四川省眉山市彭山區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

四川省眉山市彭山區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某軍工企業(yè)為某種型號(hào)的新式步槍生產(chǎn)了一批槍管，其口徑誤差（單位：微米）服從正態(tài)分布，從已經(jīng)生產(chǎn)出的槍管中隨機(jī)取出一只，則其口徑誤差在區(qū)間內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，）A． B． C． D．2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3．某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)同時(shí)搶4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)紅包，且紅包全被搶光，4個(gè)紅包中有兩個(gè)2元，兩個(gè)5元(紅包中金額相同視為相同的紅包)，則甲、乙兩人同搶到紅包的情況有()A．36種 B．24種 C．18種 D．9種4．已知雙曲線的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．焦點(diǎn)在軸上 B．漸近線方程為C．虛軸長(zhǎng)為4 D．離心率為5．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入和年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入萬(wàn)8.38.69.911.112.1支出萬(wàn)5.97.88.18.49.8根據(jù)上表可得回歸直線方程，其中，元，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為16萬(wàn)元家庭年支出為（）A．12.68萬(wàn)元 B．13.88萬(wàn)元 C．12.78萬(wàn)元 D．14.28萬(wàn)元6．在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．45 B．55 C．120 D．1657．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()A． B． C． D．8．已知曲線的參數(shù)方程為：，且點(diǎn)在曲線上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．某錐體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的等腰三角形，則該幾何體的體積最小值為（）A． B． C．1 D．210．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．若復(fù)數(shù)（）不是純虛數(shù)，則（）A． B． C． D．且12．已知l、m、n是空間三條直線，則下列命題正確的是（）A．若l//m，l//n，則m//nB．若l⊥m，l⊥n，則m//nC．若點(diǎn)A、B不在直線l上，且到l的距離相等，則直線AB//lD．若三條直線l、m、n兩兩相交，則直線l、m、n共面二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為2x－y＝0，則a＋b＝________.14．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)____15．給出定義：對(duì)于三次函數(shù)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.已知函數(shù).設(shè).若則__________．16．三棱錐P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC，M是PA的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，當(dāng)二面角P﹣AB﹣C為時(shí)，則直線BM與CN所成角的余弦值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù),（）.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)點(diǎn)，是函數(shù)圖象的不同兩點(diǎn)，其中，，是否存在實(shí)數(shù)，使得，且函數(shù)在點(diǎn)切線的斜率為，若存在，請(qǐng)求出的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）已知，不等式的解集是．（）求的值．（）若存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）甲將要參加某決賽，賽前，，，四位同學(xué)對(duì)冠軍得主進(jìn)行競(jìng)猜，每人選擇一名選手，已知，選擇甲的概率均為，，選擇甲的概率均為，且四人同時(shí)選擇甲的概率為，四人均末選擇甲的概率為．（1）求，的值；（2）設(shè)四位同學(xué)中選擇甲的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)存在不小于的極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）證明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．22．（10分）已知，不等式的解集為.（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)已知可得，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.【題目詳解】.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，以及正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【題目詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

分三種情況：（1）都搶到2元的紅包（2）都搶到5元的紅包（3）一個(gè)搶到2元，一個(gè)搶到5元，由分類計(jì)數(shù)原理求得總數(shù)?！绢}目詳解】甲、乙兩人都搶到紅包一共有三種情況：（1）都搶到2元的紅包，有種；（2）都搶到5元的紅包，有種；（3）一個(gè)搶到2元，一個(gè)搶到5元，有種，故總共有18種．故選C．【題目點(diǎn)撥】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏.在本題中，是根據(jù)得紅包情況進(jìn)行分類。4、B【解題分析】

根據(jù)雙曲線方程確定雙曲線焦點(diǎn)、漸近線方程、虛軸長(zhǎng)以及離心率，再判斷得到答案.【題目詳解】雙曲線的方程為，則雙曲線焦點(diǎn)在軸上；漸近線方程為；虛軸長(zhǎng)為；離心率為，判斷知正確.故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線，虛軸長(zhǎng)和離心率，意在考查學(xué)生對(duì)于雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.5、A【解題分析】

由已知求得，，進(jìn)一步求得，得到線性回歸方程，取求得值即可．【題目詳解】，．又，∴．∴．取，得萬(wàn)元，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性回歸方程的求法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．6、D【解題分析】分析：由題意可得展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)化為，從而得到答案．詳解：的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．7、B【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求結(jié)果.詳解：因?yàn)椋?所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,選B.點(diǎn)睛：首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為8、C【解題分析】分析：由題意得曲線C是半圓，借助已知?jiǎng)狱c(diǎn)在單位圓上任意動(dòng)，而所求式子，的形式可以聯(lián)想成在單位圓上動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)C（0，1）構(gòu)成的直線的斜率，進(jìn)而求解．詳解：∵即

其中由題意作出圖形，，

令，則可看作圓上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的連線的斜率而相切時(shí)的斜率，

由于此時(shí)直線與圓相切，

在直角三角形中，，由圖形知，的取值范圍是則的取值范圍是．

故選C．點(diǎn)睛：此題重點(diǎn)考查了已知兩點(diǎn)坐標(biāo)寫斜率，及直線與圓的相切與相交的關(guān)系，還考查了利用幾何思想解決代數(shù)式子的等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．9、B【解題分析】

錐體高一定，底面積最小時(shí)體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小，計(jì)算得到答案.【題目詳解】錐體高一定，底面積最小時(shí)體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了錐體的體積，判斷底面是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.10、C【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論．詳解：∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣8），位于第三象限，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算先化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】

先解出復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)時(shí)的值，即可得出答案．【題目詳解】若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的定義有：，則復(fù)數(shù)（）不是純虛數(shù)，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查虛數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】分析：由公理4可判斷A，利用空間直線之間的位置關(guān)系可判斷B，C，D的正誤，從而得到答案．詳解：由公理4可知A正確；若l⊥m，l⊥n，則m∥n或m與n相交或異面，故B錯(cuò)誤；若點(diǎn)A、B不在直線l上，且到l的距離相等，則直線AB∥l或AB與l異面，故C錯(cuò)誤；若三條直線l，m，n兩兩相交，且不共點(diǎn)，則直線l，m，n共面，故D錯(cuò)誤．故選A．點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，掌握空間直線的位置關(guān)系是判斷的基礎(chǔ)，對(duì)于這種題目的判斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進(jìn)行排除，判斷．還可以畫(huà)出樣圖進(jìn)行判斷，利用常見(jiàn)的立體圖形，將點(diǎn)線面放入特殊圖形，進(jìn)行直觀判斷．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】，由的圖像在處的切線方程為，易知，即，，即，則，故答案為4.14、【解題分析】

根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的系數(shù)為1，解可得的值，將的值導(dǎo)代入通項(xiàng)，計(jì)算可得答案．【題目詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解可得，則有，即的系數(shù)為1，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)式定理的形式，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．．15、-4037【解題分析】

由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù),令二階導(dǎo)數(shù)為零,即可求得函數(shù)的中心對(duì)稱,即有,,借助倒序相加的方法,可得進(jìn)而可求的解析式,求導(dǎo),當(dāng)代入導(dǎo)函數(shù)解得,計(jì)算求解即可得出結(jié)果.【題目詳解】函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由得解得,而故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故，兩式相加得，則.同理,,,令,則,,故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,兩式相加得,則.所以當(dāng)時(shí),解得:,所以則.故答案為:-4037.【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)新定義的理解,考查二階導(dǎo)數(shù)的求法,仔細(xì)審題是解題的關(guān)鍵,考查倒序法求和,難度較難.16、【解題分析】

先連結(jié)PN，根據(jù)題意，∠PNC為二面角P－AB－C的平面角，得到∠PNC＝，根據(jù)向量的方法，求出兩直線方向向量的夾角，即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：連結(jié)PN，因?yàn)镹為AB中點(diǎn)，PA＝PB，CA＝CB，所以，，所以，∠PNC為二面角P－AB－C的平面角，所以，∠PNC＝，設(shè)PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，則CN＝PN＝BM＝，，設(shè)直線BM與CN所成角為，，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線所成的角，靈活運(yùn)用向量法求解即可，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）的增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）存在實(shí)數(shù)取值范圍是.【解題分析】

（1）分別研究，兩種情況，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法判斷其單調(diào)性，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，得到，再根據(jù)，得到，得出，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合題中條件，得到，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí),,令得,令得.當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)。所以當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為,減區(qū)間為；(2)由題意可得：，，所以，，令，則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減,，當(dāng)時(shí)，，所以存在實(shí)數(shù)取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究單調(diào)性，最值等，屬于?？碱}型.18、(1),(2).【解題分析】試題分析：（1）通過(guò)討論a的范圍，求出不等式的解集，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求出a的值即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出最小值，得到關(guān)于k的不等式，解出即可．解析：（1）由，得，即，當(dāng)時(shí)，，所以，解得；當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)解.所以.(2)因?yàn)椋砸勾嬖趯?shí)數(shù)解，只需，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，以及函數(shù)恒成立求參的方法．19、(1)(2)的分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望為2【解題分析】

（1）根據(jù)題意，利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式列出關(guān)于的方程組，即可求解出答案．（2）根據(jù)題意先列出隨機(jī)變量的所有可能取值，然后根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率計(jì)算公式得出各自的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解出結(jié)果．【題目詳解】解：（1）由已知可得解得（2）可能的取值為0，1，2，3，4，，，，，．的分布列如下表：01234．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查逆用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求解概率問(wèn)題以及離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的求解．20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，然后令極值大于等于，解出不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題等價(jià)于，對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合條件可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，得，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在時(shí)取得極小值，且極小值為.令，即，得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于，記，由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，①當(dāng)時(shí)，由可知，所以成立；②當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而，命題成立.③當(dāng)時(shí)，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，記，則，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，.，，所以在區(qū)間內(nèi)，存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，常利用分類討論法，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題.21、（1）見(jiàn)解析（2）.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立坐標(biāo)系，可得，，的