2024屆陜西省漢中市漢臺區(qū)高二數(shù)學第二學期期末質量檢測試題含解析

2024屆陜西省漢中市漢臺區(qū)高二數(shù)學第二學期期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知對任意實數(shù)，有，且時，，則時（）A． B．C． D．2．對于實數(shù)，下列結論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，，則3．為了了解手機品牌的選擇是否和年齡的大小有關，隨機抽取部分華為手機使用者和蘋果機使用者進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結果如下表：年齡手機品牌華為蘋果合計30歲以上40206030歲以下（含30歲）152540合計5545100附：P（）0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828根據(jù)表格計算得的觀測值，據(jù)此判斷下列結論正確的是（）A．沒有任何把握認為“手機品牌的選擇與年齡大小有關”B．可以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“手機品牌的選擇與年齡大小有關”C．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“手機品牌的選擇與年齡大小有關”D．可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“手機品牌的選擇與年齡大小無關”4．設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝（）A． B．C． D．25．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種6．用秦九韶算法求次多項式，當時，求需要算乘方、乘法、加法的次數(shù)分別為（）A． B． C． D．7．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．8．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當時，，當時，，則的解集時（）A． B．C． D．9．從5名男同學，3名女同學中任選4名參加體能測試，則選到的4名同學中既有男同學又有女同學的概率為()A． B． C． D．10．一盒中裝有5張彩票，其中2張有獎，3張無獎，現(xiàn)從此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一張彩票．設第1次抽出的彩票有獎的事件為A，第2次抽出的彩票有獎的事件為B，則()A． B． C． D．11．2017年1月我市某校高三年級1600名學生參加了全市高三期末聯(lián)考，已知數(shù)學考試成績（試卷滿分150分）．統(tǒng)計結果顯示數(shù)學考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總人數(shù)的，則此次期末聯(lián)考中成績不低于120分的學生人數(shù)約為A．120 B．160 C．200 D．24012．隨機變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量，，，，且，則與的夾角等于________14．已知，在函數(shù)與的圖象的交點中，距離最短的兩個交點的距離為，則值為__________．15．從邊長為10cm×16cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為______cm1．16．如圖所示，陰影部分為曲線與軸圍成的圖形，在圓：內隨機取一點，則該點取自陰影部分的概率為___．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-5：不等式選講（1）已知，且，證明；（2）已知，且，證明.18．（12分）如圖，已知三棱柱，底面，，，為的中點.（I）證明：面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合.（1）求拋物線的方程及焦點到準線的距離；（2）若直線與交于、兩點，求的值.20．（12分）年春節(jié)期間，某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過元（含元），均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球個，黑球個）的抽獎盒中，一次性摸出個球，其中獎規(guī)則為：若摸到個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出個紅球則打折，若摸出個紅球，則打折；若沒摸出紅球，則不打折.方案二：從裝有個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球個，黑球個）的抽獎盒中，有放回每次摸取球，連摸次，每摸到次紅球，立減元.（1）若兩個顧客均分別消費了元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費恰好滿元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？21．（12分）（1）已知，是虛數(shù)單位，若，是純虛數(shù)，寫出一個以為其中一根的實系數(shù)一元二次方程；（2）求純虛數(shù)的平方根．22．（10分）已知函數(shù).(1)解關于的不等式；(2)設，，試比較與的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由條件知：是奇函數(shù)，且在內是增函數(shù)；是偶函數(shù)，且在內是增函數(shù)；所以在內是增函數(shù)；在內是減函數(shù)；所以時，故選B2、D【解題分析】試題分析：對于A．若，若則故A錯；對于B．若，取則是假命題；C．若，取，則是錯誤的，D．若，則取，又，所以，又因為同號，則考點：不等式的性質的應用3、C【解題分析】

根據(jù)的意義判斷．【題目詳解】因為，所以可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“手機品牌的選擇與年齡大小有關”，故選：C.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗，屬于簡單題．4、C【解題分析】

先求出的表達式，然后對其化簡，求出復數(shù)的模即可.【題目詳解】由題意，，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查復數(shù)的四則運算，考查復數(shù)的模的計算，屬于基礎題.5、B【解題分析】5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有=960種不同的排法，選B．6、D【解題分析】求多項式的值時，首先計算最內層括號內一次多項式的值，即然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即..….這樣,求n次多項式f(x)的值就轉化為求n個一次多項式的值．∴對于一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法故選D.7、A【解題分析】

本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學計算等數(shù)學素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【題目詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．【題目點撥】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．8、A【解題分析】

對的范圍分類討論，利用已知及函數(shù)是奇函數(shù)即可求得的表達式，解不等式即可．【題目詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，所以當，即：時，，當，即：時，可化為：，解得：.當，即：時，利用函數(shù)是奇函數(shù)，將化為：，解得：所以的解集是故選A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性應用，還考查了分類思想及計算能力，屬于中檔題．9、D【解題分析】

由題可知為古典概型，總的可能結果有種，滿足條件的方案有三類：一是一男三女，一是兩男兩女，另一類是三男一女；每類中都用分步計數(shù)原理計算，再將三類組數(shù)相加，即可求得滿足條件的結果，代入古典概型概率計算公式即可得到概率.【題目詳解】根據(jù)題意，選4名同學總的可能結果有種.選到的4名同學中既有男同學又有女同學方案有三類：（1）一男三女，有種，（2）兩男兩女，有種.（3）三男一女，有種.共種結果.由古典概型概率計算公式，.故選D.【題目點撥】本題考查古典概型與排列組合的綜合問題，利用排列組合的公式計算滿足條件的種類是解決本題的關鍵.10、D【解題分析】

由題意，第1次抽出的彩票有獎，剩下4張彩票，其中1張有獎，3張無獎，即可求出．【題目詳解】由題意，第1次抽出的彩票有獎，剩下4張彩票，其中1張有獎，3張無獎，所以．故選：D．【題目點撥】本題考查條件概率，考查學生的計算能力，比較基礎．11、C【解題分析】結合正態(tài)分布圖象的性質可得：此次期末聯(lián)考中成績不低于120分的學生人數(shù)約為.選C.12、D【解題分析】

利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出，再將代數(shù)式與相乘，展開后可利用基本不等式求出的最小值．【題目詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，，所以，，即，，由基本不等式可得，當且僅當，即當時，等號成立，因此，的最小值為，故選D.【題目點撥】本題考查正態(tài)密度概率以及利用基本不等式求最值，解題關鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出定值，以及對所求代數(shù)式進行配湊，以便利用基本不等式求最值，考查計算能力，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由平面向量數(shù)量積的運算的：，即與的夾角等于【題目詳解】由，，所以，，，所以，即與的夾角等于，故答案為：【題目點撥】本題考查向量數(shù)量積的坐標運算、向量的夾角公式、向量模的求法，屬于基礎題。14、【解題分析】由題意，令，，則，所以，，即，當，；當，，如圖所示，由勾股定理得，解得.15、144【解題分析】

設小正方形的邊長為xcm，【題目詳解】設小正方形的邊長為xcm則盒子的容積V=V當0<x<2時，V'>0，當2<x<5∴x=2時，V取得極大值，也是最大值，V=故答案為144【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)在解決實際問題中的應用，考查了學生的閱讀理解能力和利用數(shù)學知識解決問題的能力，屬于基礎題目．16、【解題分析】分析：由題求出圓的面積，根據(jù)定積分求出曲線與軸圍成的圖形的面積，利用幾何概型求出概率.詳解：由題圓：的面積為曲線與軸圍成的圖形的面積為故該點取自陰影部分的概率為.即答案為.點睛：本題考查幾何概型，考查利用定積分求面積，是緇.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）由展開利用基本不等式證明即可；（2）由，結合條件即可得解.【題目詳解】證明：（1）因為，當時等號成立.（2）因為，又因為，所以，，，∴.當時等號成立，即原不等式成立.【題目點撥】本題主要考查了基本不等式的應用，需要進行配湊，具有一定的技巧性，屬于中檔題.18、（I）證明見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（I）連接，交于，則為的中點，由中位線的性質得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明平面；（Ⅱ）以，，為，，軸建立空間直角坐標系，并設，計算出平面的一個法向量，記直線平面所成角為，于是得出可得出直線與平面所成角的正弦值。【題目詳解】（Ⅰ）證明：連接，交于，所以為的中點，又因為為的中點，所以，因為在面內，不在面內，所以面；（Ⅱ）以，，為，，軸建立空間直角坐標系（不妨設）.所以，，，，設面的法向量為，則，解得.因為，記直線平面所成角為.所以.【題目點撥】本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的計算，常見的有定義法和空間向量法，可根據(jù)題中的條件來選擇，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中等題。19、（1）拋物線的方程為，焦點到準線的距離為；（2）.【解題分析】

（1）求出橢圓的右焦點坐標和拋物線的焦點坐標，由此可得出的值，從而得出拋物線的方程以及焦點到準線的距離；（2）將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理可求出的值.【題目詳解】（1）橢圓的右焦點的坐標為，拋物線的焦點坐標為，由題意可得，即，所以拋物線的方程為，焦點到準線的距離為；（2）將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去并整理得，，.【題目點撥】本題考查拋物線方程的求解以及直線與拋物線綜合問題中韋達定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）選擇第一種抽獎方案更合算.【解題分析】

（1）選擇方案一，利用積事件的概率公式計算出兩位顧客均享受到免單的概率；（2）選擇方案一，計算所付款金額的分布列和數(shù)學期望值，選擇方案二，計算所付款金額的數(shù)學期望值，比較得出結論.【題目詳解】（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個紅球，設顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，所以兩位顧客均享受到免單的概率為；（2）若選擇方案一，設付款金額為元，則可能的取值為、、、.，，，.故的分布列為，所以（元）.若選擇方案二，設摸到紅球的個數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）.因為，所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合算.【題目點撥】本題考查獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量分布列與數(shù)學期望，同時也考查了二項分布的數(shù)學期望與數(shù)學期望的性質，解題時要明確隨機變量所滿足的分布列類型，考查計算能力，屬于中等題.21、（1）（2）或【解題分析】

(1)先求出的值，再寫出一個以為其中一根的實系數(shù)一元二次方程；(2)設，求出即得解.【題目詳解】(1)所以，所以.所以.一個以為其中一根的實系數(shù)一元二次方程是.(2)設，所以所以，所以或.故純虛數(shù)的平方根為或.【題目點撥】本題主要考查純虛數(shù)的概念和復數(shù)的運算，考查復數(shù)的平方根的