MBA統(tǒng)計學04概率和分布

統(tǒng)計學─從數(shù)據(jù)到結(jié)論第四章時機的度量：

概率和分布概率是0和1之間的一個數(shù)目，表示某個事件發(fā)生的能夠性或經(jīng)常程度。他買彩票中大獎的時機很小(接近0)但有人中大獎的概率幾乎為1他被流星擊中的概率很小(接近0)但每分鐘有流星擊中地球的概率為1他今天被汽車撞上的概率幾乎是0但在北京每天發(fā)生車禍的概率是1。發(fā)生概率很小的事件稱為小概率事件(smallprobabilityevent)；小概率事件不那么能夠發(fā)生，但它往往比很能夠發(fā)生的事件更值得研討。在某種意義上，新聞媒體的主要留意力大都集中在小概率事件上。§4.1得到概率的幾種途徑1．利用等能夠事件假設一個骰子是公平的，那么擲一次骰子會以等能夠(概率1/6，6種能夠之一)得到1至6點的中的每一個點。拋一個公平的硬幣，那么以等能夠(概率1/2)出現(xiàn)正面或反面?！?.1得到概率的幾種途徑再如從52張牌中隨機抽取一張，那么它是黑桃的概率為抽取黑桃的能夠〔k＝13〕和總能夠性〔n＝52〕之比，即k/n=13/52=1/4；類似地抽到的牌是J、Q、K、A四種〔共有16種能夠〕的概率是16/52=4/13。§4.1得到概率的幾種途徑其實即使沒有學過概率，讀者也多半可以算出這些概率。計算這些概率的根底就是事先知道〔或者假設〕某些事件是等能夠的。這種事件為等能夠事件(equallylikelyevent)。§4.1得到概率的幾種途徑2．根據(jù)長期相對頻數(shù)事件并不一定是等能夠的，或者人們對于其出現(xiàn)的能夠性一無所知。這時就要靠察看它在大量反復實驗中出現(xiàn)的頻率來估計它出現(xiàn)的概率。它約等于事件出現(xiàn)的頻數(shù)k除以反復實驗的次數(shù)n，該比值k/n稱為相對頻數(shù)〔relativefrequency〕或頻率。§4.1得到概率的幾種途徑例如，刮發(fā)票的中獎密封時，大多得到“謝謝〞。假設他刮了150張發(fā)票，只需3張中獎，他會以為，他的中獎概率大約是3/150=0.02假設一個學生在200次上課時，無故曠課10次，那么其曠課的概率能夠被以為接近10/200=0.05§4.1得到概率的幾種途徑實驗次數(shù)n越大那么該值越接近于想得到的概率。很多事件無法進展長期反復實驗。因此這種經(jīng)過相對頻數(shù)獲得概率的方法也并不是萬能的。雖然如此，用相對頻數(shù)來確定概率的方法是很常用的。他們可以舉出無數(shù)類似的例子§4.1得到概率的幾種途徑3．客觀概率一些概率既不能由等能夠性來計算，也不能夠從實驗得出。比如，他今年想學開車概率、他五年內(nèi)去歐洲旅游的概率等這種概率稱為客觀概率(subjectiveprobability)?？梢哉f，客觀概率是一次事件的概率。或為基于所掌握的信息，某人對某事件發(fā)生的自信程度?！?.2概率的運算在擲骰子中，得到6點的概率是1/6，而得到5點的概率也是1/6。那么擲一次骰子得到5或者6的概率是多少呢？在擲10次骰子中有一半或以上的次數(shù)得到5或6的概率又是多少呢？讀者很快就能夠很快會得到答案。但再復雜一些，也許就不簡單了。§4.2概率的運算我們需求了解怎樣從簡單的情況計算略微復雜情況時的概率。需求讀者回想一下上中學時學過的集合概念，比如兩個集合的交和并，互余〔互補〕等概念。在概率論中所說的事件〔event〕相當于集合論中的集合〔set〕。而概率那么是事件的某種函數(shù)。為什么會這么說呢，讓我們看擲兩個骰子的實驗?！?.2概率的運算如所關懷的是兩骰子點數(shù)之和，那么下表包含了一切36種能夠?qū)嶒灲Y(jié)果的搭配和相應的點數(shù)和?？梢钥闯?，假設我們思索點數(shù)和等于2的事件，那么僅有一種能夠的實驗結(jié)果〔兩個骰子均為一點〕；而假設我們思索點數(shù)和等于7的事件，那么有六種能夠的實驗結(jié)果。兩個骰子點數(shù)之和總共有2至12等11種能夠，即有11種能夠的事件，而這11種事件相應于上面所說的36種能夠的實驗結(jié)果的一些集合。這些事件和實驗結(jié)果的集合歸納在下面表中：§4.2概率的運算:1.互補事件的概率假設今天下雨的概率是10％，那么今天不下雨的概率就是90％。假設他中獎的概率是0.0001，那么不中獎的概率就是1－0.0001=0.9999。這種假設一個不出現(xiàn)，那么另一個一定出現(xiàn)的兩個事件稱為互補事件〔complementaryevents，或者互余事件或?qū)α⑹录??！?.2概率的運算:1.互補事件的概率按照集合的記號，假設一個事件記為A，那么另一個記為AC〔稱為A的余集或補集〕。顯然互補事件的概率之和為1，即P(A)+P(AC)=1，或者P(AC)＝1－P(A)。在西方賭博時經(jīng)常愛用優(yōu)勢或賠率〔odds〕來描畫勝負的能夠。它是互補事件概率之比，即P(A)/P(AC)＝P(A)/[1-P(A)]來表示。§4.2概率的運算:2.概率的加法假設兩個事件不能夠同時發(fā)生，那么至少其中之一發(fā)生的概率為這兩個概率的和。比如“擲一次骰子得到3或者6點〞的概率是“得到3點〞的概率與“得到6點〞的概率之和，即1/6+1/6=1/3。但是假設兩個事件能夠同時發(fā)生時這樣做就不對了。§4.2概率的運算:2.概率的加法假定擲骰子時，一個事件A為“得到偶數(shù)點〞〔有3種能夠：2、4、6點〕，另一個事件B為“得到大于或等于3點〞〔有4種能夠：3、4、5、6點〕；這樣，事件A的概率顯然等于3/6=1/2，即P(A)=1/2。而事件B的概率為P(B)=4/6=2/3。但是，“得到大于或等于3點或者偶數(shù)點〞的事件的概率就不是P(A)+P(B)=1/2+2/3=7/6了；§4.2概率的運算:2.概率的加法這顯然多出來了。概率怎樣可以大于1呢？按照中學時關于集合的記號，該事件稱為A和B的并，記為A∪B。剛剛多出來的部分就是A和B的共同部分A∩B〔稱為A和B的交〕的概率〔這個概率算了兩遍〕；它為“得到既是偶數(shù)，又大于等于3〞的部分，即4和6兩點。出現(xiàn)事件4或者6的概率為1/6+1/6=1/3?！?.2概率的運算:2.概率的加法于是應該把算重了的概率減去。這樣“得到大于或等于3點或者偶數(shù)點〞的事件A∪B的概率就是P(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+2/3-1/3＝5/6。這種P(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(A∩B)的公式也適用于兩個不能夠同時發(fā)生的事件；但由于那時P(A∩B)=0，所以只剩下P(A∪B)＝P(A)+P(B)了?！?.2概率的運算:2.概率的加法這種交等于空集〔A∩B=F，這里F表示空集或空事件〕的事件為兩個不能夠同時發(fā)生的事件，稱為互不相容事件〔mutuallyexclusiveevents〕?！?.2概率的運算:3.概率的乘法假設他有一個固定和一個手機，假定固定出缺陷的概率為0.01，而手機出問題的概率為0.05，那么，兩個同時出缺陷的概率是多少呢？聰明的讀者馬上會猜出，是0.01×0.05=0.0005。但是這種乘法法那么，即P(A∩B)＝P(A)P(B)，僅僅在兩個事件獨立(independent)時才成立?！?.2概率的運算:3.概率的乘法假設事件不獨立那么需求引進條件概率(conditionalprobability)。比如三個人抽簽，而只需一個人可以抽中，因此每個人抽中的時機是1/3。假定用A1、A2和A3分別代表這三個人抽中的事件，那么，P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3?！?.2概率的運算:3.概率的乘法但是由于一個人抽中，其他人就不能夠抽中，所以，這三個事件不獨立。剛剛的乘法規(guī)那么不成立；這時，P(A1∩A3)＝P(A1∩A2)＝P(A2∩A3)＝0；如錯誤照搬乘法規(guī)那么會得到錯誤的(1/3)2=1/9?！?.2概率的運算:3.概率的乘法但是可以計算條件概率，比如第一個人抽到〔事件A1〕，那么在這個條件下其他兩個人抽到的概率都為0；記為P(A2|A1)=P(A3|A1)=0。如第一個人沒有抽到〔事件A1C〕，那么其他兩人抽到的概率均為1/2，記為P(A2|A1C)=P(A3|A1C)=1/2?！?.2概率的運算:3.概率的乘法普通地，在一個事件B曾經(jīng)發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的條件概率定義為〔貝葉斯公式〕分布隨機變量取一切能夠值或范圍的概率或概率的規(guī)律稱為概率分布(probabilitydistribution，簡稱分布)。概率分布可以用各種圖或表來表示；一些可以用公式來表示。概率分布是關于總體的概念。有了概率分布就等于知道了總體。分布前面引見過的樣本均值、樣本規(guī)范差和樣本方差等樣本特征的概念是相應的總體特征的反映。我們也有描畫變量“位置〞的總體均值、總體中位數(shù)、總體百分位數(shù)以及描畫變量分散〔集中〕程度的總體規(guī)范差和總體方差等概念。詳細公式見本章后面小結(jié)§4.3離散變量的分布離散變量只取離散的值，比如骰子的點數(shù)、網(wǎng)站點擊數(shù)、顧客人數(shù)等等。每一種取值都有某種概率。各種取值點的概率總和應該是1。當然離散變量不不僅僅限于取非負整數(shù)值。普通來說，某離散隨機變量的每一個能夠取值xi都相應于取該值的概率p(xi)，這些概率應該滿足關系§4.3.1二項分布最簡單的離散分布應該是基于可反復的有兩結(jié)果〔比如勝利和失敗〕的一樣獨立實驗〔每次實驗勝利概率一樣〕的分布，例如拋硬幣。比如用p代表得到硬幣正面的概率，那么1－p那么是得到反面的概率。假設知道p，這個拋硬幣的實驗的概率分布也就都知道了。§4.3.1二項分布這種有兩個能夠結(jié)果的實驗有兩個特點：一是各次實驗相互獨立，二是每次實驗得到一種結(jié)果的概率不變〔這里是得到正面的概率總是p〕。類似于拋硬幣的僅有兩種結(jié)果的反復獨立實驗被稱為Bernoulli實驗〔Bernoullitrials〕?！?.3.1二項分布下面實驗可看成為Bernoulli實驗：每一個進入某商場的顧客能否購買某商品每個被調(diào)查者能否認可某種產(chǎn)品每一個新出嬰兒的性別。根據(jù)這種簡單實驗的分布，可以得到基于這個實驗的更加復雜事件的概率。§4.3.1二項分布為了方便，人們通常稱Bernoulli實驗的兩種結(jié)果為“勝利〞和“失敗〞。和Bernoulli實驗相關的最常見的問題是：假設進展n次Bernoulli實驗，每次勝利的概率為p，那么勝利k次的概率是多少？這個概率的分布就是所謂的二項分布(binomialdistribution)?！?.3.1二項分布這個分布有兩個參數(shù)，一個是實驗次數(shù)n，另一個是每次實驗勝利的概率p。基于此，二項分布用符號B(n,p)或Bin(n,p)表示。由于n和p可以根據(jù)實踐情況取各種不同的值，因此二項分布是一族分布，族內(nèi)的分布以這兩個參數(shù)來區(qū)分?！?.3.1二項分布二項分布的概率通常用二項分布表來查出。但普通統(tǒng)計軟件可以很容易得到這個概率。在目前統(tǒng)計軟件興隆的情況下，涉及的二項分布普通都自動處置了；在處置實踐問題中很少會遇到直接計算二項分布概率的情況?！?.3.1二項分布但這里還是給出其普通公式。下面p(k)代表在n次Bernoulli實驗中勝利的次數(shù)的概率，p為每次實驗勝利的概率。有這里為二項式系數(shù)，或記為圖4.1九個二項分布B(5,p)(p＝0.1到0.9)的概率分布圖§4.3.2多項分布和二項分布最類似的是多項分布〔multinomialdistribution〕。二項分布的每次實驗中只需兩種能夠的結(jié)果，而多項分布那么在每次實驗中有多種能夠的結(jié)果?！?.3.2多項分布比如在調(diào)查顧客對5個品牌的飲料的選擇中，每種品牌都會以一定的概率中選，假定這些概率為p1，p2，p3，p4，p5。每次實驗的結(jié)果只能夠有一個，因此這些概率的和為1，即p1+p2+p3+p4+p5=1。在多項分布問題中〔用上面5個品牌的例子闡明〕，所關懷的是在n次實驗中〔這里是調(diào)查〕，選擇5個品牌的人數(shù)分別為m1，m2，m3，m4，m5的概率。自然m1+m2+m3+m4+m5＝n?！?.3.2多項分布類似于二項分布，多項分布的符號可以為M〔n；p1，p2，p3，p4，p5〕，也有用“MN〞或“Multi〞來表示；§4.3.3Poisson分布另一個常用離散分布是Poisson分布〔翻譯成“泊松分布〞或“普阿松分布〞〕。它可以以為是衡量某種事件在一定期間出現(xiàn)的數(shù)目的概率。比如說在一定時間內(nèi)顧客的人數(shù)、打入總機的個數(shù)、放射性物質(zhì)放射出來并到達某區(qū)域的粒子數(shù)等等。§4.3.3Poisson分布在不同條件下，同樣事件在單位時間中出現(xiàn)同等數(shù)目的概率不盡一樣。比如中午和晚上某商店在10分鐘內(nèi)出現(xiàn)5個顧客的概率就不一定一樣。因此，Poisson分布也是一個分布族。族中不同成員的區(qū)別在于事件出現(xiàn)數(shù)目的均值l不一樣?！?.3.3Poisson分布參數(shù)為l的Poisson分布變量的概率分布為〔p(k)表示Poisson變量等于k的概率〕參數(shù)為3、6、10的Poisson分布〔只標出了20之內(nèi)的部分〕

這里點間的連線沒有意義，僅僅為讀者容易識別而畫，由于Poisson變量僅取非負整數(shù)值§4.3.4超幾何分布假定有一批500個產(chǎn)品，而其中有5個次品。假定該產(chǎn)品的質(zhì)量檢查采取隨機抽取20個產(chǎn)品進展檢查。假設抽到的20個產(chǎn)品中含有2個或更多不合格產(chǎn)品，那么整個500個產(chǎn)品將會被退回。這時，人們想知道，該批產(chǎn)品被退回的概率是多少？這種概率就滿足超幾何分布〔hypergeometricdistribution〕。§4.3.4超幾何分布這是一種所謂的“不放回抽樣〞，也就是說，一次抽取假設干物品，每檢查一個之后并不放回；超幾何分布族的成員被三個參數(shù)決議，這里相應于產(chǎn)品總個數(shù)n，其中不合格產(chǎn)品數(shù)目m，不放回抽樣的數(shù)目t；而樣本中有x個不合格產(chǎn)品的概率為§4.4延續(xù)變量的分布取延續(xù)值的變量，如高度、長度、分量、時間、間隔等等；它們被稱為延續(xù)變量(continuousvariable)。換言之，一個隨機變量假設可以在一區(qū)間〔無論這個區(qū)間多么小〕內(nèi)取任何值，那么該變量稱為在此區(qū)間內(nèi)是延續(xù)的，其分布稱為延續(xù)型概率分布。它們的概率分布很難準確地用離散變量概率的條形圖表示。§4.4延續(xù)變量的分布想象延續(xù)變量觀測值的直方圖；假設其縱坐標為相對頻數(shù)，那么一切這些矩形條的高度和為1；完全可以重新設置量綱，使得這些矩形條的面積和為1。不斷添加觀測值及直方圖的矩形條的數(shù)目，直方圖就會越來越像一條光滑曲線，其下面的面積和為1。該曲線即所謂概率密度函數(shù)(probabilitydensityfunction，pdf)，簡稱密度函數(shù)或密度。以下圖為這樣構(gòu)成的密度曲線。逐漸添加矩形條數(shù)目的直方圖和一個外形類似的密度曲線。§4.4延續(xù)變量的分布延續(xù)變量落入某個區(qū)間的概率就是概率密度函數(shù)的曲線在這個區(qū)間上所覆蓋的面積；因此，實際上，這個概率就是密度函數(shù)在這個區(qū)間上的積分。對于延續(xù)變量，取某個特定值的概率都是零，而只需變量取值于某個〔或假設干個〕區(qū)間的概率才能夠大于0。延續(xù)變量密度函數(shù)曲線〔這里用f表示〕下面覆蓋的總面積為1，即§4.4.1正態(tài)分布在北京市場上的精制鹽很多是一公斤袋裝，上面標有“凈含量1kg〞的字樣。但當他用略微準確一些的天平稱那些袋裝鹽的分量時，會發(fā)現(xiàn)有些能夠會重些，有些能夠會輕些；但都是在1kg左右。多數(shù)離1kg不遠，離1kg越近就越能夠出現(xiàn)，離1kg越遠就越不能夠。普通以為這種分量分布近似地服從最常用的正態(tài)分布(normaldistribution，又叫高斯分布，Gaussiandistribution)?！?.4.1正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布的變量很常見，象丈量誤差、商品的分量或尺寸、某年齡人群的身高和體重等等。在一定條件下，許多不是正態(tài)分布的樣本均值在樣本量很大時，也可用正態(tài)分布來近似。§4.4.1正態(tài)分布正態(tài)分布的密度曲線是一個對稱的鐘型曲線〔最高點在均值處〕。正態(tài)分布也是一族分布，各種正態(tài)分布根據(jù)它們的均值和規(guī)范差不同而有區(qū)別。一個正態(tài)分布用N(m,s)表示；其中m為均值，而s為規(guī)范差。也常用N(m,s2)來表示，這里s2為方差〔規(guī)范差的平方〕。§4.4.1正態(tài)分布規(guī)范差為1的正態(tài)分布N(0,1)稱為規(guī)范正態(tài)分布(standardnormaldistribution)。規(guī)范正態(tài)分布的密度函數(shù)用f(x)表示。任何具有正態(tài)分布N(m,s)的隨機變量X都可以用簡單的變換〔減去其均值m，再除以規(guī)范差s〕：Z=(X-m)/s，而成為規(guī)范正態(tài)隨機變量。這種變換和規(guī)范得分的意義類似。兩條正態(tài)分布的密度曲線。左邊是N(-2,0.5)分布，右邊是N(0,1)分布§4.4.1正態(tài)分布當然，和一切延續(xù)變量一樣，正態(tài)變量落在某個區(qū)間的概率就等于在這個區(qū)間上，密度曲線下面的面積。比如，規(guī)范正態(tài)分布變量落在區(qū)間(0.51,1.57)中的概率，就是在規(guī)范正態(tài)密度曲線下面在0.51和1.57之間的面積。很容易得到這個面積等于0.24682；也就是說，規(guī)范正態(tài)變量在區(qū)間(0.51,1.57)中的概率等于0.24682。假設密度函數(shù)為f(x)，那么這個面積為積分規(guī)范正態(tài)變量在區(qū)間(0.51,1.57)中的概率§4.4.1正態(tài)分布我們有必要引進總體的下側(cè)分位數(shù)、上側(cè)分位數(shù)以及相應的尾概率的概念。對于延續(xù)型隨機變量X，a下側(cè)分位數(shù)〔又稱為a分位數(shù)，a-quantile〕定義為數(shù)xa，它滿足關系這里的a又稱為下〔左〕側(cè)尾概率〔lower/lefttailprobability〕§4.4.1正態(tài)分布而a上側(cè)分位數(shù)〔又稱a上分位數(shù)，a-upperquantile〕定義為數(shù)xa，它滿足關系這里的a也稱為上〔右〕側(cè)尾概率〔upper/righttailprobability〕?！?.4.1正態(tài)分布對于非延續(xù)型的分布，分位數(shù)的定義略微復雜一些；顯然，對于延續(xù)分布，a上側(cè)分位數(shù)等于(1－a)下側(cè)分位數(shù)，而(1－a)下側(cè)分位數(shù)等于a上側(cè)分位數(shù)?！?.4.1正態(tài)分布通常用za表示規(guī)范正態(tài)分布的a上側(cè)分位數(shù)，即對于規(guī)范正態(tài)分布變量Z，有P(Z>za)=a。圖4.6表示了0.05上側(cè)分位數(shù)za=z0.05及相應的尾概率〔a=0.05〕。有些書用符號z1－a而不是za；因此在看參考文獻時要留意符號的定義。N(0,1)分布右側(cè)尾概率P(z>za)=a的表示圖§4.4.2c2-分布一個由正態(tài)變量導出的分布是c2-分布(chi-squaredistribution，也翻譯為卡方分布)。該分布在一些檢驗中會用到。n個獨立正態(tài)變量平方和稱為有n個自在度的c2-分布,記為c2(n)。c2-分布為一族分布,成員由自在度區(qū)分。由于c2-分布變量為正態(tài)變量的平方和，它不會取負值。自在度為2、3、5的c2-分布密度曲線圖§4.4.3t-分布正態(tài)變量的樣本均值也是正態(tài)變量，能利用減去其均值再除以其(總體)規(guī)范差來得到規(guī)范正態(tài)變量。但用樣本規(guī)范差來替代未知的總體規(guī)范差時，得到的結(jié)果分布就不再是規(guī)范正態(tài)分布了。它的密度曲線看上去有些象規(guī)范正態(tài)分布，但是中間瘦一些，而且尾巴長一些。這種分布稱為t-分布(t-distribution，或?qū)W生分布，Student’st)?！?.4.3t-分布不同的樣本量經(jīng)過規(guī)范化所產(chǎn)生的t分布也不同,這樣就構(gòu)成一族分布。t分布族中的成員是以自在度來區(qū)分的。這里的自在度等于樣本量減去1〔假設樣本量為n，剛剛定義的t分布的自在度為n-1〕。由于產(chǎn)生t分布的方式很多，簡單說自在度就是樣本量減1是不準確的。自在度甚至不一定是整數(shù)。規(guī)范正態(tài)分布和t(1)分布的密度圖§4.4.3t-分布通常用ta表示t分布相應于右側(cè)尾概率a的t變量的a上側(cè)分位數(shù)，即對于t分布變量T，有P(T>ta)=a。在突出自在度時，也用tn，a，也有用t1－a或tn，1－a表示的。圖4.9表示了自在度為2的t(2)分布右邊的尾概率〔a=0.05〕。t(2)分布右側(cè)尾概率P(t>ta)=a的表示圖§4.4.4F-分布F-分布變量為兩個c2-分布變量〔在除以它們各自自在度之后〕的比；而兩個c2-分布的自在度那么為F-分布的自在度，因此，F(xiàn)-分布有兩個自在度；第一個自在度等于在分子上的c2-分布的自在度，第二個自在度等于在分母的c2-分布的自在度。自在度為〔3，20〕和〔50，20〕的F-分布密度曲線圖§4.5累積分布函數(shù)在前面離散分布的情況可以用p(x)表示該變量取值