江蘇省輔仁高級中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

江蘇省輔仁高級中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．實軸上 B．虛軸上 C．第一象限 D．第二象限2．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，不得分的概率為（、、），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計其它得分情況），則的最大值為A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則“”是“對任意，且，都有()成立”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳的含量大約每經(jīng)過年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)一批魚化石，經(jīng)檢測其碳14含量約為原始含量的，則該生物生存的年代距今約（）A．萬年 B．萬年 C．萬年 D．萬年5．已知雙曲線的離心率為，焦點是，，則雙曲線方程為（）A． B．C． D．6．已知雙曲線的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．7．已知橢圓E:x2a2+y24=1，設(shè)直線l:y=kx+1k∈R交橢圓A．mx+y+m=0 B．mx+y-m=0C．mx-y-1=0 D．mx-y-2=08．已知雙曲線的焦點坐標(biāo)為，，點是雙曲線右支上的一點，，的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．在一次獨立性檢驗中，其把握性超過99％但不超過99.5％，則的可能值為（）參考數(shù)據(jù)：獨立性檢驗臨界值表0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．5.424 B．6.765 C．7.897 D．11.89710．若隨機變量，其均值是80，標(biāo)準(zhǔn)差是4，則和的值分別是()A．100，0.2 B．200，0.4 C．100，0.8 D．200，0.611．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．12．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．歐拉在1748年給出的著名公式(歐拉公式)是數(shù)學(xué)中最卓越的公式之一，其中,底數(shù)＝2.71828…，根據(jù)歐拉公式，任何一個復(fù)數(shù)，都可以表示成的形式，我們把這種形式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第________象限．14．已知的展開式中，的系數(shù)為，則常數(shù)的值為．15．把4個相同的球放進(jìn)3個不同的盒子，每個球進(jìn)盒子都是等可能的，則沒有一個空盒子的概率為________16．中，角的對邊分別是，已知，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，．（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；（Ⅱ）如果對于任意的都有f(s)≥g(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍．18．（12分）若二面角的平面角是直角，我們稱平面垂直于平面，記作.（1）如圖，已知，，，且，求證：；（2）如圖，在長方形中，，，將長方形沿對角線翻折，使平面平面，求此時直線與平面所成角的大小.19．（12分）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過兩點，．（1）求圓C的方程；（2）若點P在圓C上，求點P到直線的距離的最小值．20．（12分）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間內(nèi)有極大值和極小值，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.若直線與曲線相切.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在曲線上任取兩點，，該兩點與原點構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)），直線：（為參數(shù)）.（1）判斷直線與曲線的位置關(guān)系；（2）點是曲線上的一個動點，求到直線的距離的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，即可得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的位置．【題目詳解】，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，所對應(yīng)的點在虛軸上，故選B．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，考查復(fù)數(shù)的乘法法則，關(guān)于復(fù)數(shù)問題，一般要利用復(fù)數(shù)的四則運算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式進(jìn)行解答，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】3a+2b+0c=2即3a+2b=2,所以，因此．3、A【解題分析】對任意，且，都有成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立，，由函數(shù)的單調(diào)性可得：在上,即，原問題轉(zhuǎn)化為考查“”是“”的關(guān)系，很明顯可得：“”是“對任意，且，都有成立”充分不必要條件.本題選擇A選項.4、C【解題分析】

根據(jù)實際問題，可抽象出，按對數(shù)運算求解.【題目詳解】設(shè)該生物生存的年代距今是第個5730年，到今天需滿足，解得：，萬年.故選C.【題目點撥】本題考查了指數(shù)和對數(shù)運算的實際問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸和計算能力.5、A【解題分析】由題意e=2，c=4，由e=，可解得a=2，又b2=c2﹣a2，解得b2=12所以雙曲線的方程為．故答案為．故答案選A.6、C【解題分析】試題分析：因為雙曲線的離心率為,所以,又因為雙曲線中,所以,而焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為,所以此雙曲線的漸近線方程為,故選C.考點：1、雙曲線的離心率；2、雙曲線漸近方程.7、D【解題分析】

在直線l中取k值，對應(yīng)地找到選項A、B、C中的m值，使得直線與給出的直線關(guān)于坐標(biāo)軸或原點具有對稱性得出答案?！绢}目詳解】當(dāng)直線l過點-1,0，取m=-1，直線l和選項A中的直線重合，故排除A；當(dāng)直線l過點1,0，取m=-1，直線l和選項B中的直線關(guān)于y軸對稱，被橢圓E截得的弦長相同，故排除B；當(dāng)k=0時，取m=0，直線l和選項C中的直線關(guān)于x軸對稱，被橢圓E截得的弦長相同，故排除C；直線l的斜率為k，且過點0,1，選項D中的直線的斜率為m，且過點0,-2，這兩條直線不關(guān)于x軸、y軸和原點對稱，故被橢圓E所截得的弦長不可能相等。故選：D?！绢}目點撥】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中等題。8、B【解題分析】

由的面積為，可得，再由余弦定理求出，根據(jù)雙曲線的定義可得，從而可得結(jié)論.【題目詳解】因為的面積為，，所以，可得，，，所以離心率，故選B.【題目點撥】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于中檔題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．9、B【解題分析】

根據(jù)獨立性檢驗表解題【題目詳解】把握性超過99％但不超過99.5％，，選B【題目點撥】本題考查獨立性檢驗表，屬于簡單題．10、C【解題分析】

根據(jù)隨機變量符合二項分布，根據(jù)二項分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值，得到關(guān)于和的方程組，解方程組得到要求的兩個未知量．【題目詳解】∵隨機變量，其均值是80，標(biāo)準(zhǔn)差是4，∴由，∴．故選：C．【題目點撥】本題主要考查分布列和期望的簡單應(yīng)用，通過解方程組得到要求的變量，這與求變量的期望是一個相反的過程，但是兩者都要用到期望和方差的公式．11、C【解題分析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.【題目詳解】故選C．【題目點撥】識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．12、B【解題分析】

根據(jù)對數(shù)運算法則求得，進(jìn)而求得，由此得到結(jié)果.【題目詳解】，，，.故選：.【題目點撥】本題考查指數(shù)、對數(shù)比較大小的問題，涉及到對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、四【解題分析】

由歐拉公式求出，再由復(fù)數(shù)的乘除運算計算出，由此求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在幾象限．【題目詳解】因為，所以，所以，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本計算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于簡單題．14、【解題分析】，所以由得，從而點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).15、.【解題分析】

方法一：4個相同球放進(jìn)3個不同的盒子,先加進(jìn)3個球，變成7個相同球，用隔板法解決，有個結(jié)果，再將多加進(jìn)的球取出，4個相同球放進(jìn)3個不同的盒子，每個盒子至少一個球，4個相同的球之間有3個間隔，再用隔板法解決，可得解；方法二：4個相同球放進(jìn)3個不同的盒子,有以下4種情形：1、4個相同的小球一起，放入3個不同的盒子中；2、4個相同的小球有3個小球放在一起，放入3個不同的盒子中；3、4個相同的小球有2個小球在一起，另2個也在一起，放入3個不同的盒子中；4、4個相同的小球有2個小球在一起在一個盒子中，另2個小球分別在兩個盒子中，所以4個相同的小球放入3個不同的盒子中共有15種不同的結(jié)果，而“沒有一個空盒子”的情況就是上述的第4種情況，可得解.【題目詳解】方法一：4個相同球放進(jìn)3個不同的盒子,先加進(jìn)3個球，變成7個相同球，放進(jìn)3個不同盒子，保證每個盒子至少一個球，7個相同的球之間有6個間隔，用隔板法解決，有個結(jié)果，再將多加進(jìn)的球取出，“沒有一個空盒子”記為隨機事件A,4個相同球放進(jìn)3個不同的盒子，每個盒子至少一個球，4個相同的球之間有3個間隔，用隔板法解決，有個結(jié)果，故，所以“沒有一個空盒子”的概率為；方法二：4個相同球放進(jìn)3個不同的盒子,有以下4種情形：1、4個相同的小球一起，放入3個不同的盒子中有3個不同的結(jié)果；2、4個相同的小球有3個小球放在一起，放入3個不同的盒子中有6種不同的結(jié)果；3、4個相同的小球有2個小球在一起，另2個也在一起，放入3個不同的盒子中有3種不同的結(jié)果；4、4個相同的小球有2個小球在一起在一個盒子中，另2個小球分別在兩個盒子中，共有3種不同的結(jié)果，所以4個相同的小球放入3個不同的盒子中共有15種不同的結(jié)果，而“沒有一個空盒子”的情況就是上述的第4種情況，共有3個不同的結(jié)果，所以“沒有一個空盒子”的概率為，故填：.【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型的基礎(chǔ)知識，利用隔板法和枚舉法是解決此類問題的常用方法.屬于中檔題．16、【解題分析】

化簡已知等式可得sinC＝1，又a＝b，由余弦定理可得：cosC＝sinC，利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin（C）＝0，結(jié)合范圍C∈（，），可求C的值．【題目詳解】∵c2＝2b2（1﹣sinC），∴可得：sinC＝1，又∵a＝b，由余弦定理可得：cosC1sinC，∴sinC﹣cosC＝0，可得：sin（C）＝0，∵C∈（0，π），可得：C∈（，），∴C0，可得：C．故答案為【題目點撥】本題主要考查了余弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）M＝4；（Ⅱ）[1，＋∞).【解題分析】分析：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等價于g（x）max﹣g（x）min≥M；（II）對于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）max，進(jìn)一步利用分離參數(shù)法，即可求得實數(shù)a的取值范圍；詳解：（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立等價于g（x）max﹣g（x）min≥M∵g（x）=x3﹣x2﹣3，∴∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，2）上單調(diào)遞增∴g（x）min=g（）=﹣，g（x）max=g（2）=1∴g（x）max﹣g（x）min=∴滿足的最大整數(shù)M為4；（II）對于任意的s、t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立等價于f（x）≥g（x）max．由（I）知，在[，2]上，g（x）max=g（2）=1∴在[，2]上，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等價于a≥x﹣x2lnx恒成立記h（x）=x﹣x2lnx，則h′（x）=1﹣2xlnx﹣x且h′（1）=0∴當(dāng)時，h′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時，h′（x）＜0∴函數(shù)h（x）在（，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，∴h（x）max=h（1）=1∴a≥1點睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）在內(nèi)過點作，根據(jù)題意得到，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）過點作于點，連接，得到即是直線與平面所成角，根據(jù)題中條件，求出，，由余弦定理得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）在內(nèi)過點作，因為，，且，所以，因為，所以；（2）過點作于點，連接，因為平面平面，所以平面，所以即是直線與平面所成角；又在長方形中，，，所以，；因此，所以，又，由余弦定理可得：，所以，所以，因此直線與平面所成角的大小為.【題目點撥】本題主要考查線面垂直的證明，以及求直線與平面所成的角，熟記線面垂直的判定定理，以及幾何法求線面角即可，屬于?？碱}型.19、（1）（2）【解題分析】

（1）設(shè)圓心在軸上的方程是，代入兩點求圓的方程；（2）利用數(shù)形結(jié)合可得最短距離是圓心到直線的距離-半徑.【題目詳解】解：（1）由于圓C的圓心在x軸上，故可設(shè)圓心為，半徑為，又過點，，故解得故圓C的方程．（2）由于圓C的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，又點P在圓C上，故點P到直線的距離的最小值為．【題目點撥】本題考查了圓的方程以及圓有關(guān)的最值問題，屬于簡單題型，當(dāng)直線和圓相離時，圓上的點到直線的最短距離是圓心到直線的距離-半徑，最長的距離是圓心到直線的距離+半徑.20、（1）；（2）【解題分析】

分析：（1）由，可得，利用，即，可得，從而可得結(jié)果；（2）在內(nèi)有極大值和極小值，等價于在內(nèi)有兩不等實根，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)