【分析】（1）根據(jù)已知求得，把n分為奇數(shù)、偶數(shù)分別求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，求出，再利用錯(cuò)位相減法求和并求出其最小值即得.【詳解】（1）由，得，兩式相減得，而，，則，因此當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，則有，兩式相減得，因此，顯然當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，又，因此，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，的最小值為.21．(1)；(2).【分析】（1）由正余弦邊角關(guān)系，將化為，討論、，結(jié)合求即可；（2）若且，可得、，應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算律及已知得到，即，，再應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算律求模，并根據(jù)數(shù)量積定義求.【詳解】（1）由，而，所以，則，且，若，即，則，所以；若，即，則，顯然不成立；綜上，.（2）如下圖示，若且，則，同理，所以，則，由（1）易知，且，所以，整理得，綜上，，，所以，即，，即，故.22．(1)答案見解析；(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論確定一元二次不等式在上的解集即得.（2）利用（1）的信息，用函數(shù)的最小值點(diǎn)表示出a，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討的取值范圍，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求解即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（