2024屆河北省衡水市景縣梁集中學高二數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆河北省衡水市景縣梁集中學高二數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底），若方程有且僅有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．2．設(shè)是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為、分別是雙曲線的左、右焦點，若，則（）A．1或9 B．6 C．9 D．以上都不對3．在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．4．已知球是棱長為1的正方體的外接球，則平面截球所得的截面面積為()A． B． C． D．5．在10個籃球中有6個正品，4個次品.從中抽取4個，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為A． B． C． D．6．下圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位：臺)的莖葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間[22，30)內(nèi)的概率為()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.67．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B． C．2 D．38．已知集合，，則（）A． B． C． D．9．在△ABC中內(nèi)角A，B，C所對各邊分別為，，，且，則角=A．60° B．120° C．30° D．150°10．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．731511．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，單調(diào)遞減，若，則的值()A．恒為負值 B．恒等于零C．恒為正值 D．無法確定正負12．某商場對某一商品搞活動，已知該商品每一個的進價為3元，銷售價為8元，每天售出的第20個及之后的半價出售.該商場統(tǒng)計了近10天這種商品的銷量，如圖所示，設(shè)x(個)為每天商品的銷量，y(元)為該商場每天銷售這種商品的利潤.從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率是()A．110 B．19 C．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù).為的導函數(shù)，若，則實數(shù)的值為__________.14．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為__________．15．用五種不同的顏色，給圖中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則涂色的方法共有種．16．若隨機變量的分布列如表所示，則______.01Pa三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）當時，求在上的最大值和最小值：（2）若，恒成立，求a的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）當時，若函數(shù)在上有唯一零點，求的值19．（12分）已知中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足.（1）求；（2）若，的面積為，求，的值.20．（12分）數(shù)列滿足.（Ⅰ）計算，，，并由此猜想通項公式；（Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明（Ⅰ）中的猜想.21．（12分）已知命題：.（Ⅰ）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)命題：；若“”為真命題且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知向量,滿足，．(1)求關(guān)于k的解析式f(k)．(2)若，求實數(shù)k的值．(3)求向量與夾角的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

首先需要根據(jù)方程特點構(gòu)造函數(shù),將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，并根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷出函數(shù)在上的零點個數(shù)，再轉(zhuǎn)化成方程解的問題，最后利用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造兩個函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求切線斜率問題，從而根據(jù)斜率的幾何意義得到解.【題目詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，，所以零點成對出現(xiàn)，依題意，方程有兩個不同的正根，又當時，，所以方程可以化為：，即，記，，設(shè)直線與圖像相切時的切點為，則切線方程為，過點，所以或（舍棄），所以切線的斜率為，由圖像可以得.選D.【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)零點、導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，突顯了直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理的考查.屬中檔題.2、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為求出，由雙曲線的定義求出，判斷點在左支上，即求.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線方程為，.由雙曲線的定義可得，又，或.點在左支上，.故選：.【題目點撥】本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

利用函數(shù)在連續(xù)可導且單調(diào)遞增，可得導函數(shù)在大于等于0恒成立即可得到的取值范圍．【題目詳解】因為函數(shù)在連續(xù)可導且單調(diào)遞增，所以在恒成立，分離參數(shù)得恒成立，即，故選D．【題目點撥】本題考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增等價于在該區(qū)間內(nèi)恒成立．4、D【解題分析】

根據(jù)正方體的特征，求出球的直徑和球心O到平面的距離，求出截面圓的半徑，即可得到面積.【題目詳解】球是棱長為1的正方體的外接球，其體對角線就是球的直徑，所以球的半徑為，根據(jù)正方體的性質(zhì)O到平面的距離為，所以平面截球所得的截面圓的半徑為，所以其面積為.故選：D【題目點撥】此題考查求幾何體外接球問題，根據(jù)幾何特征求出外接球的半徑，根據(jù)圓心到截面的距離求截面圓的半徑，進而求解面積.5、A【解題分析】

正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品兩種情況，根據(jù)情況寫出所有的組合數(shù)計算即可.【題目詳解】正品數(shù)比次品數(shù)少，包括一正三次和全部是次品這兩種情況為，總數(shù)為，所以概率為．選A.【題目點撥】本題考查概率問題，解題的關(guān)鍵是正確的求出所有可能的結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】區(qū)間[22,31)內(nèi)的數(shù)據(jù)共有4個，總的數(shù)據(jù)共有11個，所以頻率為1．4,故選B．7、B【解題分析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法求出，進而得到.詳解：由題故選B.點睛：本題考查復(fù)數(shù)逇除法運算及復(fù)數(shù)的模，屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

可求出集合B，然后進行交集的運算即可．【題目詳解】B＝{x|x≤2}；∴A∩B＝{1，2}．故選：B．【題目點撥】本題考查描述法、列舉法表示集合的定義，以及交集的運算．9、A【解題分析】分析：利用余弦定理即可。詳解：由余弦定理可知，所以。點睛：已知三邊關(guān)系求角度，用余弦定理。10、D【解題分析】原式等于，故選D.11、A【解題分析】

依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，可以判斷出在上單調(diào)遞減，進而根據(jù)單調(diào)性的定義和奇偶性的定義，即可判斷的符號?！绢}目詳解】因為時，單調(diào)遞減，而且是定義在上的奇函數(shù)，所以，在上單調(diào)遞減，當時，，由減函數(shù)的定義可得，，即有，故選A?！绢}目點撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性應(yīng)用。12、A【解題分析】

分別計算每個銷量對應(yīng)的利潤，選出日利潤不少于96元的天數(shù)，再利用排列組合公式求解.【題目詳解】當x=18時：y=18×5=90當x=19時：y=19×5=95當x=20時：y=19×5+1=96當x=21時：y=19×5+2=97日利潤不少于96元共有5天，2天日利潤是97元故P=C故答案選A【題目點撥】本題考查了頻率直方圖，概率的計算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過對原函數(shù)求導，代入1即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，所以，故.【題目點撥】本題主要考查導函數(shù)的運算法則，難度不大.14、3【解題分析】

先求出函數(shù)的導數(shù)，在閉區(qū)間上，利用導數(shù)求出函數(shù)的極值，然后與進行比較，求出最大值.【題目詳解】，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點，即，，，所以函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為3.【題目點撥】本題考查了閉區(qū)間上函數(shù)的最大值問題.解決此類問題的關(guān)鍵是在閉區(qū)間上先利用導數(shù)求出極值，然后求端點的函數(shù)值，最后進行比較，求出最大值.15、240【解題分析】試題分析：先涂（3）有5種方法，再涂（2）有4種方法，再涂（1）有3種方法，最后涂（4）有4種方法，所以共有5×4×3×4=240種涂色方法．考點：排列、組合.16、【解題分析】

先由分布列，根據(jù)概率的性質(zhì)求出，再求出期望，根據(jù)方差的計算公式，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由分布列可得：，解得，所以，因此，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查求離散型隨機變量的方差，熟記計算公式即可，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最大值是，最小值為1．（2）【解題分析】

（1）記的導函數(shù)的導數(shù)為，分析可得，結(jié)合，可得在R上是增函數(shù)，再，可得在上是增函數(shù)，即得解；（2）分，，三種情況分析的單調(diào)性，繼而分析的最小值，即得解.【題目詳解】（1）為表述簡單起見，記的導函數(shù)的導數(shù)為．當時，，則．，所以在R上是增函數(shù)．又，所以當時，，所以在上是增函數(shù)．故在上的最大值是，最小值為．（2），．①若，即時，，所以在R上是增函數(shù)．又，所以當時，，所以在上是增函數(shù)．所以當時，．可見，當，．又是偶函數(shù)，所以恒成立．所以符合題意．②若，即時，，所以在R上是減函數(shù)．所以當時，，所以在上是減函數(shù)．所以當時，．這與恒成立矛盾，所以不符合題意．③當時，．由，得．由的圖象，知存在唯一的，使得．當時，．所以在上是減函數(shù)．所以當時，，所以在上是減函數(shù)．所以當時，．這與恒成立矛盾，所以不符合題意．綜上，a的取值范圍是．【題目點撥】本題考查了函數(shù)與導數(shù)綜合，考查了二次求導，含參函數(shù)的最值，不等式恒成立問題，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.18、（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.極大值是，無極小值.（Ⅱ）1【解題分析】

（Ⅰ）把代入，令，求出極值點，再求出的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）函數(shù)在上有唯一零點，等價于的極小值等于0，列出等式，可求得t.【題目詳解】解：（Ⅰ）當時，，則，令，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.∴的極大值是，無極小值.（Ⅱ）當時，，由，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值是，∴只要，即，令，則，∴在上單調(diào)遞增.∵，∴的值是1.【題目點撥】本題主要考查利用導函數(shù)求增減區(qū)間和極值；以及根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)，確定參數(shù)的取值，數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵.19、(1)(2).【解題分析】分析：（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理求出A的值；（2）利用余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.詳解：（1）由題意可得：，，，，（2），，，.點睛：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用.20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）計算出，由此猜想.(Ⅱ)利用數(shù)學歸納法證明猜想.詳解：（Ⅰ），由此猜想；（Ⅱ）證明：當時，，結(jié)論成立；假設(shè)（，且），結(jié)論成立，即，當（，且）時，，即，所以，這就是說,當時，結(jié)論成立，根據(jù)(1)和(2)可知對任意正整數(shù)結(jié)論都成立，即.點睛：（1）本題主要考查不完全歸納法和數(shù)學歸納法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）數(shù)學歸納法證明的關(guān)鍵是證明當n=k+1時命題成立，這時要利用已知和假設(shè).21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）若為真命題，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的定義域可得，解不等式組求得答案；（Ⅱ）“”為真命題且“”為假命題，則真假或假真，解出命題，對真假和假真兩種情況進行討論，從而得到答案．【題目詳解】（Ⅰ）因為，所以可得，所以當命題為真命題時，解得；（Ⅱ）易知命題：.若為真命題且為假命題，則真假或假真，當真假時，，方程組無