2024屆安徽省合肥一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2024屆安徽省合肥一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題“，”的否定為()A． B．C．， D．，2．設(shè)集合，，則()A． B． C． D．3．函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)且f（2）=0，則使f（x）<0的x的取值范圍（）A．（－∞，2） B．（2，+∞）C．（－∞，-2）∪（2，+∞） D．（－2，2）4．設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知，則的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)等于（）A．180 B．-180 C．-90 D．156．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成（）A．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除B．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除C．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除D．假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被整除7．將7個(gè)座位連成一排，安排4個(gè)人就坐，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法有（）A．240 B．480 C．720 D．9608．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A． B．C． D．9．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，的值介于0到之間的概率為（）A． B． C． D．10．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，其頻率分布表如下：質(zhì)量指標(biāo)分組頻率則可估計(jì)這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)、中位數(shù)為（）A．， B．， C．， D．，11．已知的三邊滿足條件，則（）A． B． C． D．12．已知集合,,則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)，滿足條件，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的最小值是_______．14．若二項(xiàng)式（x﹣）n的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為__．15．冪函數(shù)的圖像過點(diǎn),則的減區(qū)間為__________.16．若一個(gè)圓錐的母線長是底面半徑的3倍，則該圓錐的側(cè)面積是底面積的_________倍；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：.18．（12分）2019年某地初中畢業(yè)升學(xué)體育考試規(guī)定：考生必須參加長跑、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測試，三項(xiàng)測試各項(xiàng)20分，滿分60分．某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時(shí)，為掌握全年級學(xué)生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計(jì)分規(guī)則如表1：表1每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分17181920（1）規(guī)定：學(xué)生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀，在抽取的100名學(xué)生中，男生跳繩個(gè)數(shù)大于等于185個(gè)的有28人，根據(jù)已知條件完成表2，并根據(jù)這100名學(xué)生測試成績，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關(guān)？表2跳繩個(gè)數(shù)合計(jì)男生28女生54合計(jì)100附：參考公式：臨界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（2）根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)今年正式測試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，全年級恰有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布（用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）．①估計(jì)正式測試時(shí)，1分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人，正式測試時(shí)1分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為，求的分布列及期望．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．．19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求b-a的最小值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，射線的傾斜角為，且斜率.曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）；在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)分別求出曲線和射線的極坐標(biāo)方程；(2)若與曲線，交點(diǎn)(不同于原點(diǎn))分別為A,B，求|OA||OB|的取值范圍.21．（12分）已知，且滿足.（1）求；（2）若，，求的取值范圍.22．（10分）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)Ⅱ根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：全稱命題的否定是特稱命題，直接寫出結(jié)果即可．詳解：∵全稱命題的否定是特稱命題，∴命題“?x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是?x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1，故選：A．點(diǎn)睛：本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的關(guān)系，基本知識的考查，注意命題的否定與否命題的區(qū)別．命題的否定是既否結(jié)論，又否條件；否命題是只否結(jié)論.2、D【解題分析】函數(shù)有意義，則，函數(shù)的值域是，即.本題選擇D選項(xiàng).3、D【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),求出函數(shù)在(－∞，0]上的解集,再根據(jù)對稱性即可得出答案.【題目詳解】由函數(shù)為偶函數(shù),所以,又因?yàn)楹瘮?shù)在(－∞，0]是減函數(shù),所以函數(shù)在(－∞，0]上的解集為,由偶函數(shù)的性質(zhì)圖像關(guān)于軸對稱,可得在(0,+∞)上的解集為(0,2),綜上可得,的解集為(-2,2).故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,借助于偶函數(shù)的性質(zhì)解不等式,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

分別求解出集合和，根據(jù)交集的結(jié)果可確定的范圍.【題目詳解】，本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)交集的結(jié)果求解參數(shù)范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】分析：利用定積分的運(yùn)算求得m的值，再根據(jù)乘方的幾何意義，分類討論，求得xm﹣2yz項(xiàng)的系數(shù)．詳解：3sinxdx=﹣3cosx=﹣3（cosπ﹣cos0）=6，則（x﹣2y+3z）m=（x﹣2y+3z）6，xm﹣2yz=x4yz．而（x﹣2y+3z）6表示6個(gè)因式（x﹣2y+3z）的乘積，故其中一個(gè)因式取﹣2y，另一個(gè)因式取3z，剩余的4個(gè)因式都取x，即可得到含xm﹣2yz=x4yz的項(xiàng)，∴xm﹣2yz=x4yz項(xiàng)的系數(shù)等于故選：B．點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是二項(xiàng)式中的特定項(xiàng)的系數(shù)問題，在做二項(xiàng)式的問題時(shí)，看清楚題目是求二項(xiàng)式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時(shí)，是不是缺少首項(xiàng)；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等。6、D【解題分析】注意n為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設(shè)．解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意n為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)n=2k-1（k∈N*）正確，再推n=2k+1正確；故選D．本題是基礎(chǔ)題，不僅注意第二步的假設(shè)，還要使n=2k-1能取到1，是解好本題的關(guān)鍵．7、B【解題分析】12或67為空時(shí)，第三個(gè)空位有4種選擇；23或34或45或56為空時(shí)，第三個(gè)空位有3種選擇；因此空位共有2×4+4×3=8、D【解題分析】

求導(dǎo)得到，函數(shù)單調(diào)遞減，故，解得答案.【題目詳解】，則恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞減，，故，解得或.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.9、A【解題分析】因?yàn)?若,則,，故選A.10、C【解題分析】

根據(jù)頻率分布表可知頻率最大的分組為，利用中點(diǎn)值來代表本組數(shù)據(jù)可知眾數(shù)為；根據(jù)中位數(shù)將總頻率分為的兩部分，可構(gòu)造方程求得中位數(shù).【題目詳解】根據(jù)頻率分布表可知，頻率最大的分組為眾數(shù)為：設(shè)中位數(shù)為則，解得：，即中位數(shù)為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用樣本的數(shù)據(jù)特征估計(jì)眾數(shù)和中位數(shù)的問題，關(guān)鍵是明確眾數(shù)和中位數(shù)的概念，掌握用樣本估計(jì)總體的方法.11、D【解題分析】

由題意首先求得的值，然后確定的大小即可.【題目詳解】由可得：，則，據(jù)此可得.本題選擇D選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12、D【解題分析】分析：先化簡集合P,Q，再求.詳解：由題得，，所以.故答案為：D.點(diǎn)睛：本題主要考查集合的化簡與交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義將的最小值轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)與區(qū)域中的點(diǎn)的距離最小的問題利用圖形求解．【題目詳解】如圖，作出對應(yīng)的區(qū)域，由于為虛數(shù)單位），所以表示點(diǎn)與兩點(diǎn)之間的距離，由圖象可知的最小值為到直線的距離，即，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查一定點(diǎn)與區(qū)域中的一動點(diǎn)距離最值的問題，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．14、1120【解題分析】由題意可得：n=8.∴通項(xiàng)公式，令=2，解得r=4.∴展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：1120.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).15、【解題分析】

設(shè)冪函數(shù)的解析式為，代入點(diǎn)，得到的值，得到的解析式和定義域，再寫出的解析式，研究其定義域和單調(diào)區(qū)間，從而求出的減區(qū)間.【題目詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為代入點(diǎn)，得，所以所以冪函數(shù)為，定義域?yàn)?，所以，則需要即其定義域?yàn)榛?，而的對稱軸為所以其單調(diào)減區(qū)間為所以的減區(qū)間為.【題目點(diǎn)撥】本題考查求冪函數(shù)的解析式，求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于簡單題.16、1；【解題分析】

分別計(jì)算側(cè)面積和底面積后再比較．【題目詳解】由題意，，，∴．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐的側(cè)面積，掌握側(cè)面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）由曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，可得，從而得到答案；（Ⅱ）令函數(shù)，要證，即證，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可?！绢}目詳解】（Ⅰ）由題可得;，由于曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，得，即，解得：；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，要證明，即證：；令，求得；令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，從而?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，屬于中檔題。18、（1）不能有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）①約為1683人，②見解析【解題分析】

（1）根據(jù)題目所給信息，完成表2，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2的觀測值k，查表判斷即可；

（2）利用頻率分布直方圖求解平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，推出正式測試時(shí)，μ=185+10=195，σ=13，μ-σ=1．

①，由此可推出人數(shù)．

②由正態(tài)分布模型，全年級所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為0.5，得到ξ服從，求出ξ的分布列，然后求解期望即可．【題目詳解】（1）在抽取的

100

人中

，

滿分的總?cè)藬?shù)為

100×(0.03+0.01+0.008)×10=48人，男生滿分的有

28

人，所以女生滿分的有

20

人，男生共有

46

人，女生

54

人，所以男生跳繩個(gè)數(shù)不足

185

個(gè)的有46?28=18人，女生跳繩個(gè)數(shù)不足

185

的有

54?20=34

人，完成表2如下圖所示：跳繩個(gè)數(shù)合計(jì)男生281846女生203454合計(jì)4852100由公式可得，因?yàn)?，所以不能?9%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）①根據(jù)頻率分布直方圖可得初三上學(xué)期跳繩個(gè)數(shù)的平均數(shù)：，而，所以正式測試時(shí)，，故服從正態(tài)分布，且，則，所以，故正式測試時(shí)，1分鐘跳1個(gè)以上的人數(shù)約為1683人；②，服從，，，，，則的分布列為：0123．【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算、獨(dú)立性檢驗(yàn)和正態(tài)分布的問題，以及二項(xiàng)式分布，主要考查分析數(shù)據(jù)，處理數(shù)據(jù)的能力，綜合性強(qiáng)，屬中檔題.19、(1)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），減區(qū)間為（1，e）;(2).【解題分析】分析：（Ⅰ）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）由題意得，可得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，即恒成立，，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，即可得的最小值.詳解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞1）．f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=1，得x=e．x∈（1，e）時(shí)，f′（x）＜1，∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＞1．函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），減區(qū)間為（1，e）；（Ⅱ）由題意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞1）．令f′（x）=1，得x=ea．x∈（1，ea）時(shí)，f′（x）＜1，∈（ea，+∞）時(shí)，f′（x）＞1．函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（ea，+∞），減區(qū)間為（1，ea）∴f（x）min=f（ea）=﹣e2a﹣ea+b，∵f（x）≥1恒成立，∴f（ea）=﹣e2a﹣ea+b≥1，則b≥e2a+ea．∴b﹣a≥e2a+ea﹣a令ea=t，（t＞1），∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt，設(shè)g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞1），g′（t）=．當(dāng)t∈（1，）時(shí)，g′（t）＜1，當(dāng)時(shí)，g′（t）＞1．∴g（t）在（1，）上遞減，在（，+∞）遞增．∴g（t）min=g（）=．f（x）≥1恒成立，b﹣a的最小值為．點(diǎn)睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)