2024屆吉林省長(zhǎng)春市榆樹(shù)一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆吉林省長(zhǎng)春市榆樹(shù)一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)用第二種方法，從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（）A．5種 B．4種 C．9種 D．20種2．已知函數(shù)fx=xlnx-x+2a，若函數(shù)y=fx與函數(shù)A．-∞,1 B．12,1 C．1,3．三張卡片的正反面分別寫(xiě)有1和2,3和4,5和6，若將三張卡片并列，可得到不同的三位數(shù)(6不能作9用)的個(gè)數(shù)為()A．8B．6C．14D．484．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為（）A． B． C．1 D．5．過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)與圓：交于，兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017版)規(guī)定了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖，每項(xiàng)指標(biāo)值滿(mǎn)分為5分，分值高者為優(yōu))，則下面敘述正確的是（）(注:雷達(dá)圖(RadarChart)，又可稱(chēng)為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖(SpiderChart)，可用于對(duì)研究對(duì)象的多維分析)A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲8．已知點(diǎn)和，若某直線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得，則稱(chēng)該直線(xiàn)為“橢型直線(xiàn)”，現(xiàn)有下列直線(xiàn)：①；②；③；④．其中是“橢型直線(xiàn)”的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．③④9．已知集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為()A．2 B．3 C．4 D．510．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A． B．C． D．11．已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，則該雙曲線(xiàn)的方程為()A． B． C． D．或12．某樣本平均數(shù)為，總體平均數(shù)為，那么（）A． B． C． D．是的估計(jì)值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△OAB的面積為2，則的值為_(kāi)______.14．已知從裝有個(gè)球（其中個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出個(gè)球，，，共有種取法，在這種取法中，可以分成兩類(lèi)：一類(lèi)是取出的個(gè)球全部為白球，另一類(lèi)是取出1個(gè)黑球和個(gè)白球，共有種取法，即有等式成立，試根據(jù)上述思想，化簡(jiǎn)下列式子：________，15．若點(diǎn)的柱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)_____；16．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)于任意，，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心.研究函數(shù)的某一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，并利用對(duì)稱(chēng)中心的上述定義，可得到的值為_(kāi)______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)=e（Ⅰ）求函數(shù)f(x)極值；（Ⅱ）若對(duì)任意x>0，f(x)>12a18．（12分）已知直線(xiàn)(t為參數(shù)），圓(為參數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)坐標(biāo).(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作的垂線(xiàn)，垂足為為的中點(diǎn).當(dāng)變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線(xiàn)？19．（12分）已知函數(shù).(1)若,解不等式;(2)若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，證明：.21．（12分）如圖，點(diǎn)在以為直徑的圓上，垂直與圓所在平面，為的垂心（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，如圖1．將沿折到的位置，使，點(diǎn)在上，且，如圖2．（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的正切值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

分成兩類(lèi)方法相加.【題目詳解】會(huì)用第一種方法的有5個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有5種選擇；會(huì)用第二種方法的有4個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理.2、B【解題分析】

由題意首先確定函數(shù)fx的單調(diào)性和值域，然后結(jié)合題意確定實(shí)數(shù)a的取值范圍即可【題目詳解】由函數(shù)的解析式可得：f'x在區(qū)間0,1上，f'x在區(qū)間1,+∞上，f'x易知當(dāng)x→+∞時(shí)，fx→+∞，且故函數(shù)fx的值域?yàn)?a-1,+∞函數(shù)y=fx與函數(shù)y=f則函數(shù)fx在區(qū)間2a-1,+∞上的值域?yàn)?a-1,+∞結(jié)合函數(shù)的定義域和函數(shù)的單調(diào)性可得：0<2a-1≤1，解得：12故實(shí)數(shù)a的取值范圍是12本題選擇B選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3、D【解題分析】方法一:第一步,選數(shù)字.每張卡片有兩個(gè)數(shù)字供選擇,故選出3個(gè)數(shù)字,共有23=8(種)選法.第二步,排數(shù)字.要排好一個(gè)三位數(shù),又要分三步,首先排百位,有3種選擇,由于排出的三位數(shù)各位上的數(shù)字不可能相同,因而排十位時(shí)有2種選擇,排個(gè)位只有一種選擇.故能排出3×2×1=6(個(gè))不同的三位數(shù).由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共可得到8×6=48(個(gè))不同的三位數(shù).方法二:第一步,排百位有6種選擇,第二步,排十位有4種選擇,第三步,排個(gè)位有2種選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共可得到6×4×2=48(個(gè))不同的三位數(shù).4、B【解題分析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為：，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為：.點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為：.故選B.5、D【解題分析】

由題意可得直線(xiàn)，求得圓心到直線(xiàn)距離，再由弦長(zhǎng)公式即可求解【題目詳解】設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，可得，則直線(xiàn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，圓心到直線(xiàn)距離，，故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查用設(shè)一般方程求平行直線(xiàn)方程以及幾何法求圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題6、A【解題分析】分析：先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再利用奇偶性與單調(diào)性解不等式.詳解：因?yàn)?，所?為偶函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，即，或，選A.點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).7、D【解題分析】

根據(jù)雷達(dá)圖，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤得到答案.【題目詳解】根據(jù)雷達(dá)圖得甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)低于乙，所以A錯(cuò)誤根據(jù)雷達(dá)圖得甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，所以B錯(cuò)誤根據(jù)雷達(dá)圖得乙的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象最差，所以C錯(cuò)誤根據(jù)雷達(dá)圖得乙整體為27分，甲整體為22分，乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲，所以D正確故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了雷達(dá)圖，意在考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力.8、C【解題分析】

先確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，再考慮各選項(xiàng)中的直線(xiàn)與橢圓是否有公共點(diǎn)后可得正確的選項(xiàng).【題目詳解】由橢圓的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為．對(duì)于①，把代入，整理得，由，知不是“橢型直線(xiàn)”；對(duì)于②，把代入，整理得，所以是“橢型直線(xiàn)”；對(duì)于③，把代入，整理得，由，知是“橢型直線(xiàn)”；對(duì)于④，把代入，整理得，由，知不是“橢型直線(xiàn)”．故②③是“橢型直線(xiàn)”．故：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，此類(lèi)問(wèn)題一般聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，消去一個(gè)變量后通過(guò)方程的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷位置關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】由題意得，根據(jù)，可得的值可以是：，共有5個(gè)值，所以集合中共有5個(gè)元素，故選D.考點(diǎn)：集合的概念及集合的表示.10、C【解題分析】

，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0，∴f(3)·f(e)＜0，∴在區(qū)間（e，3）內(nèi)函數(shù)f(x)存在零點(diǎn).故選C.11、A【解題分析】分析：先利用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相互垂直得出該雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，再利用焦點(diǎn)位置確定雙曲線(xiàn)的類(lèi)型，最后利用幾何元素間的等量關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：因?yàn)樵撾p曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，所以該雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，即，又雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，即該雙曲線(xiàn)的方程為.故選D.點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，要注意以下等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用：等軸雙曲線(xiàn)的離心率為，其兩條漸近線(xiàn)相互垂直.12、D【解題分析】

統(tǒng)計(jì)學(xué)中利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)據(jù)，可知樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的估計(jì)值.【題目詳解】解：樣本平均數(shù)為，總體平均數(shù)為，

統(tǒng)計(jì)學(xué)中，利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)據(jù)，

∴樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的估計(jì)值.

故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)據(jù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

分析：求出雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，進(jìn)而求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由的面積為，列出方程列方程求解即可.詳解：雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程，又拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是，故兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)坐標(biāo)分別是，又的面積為1，，得，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)以及拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.求解與雙曲線(xiàn)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線(xiàn)等雙曲線(xiàn)的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系14、【解題分析】

在式子中，從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有個(gè)白球，個(gè)黑球的袋子里，取出個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，從裝有球中取出個(gè)球的不同取法數(shù)，根據(jù)排列組合公式，易得答案．【題目詳解】在中，從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有個(gè)白球，個(gè)黑球的袋子里，取出個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，故從裝有球中取出個(gè)球的不同取法數(shù).故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題結(jié)合考查推理和排列組合，處理本題的關(guān)鍵是熟練掌握排列組合公式，明白每一項(xiàng)所表示的含義，再結(jié)合已知條件進(jìn)行分析，最后給出正確的答案．15、【解題分析】

由柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式求得直角坐標(biāo)?！绢}目詳解】由柱坐標(biāo)可知，所以，所以直角坐標(biāo)為。所以填?！绢}目點(diǎn)撥】空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x,y,z)與柱坐標(biāo)(ρ,θ,Z)之間的變換公式為。16、.【解題分析】

分析：根據(jù)題意知函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為（1，﹣1），即x1+x2=2時(shí)，總有f（x1）+f（x2）=﹣2，再利用倒序相加，即可得到結(jié)果．詳解：解：函數(shù)，f（1）＝2﹣3＝﹣1，當(dāng)x1+x2＝2時(shí)，f（x1）+f（x2）＝2x1+2x2+3cos（x1）+3cos（x2）﹣6＝2×2+0﹣6＝﹣2，∴f（x）的對(duì)稱(chēng)中心為（1，﹣1），∴＝f（）+f（）+f（）+f（）+…+f（）＝﹣2×（2017）﹣1＝﹣1．故答案為﹣1．點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，一般函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為a，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為（a,0）；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)f(x)極小值=1，無(wú)極大值；(2)【解題分析】

（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可得出極值；（Ⅱ）先設(shè)g(x)=ex-x-12ax2-1，對(duì)函數(shù)【題目詳解】解：（Ⅰ）令f'(x)=x(-∞,0)0(0,+∞)f-0+f(x)↓極小值↑∴f(x)（II）對(duì)任意x>0，f(x)>12a設(shè)g(x)=ex-x-①當(dāng)a≤0時(shí)，g'(x)單調(diào)遞增，g'②當(dāng)0<a≤1時(shí)，令h(x)=g'(x),h'(x)=e③當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)0<x<lna時(shí)，h'(x)=ex-a<0綜上，a的取值范圍為(-∞,1].【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，屬于?？碱}型.18、（1）(1，0)，（2）＋y2＝.故P點(diǎn)軌跡是圓心為，半徑為的圓【解題分析】(1)當(dāng)α＝時(shí)，C1的普通方程為y＝(x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1.聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點(diǎn)為(1，0)，.(2)C1的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0.A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2α，－cosαsinα)，故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．P點(diǎn)軌跡的普通方程為＋y2＝.故P點(diǎn)軌跡是圓心為，半徑為的圓19、（1）；（2）【解題分析】分析：第一問(wèn)先將代入解析式，之后應(yīng)用零點(diǎn)分段法將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為若干個(gè)不等式組，最后取并集即可得結(jié)果；第二問(wèn)將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題來(lái)處理，應(yīng)用絕對(duì)值的性質(zhì)，將不等式的左邊求得其最小值，之后將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的絕對(duì)值不等式，利用平方法求得結(jié)果.詳解：（1）所以解集為：.(2)所以的取值范圍為：.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)絕對(duì)值不等式的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要用到零點(diǎn)分段法求絕對(duì)值不等式的解集，再者對(duì)于恒成立問(wèn)題可以向最值來(lái)轉(zhuǎn)化，而求最值時(shí)需要用到絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，之后應(yīng)用平方法求解即可得結(jié)果.20、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解題分析】

求導(dǎo)后對(duì)參量進(jìn)行分類(lèi)討論，得到函數(shù)的單調(diào)性由極值點(diǎn)求出兩根之和與兩根之積，將二元轉(zhuǎn)化為一元來(lái)求證不等式【題目詳解】（1）由題意得，的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，又由于，，故，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，,,故，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由，解得，因此在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，由，知，則，設(shè)，，，則在單調(diào)遞增，即，則，即.【題目點(diǎn)撥】求含有參量的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，得到在定義域內(nèi)不同的單調(diào)性，在證明不等式時(shí)結(jié)合的根與系數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題，從而證明出結(jié)果，本題綜合性較強(qiáng)，有一定難度。21、（1）見(jiàn)解析（2）.【解題分析】試題分析：（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由重心性質(zhì)及中位線(xiàn)性質(zhì)可得，再結(jié)合圓的性質(zhì)得，由已知，可證平面，進(jìn)一步可得平面平面（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用二面角與二個(gè)半平面的法向量的夾角間的關(guān)系可求二面角