2024屆浙江省衢州市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆浙江省衢州市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A． B． C． D．2．函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，，則下列結(jié)論正確的是（）A．在區(qū)間上，先減后增且B．在區(qū)間上，先減后增且C．在區(qū)間上，遞減且D．在區(qū)間上，遞減且3．若向區(qū)域內(nèi)投點(diǎn)，則該點(diǎn)落在由直線與曲線圍成區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．4．已知隨機(jī)變量，則參考數(shù)據(jù)：若，A．0.0148 B．0.1359 C．0.1574 D．0.3148.5．已知，則等于()A．-4 B．-2 C．1 D．26．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A． B． C． D．7．某市踐行“干部村村行”活動(dòng)，現(xiàn)有3名干部甲、乙、丙可供選派，下鄉(xiāng)到5個(gè)村蹲點(diǎn)指導(dǎo)工作，每個(gè)村至少有1名干部，每個(gè)干部至多住3個(gè)村，則干部甲住3個(gè)村的概率為()A． B． C． D．8．某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，利用列聯(lián)表，由計(jì)算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A．有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”9．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，則從到時(shí)，左邊應(yīng)添加的項(xiàng)為（）A． B．C． D．10．下列命題正確的是（）A．進(jìn)制轉(zhuǎn)換：B．已知一組樣本數(shù)據(jù)為1，6，3，8，4，則中位數(shù)為3C．“若，則方程”的逆命題為真命題D．若命題：，，則：，11．下列等式不正確的是（）A． B．C． D．12．2018年元旦期間，某高速公路收費(fèi)站的三個(gè)高速收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)（單位：輛）均服從正態(tài)分布，若，假設(shè)三個(gè)收費(fèi)口均能正常工作，則這個(gè)收費(fèi)口每天至少有一個(gè)超過700輛的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的漸近線方程為14．已知角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則的值是．15．表面積為的球的體積為__________．16．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則滿足方程的的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，求的最小值.18．（12分）某市為迎接“國(guó)家義務(wù)教育均衡發(fā)展”綜合評(píng)估，市教育行政部門在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了所學(xué)校，并組織專家對(duì)兩個(gè)必檢指標(biāo)進(jìn)行考核評(píng)分.其中分別表示“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”和“學(xué)校的師資力量”兩項(xiàng)指標(biāo)，根據(jù)評(píng)分將每項(xiàng)指標(biāo)劃分為(優(yōu)秀)、(良好)、(及格）三個(gè)等級(jí)，調(diào)查結(jié)果如表所示.例如：表中“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”指標(biāo)為等級(jí)的共有所學(xué)校.已知兩項(xiàng)指標(biāo)均為等級(jí)的概率為0.21.（1）在該樣本中，若“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”優(yōu)秀率是0.4，請(qǐng)?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”和“學(xué)校的師資力量”有關(guān)；師資力量（優(yōu)秀）師資力量（非優(yōu)秀）合計(jì)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（優(yōu)秀）基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（非優(yōu)秀）合計(jì)（2）在該樣本的“學(xué)校的師資力量”為等級(jí)的學(xué)校中，若，記隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:19．（12分）設(shè)（1）解不等式；（2）對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知，.（1）求證：；（2）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)求展開式中含的項(xiàng).22．（10分）已知函數(shù).（1）若，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，，證明：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

試題分析：拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C．考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系．2、D【解題分析】

由定積分，微積分基本定理可得：f（t）dt表示曲線f（t）與t軸以及直線t＝0和t＝x所圍區(qū)域面積，當(dāng)x增大時(shí)，面積增大，減小，g（x）減小，故g（x）遞減且g（x）＜0，得解．【題目詳解】由題意g（x）f（t）dt，因?yàn)閤∈（0，4），所以t∈（0，4），故f（t）<0，故f（t）dt的相反數(shù)表示曲線f（t）與t軸以及直線t＝0和t＝x所圍區(qū)域面積，當(dāng)x增大時(shí)，面積增大，減小，g（x）減小，故g（x）遞減且g（x）＜0，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，微積分基本定理，屬中檔題．3、B【解題分析】區(qū)域是正方形，面積為，根據(jù)定積分定理可得直線與曲線圍成區(qū)域的面積為，根據(jù)幾何概型概率公式可得該點(diǎn)落在由直線與曲線圍成區(qū)域內(nèi)的概率為，故選B．4、B【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的對(duì)稱性去分析計(jì)算相應(yīng)概率.【題目詳解】因?yàn)榧矗?，，又，，且，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布的概率計(jì)算，難度較易.正態(tài)分布的概率計(jì)算一般都要用到正態(tài)分布函數(shù)的對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性，可將不易求解的概率轉(zhuǎn)化為易求解的概率.5、D【解題分析】

首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，將1代入，求出f′（1）的值，化簡(jiǎn)f′（x），最后將x＝3代入即可．【題目詳解】因?yàn)閒′（x）＝1x+1f′（1），令x＝1，可得f′（1）＝1+1f′（1），∴f′（1）＝﹣1，∴f′（x）＝1x+1f′（1）＝1x﹣4，當(dāng)x＝3，f′（3）＝1．故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求出f′（1）是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

函數(shù)，，令，解得x．利用三角函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性．【題目詳解】函數(shù)，，令，解得．∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．∴時(shí)函數(shù)取得極大值即最大值．．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．求三角函數(shù)的最值問題，一般是通過兩角和差的正余弦公式將函數(shù)表達(dá)式化為一次一角一函數(shù)，或者化為熟悉的二次函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)來解決.7、A【解題分析】

先利用排列組合思想求出甲干部住個(gè)村的排法種數(shù)以及將三名可供選派的干部下鄉(xiāng)到個(gè)村蹲點(diǎn)的排法種數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率。【題目詳解】三名干部全部選派下鄉(xiāng)到個(gè)村蹲點(diǎn)，三名干部所住的村的數(shù)目可以分別是、、或、、，排法種數(shù)為，甲住個(gè)村，則乙、丙各住一個(gè)村，排法種數(shù)為，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率為，故選：A?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查排列組合應(yīng)用問題以及古典概型概率的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于將所有的基本事件數(shù)利用排列組合思想求出來，合理利用分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)算原理，考查分析問題和運(yùn)算求解能力，屬于中等題。8、B【解題分析】

通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項(xiàng).【題目詳解】解:，可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

將和式子表示出來，相減得到答案.【題目詳解】時(shí)：時(shí)：觀察知：應(yīng)添加的項(xiàng)為答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，寫出式子觀察對(duì)應(yīng)項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.10、A【解題分析】

根據(jù)進(jìn)制的轉(zhuǎn)化可判斷A，由中位數(shù)的概念可判斷B，寫出逆命題，再判斷其真假可判斷C.根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可判斷D.【題目詳解】A.,故正確.B.樣本數(shù)據(jù)1，6，3，8，4，則中位數(shù)為4.故不正確.C.“若，則方程”的逆命題為:“方程,則”，為假命題，故不正確.D.若命題：，.則：，，故不正確.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了進(jìn)制的轉(zhuǎn)化、逆命題，中位數(shù)以及全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

根據(jù)排列組合數(shù)公式依次對(duì)選項(xiàng)，整理變形，分析可得答案．【題目詳解】A，根據(jù)組合數(shù)公式，，A不正確；B，，故B正確；C，故C正確；D，故D正確；故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合數(shù)公式的計(jì)算，要牢記公式，并進(jìn)行區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解即可.詳解：根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，每個(gè)收費(fèi)口超過輛的概率，這三個(gè)收費(fèi)口每天至少有一個(gè)超過輛的概率，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)正態(tài)分布的應(yīng)用題考查知識(shí)點(diǎn)較為清晰，只要掌握以下兩點(diǎn)，問題就能迎刃而解：（1）仔細(xì)閱讀，將實(shí)際問題與正態(tài)分布“掛起鉤來”；（2）熟練掌握正態(tài)分布的性質(zhì)，特別是狀態(tài)曲線的對(duì)稱性以及各個(gè)區(qū)間概率之間的關(guān)系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由雙曲線方程可知漸近線方程為考點(diǎn)：雙曲線方程及性質(zhì)14、【解題分析】試題分析：由題意得.考點(diǎn)：三角函數(shù)的定義；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；誘導(dǎo)公式.15、【解題分析】分析：先根據(jù)球的表面積公式，列方程得到球半徑，再利用球的體積公式求解該球的體積即可.詳解：，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查球的體積公式和表面積公式，意在考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解題分析】

設(shè)，可得，解得，即可得出．【題目詳解】設(shè)，則，解得．

．

令，解得．

故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了冪函數(shù)的定義、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于容易題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，列出方程求出，由此能求出的通項(xiàng)公式．（2）由，，求出的表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化求解的最小值．【題目詳解】解：（1）是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．，，解得，．（2）由，，得：，或時(shí)，取最小值．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和的最小值的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】

（1）依題意求得n、a和b的值，填寫列聯(lián)表，計(jì)算K2，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（2）由題意得到滿足條件的（a，b），再計(jì)算ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望值．【題目詳解】（Ⅰ）依題意得，得由，得由得師資力量(優(yōu)秀)師資力量（非優(yōu)秀）基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（優(yōu)秀）2021基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)（非優(yōu)秀）2039.因?yàn)椋詻]有90﹪的把握認(rèn)為“學(xué)校的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)”和“學(xué)校的師資力量”有關(guān).（Ⅱ）,,得到滿足條件的有：，，，，故的分布列為1357故【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)和離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，屬于中檔題．19、（1）（2）【解題分析】

（1）通過討論的范圍去絕對(duì)值符號(hào)，從而解出不等式．（2）恒成立等價(jià)于恒成立的問題即可解決．【題目詳解】（1）令當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)綜上所述（2）恒成立等價(jià)于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）恒成立【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解絕對(duì)值不等式以及恒成立的問題，在解絕對(duì)值不等式時(shí)首先考慮去絕對(duì)值符號(hào)．屬于中等題．20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：(1)由題意結(jié)合柯西不等式的結(jié)論即可證得題中的結(jié)論；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可得絕對(duì)值不等式，零點(diǎn)分段求解絕對(duì)值不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.試題解析：(Ⅰ)證明:由柯西不等式得,,的取值范圍是.(Ⅱ)由柯西不等式得.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,則,其解集為,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21、（1）；（2）【解題分析】

列出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，利用前三項(xiàng)系數(shù)成等差可求得；（1）根據(jù)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）根據(jù)展開式通項(xiàng)公式可知，當(dāng)時(shí)為所求項(xiàng)，代入通項(xiàng)公式求得結(jié)果.【題目詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為：展開式前三項(xiàng)的系數(shù)依次為，，，整理可得：解得：（舍）或二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為：（1）二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和為：（2）令，解得：展開式中含的項(xiàng)為【題目點(diǎn)撥】本題考查組合數(shù)的運(yùn)算、二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)、求指定項(xiàng)的問題，考查對(duì)于二項(xiàng)式定理的知識(shí)的掌握，屬于常規(guī)題型.22、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）將a的值代入f(x)，再求導(dǎo)得，在定義域內(nèi)討論函數(shù)單調(diào)性，再由函數(shù)的最小值正負(fù)來判斷它的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）