《高等數(shù)學(xué)微積分》

《高等數(shù)學(xué)微積分》匯報(bào)人：AA2024-01-24微積分基本概念與性質(zhì)一元函數(shù)微分學(xué)及應(yīng)用一元函數(shù)積分學(xué)及應(yīng)用多元函數(shù)微積分學(xué)及應(yīng)用無窮級(jí)數(shù)理論及應(yīng)用微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用舉例目錄01微積分基本概念與性質(zhì)微分學(xué)起源于17世紀(jì)，主要為了解決曲線的切線問題和函數(shù)的極值問題。從牛頓和萊布尼茲的初創(chuàng)時(shí)期，到柯西、魏爾斯特拉斯等人的嚴(yán)格化，微分學(xué)逐漸發(fā)展成為一個(gè)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分支。微分學(xué)起源與發(fā)展微分學(xué)的發(fā)展微分學(xué)的起源微分與導(dǎo)數(shù)定義微分定義微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部變化率，即函數(shù)值的增量與自變量增量的比值在自變量增量趨于0時(shí)的極限。導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，即函數(shù)在該點(diǎn)處的局部變化率。微分性質(zhì)微分具有線性性、可加性、乘法法則等基本性質(zhì)。運(yùn)算規(guī)則包括常數(shù)規(guī)則、冪函數(shù)規(guī)則、三角函數(shù)規(guī)則、指數(shù)函數(shù)規(guī)則等。微分性質(zhì)及其運(yùn)算規(guī)則積分學(xué)起源于17世紀(jì)，主要為了解決面積、體積等問題的計(jì)算。積分學(xué)起源從牛頓和萊布尼茲的初創(chuàng)時(shí)期，到柯西、黎曼等人的嚴(yán)格化，積分學(xué)逐漸發(fā)展成為一個(gè)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分支。積分學(xué)的發(fā)展積分學(xué)起源與發(fā)展定積分是函數(shù)在某一區(qū)間上的面積，即該函數(shù)在該區(qū)間上與x軸所圍成的面積。定積分定義不定積分是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)的過程，其結(jié)果是一個(gè)函數(shù)族。不定積分定義定積分與不定積分定義積分性質(zhì)積分具有線性性、可加性、乘法法則等基本性質(zhì)。運(yùn)算規(guī)則包括常數(shù)規(guī)則、冪函數(shù)規(guī)則、三角函數(shù)規(guī)則、指數(shù)函數(shù)規(guī)則等，以及分部積分法、換元法等常用方法。積分性質(zhì)及其運(yùn)算規(guī)則02一元函數(shù)微分學(xué)及應(yīng)用通過極限的概念定義導(dǎo)數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即切線斜率。導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，如多項(xiàng)式、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則理解復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法，如鏈?zhǔn)椒▌t和反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)法則掌握隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，通過對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，解出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)的求導(dǎo)法則理解參數(shù)方程求導(dǎo)的方法，通過參數(shù)方程中各個(gè)變量之間的關(guān)系，求出參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。參數(shù)方程的求導(dǎo)法則高階導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法。要點(diǎn)一要點(diǎn)二高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例通過舉例說明高階導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如加速度、jerk等物理量的計(jì)算。高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算及應(yīng)用舉例VS理解微分中值定理的內(nèi)容和意義，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。微分中值定理的應(yīng)用掌握微分中值定理在證明不等式、求解方程等方面的應(yīng)用方法。微分中值定理微分中值定理及其應(yīng)用洛必達(dá)法則的內(nèi)容和意義理解洛必達(dá)法則的內(nèi)容和意義，即在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)來簡化極限的計(jì)算。洛必達(dá)法則的應(yīng)用舉例通過舉例說明洛必達(dá)法則在極限計(jì)算中的應(yīng)用方法。洛必達(dá)法則在極限計(jì)算中應(yīng)用理解泰勒公式的內(nèi)容和意義，即將一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)附近展開成無窮級(jí)數(shù)的形式。通過舉例說明泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用方法，如求函數(shù)的近似值、估計(jì)誤差等。泰勒公式的內(nèi)容和意義泰勒公式的應(yīng)用舉例泰勒公式在近似計(jì)算中應(yīng)用03一元函數(shù)積分學(xué)及應(yīng)用通過湊微分，將復(fù)雜的不定積分轉(zhuǎn)化為簡單的基本積分公式進(jìn)行計(jì)算。湊微分法換元法分部積分法通過變量代換，將不定積分轉(zhuǎn)化為另一種易于計(jì)算的形式。利用乘積的微分公式，將不定積分拆分為兩個(gè)易于計(jì)算的積分進(jìn)行計(jì)算。030201不定積分計(jì)算方法

定積分計(jì)算方法牛頓-萊布尼茲公式通過求解被積函數(shù)的原函數(shù)，并利用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分的值。定積分的換元法通過變量代換，將定積分轉(zhuǎn)化為另一種易于計(jì)算的形式。定積分的分部積分法利用乘積的微分公式，將定積分拆分為兩個(gè)易于計(jì)算的積分進(jìn)行計(jì)算。無窮限廣義積分通過變量代換或分部積分等方法，將無窮限廣義積分轉(zhuǎn)化為定積分或易于計(jì)算的形式進(jìn)行計(jì)算。瑕積分通過分析被積函數(shù)在瑕點(diǎn)附近的性質(zhì)，將瑕積分轉(zhuǎn)化為定積分或易于計(jì)算的形式進(jìn)行計(jì)算。廣義積分計(jì)算方法利用定積分計(jì)算平面圖形的面積，如直線、圓、橢圓等。平面圖形的面積利用二重或三重定積分計(jì)算空間立體的體積，如長方體、球體、圓柱體等?？臻g立體的體積利用定積分計(jì)算物理量，如質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等。物理量的計(jì)算積分在幾何和物理中應(yīng)用舉例分離變量法微分方程求解方法通過分離變量，將微分方程轉(zhuǎn)化為可求解的常微分方程進(jìn)行計(jì)算。一階線性微分方程求解法通過求解一階線性微分方程，得到通解或特解。通過求解高階常系數(shù)線性微分方程，得到通解或特解。高階常系數(shù)線性微分方程求解法通過求解一階齊次線性微分方程，得到通解或特解，并舉例進(jìn)行驗(yàn)證。一階齊次線性微分方程通過求解一階非齊次線性微分方程，得到通解或特解，并舉例進(jìn)行驗(yàn)證。一階非齊次線性微分方程一階線性微分方程求解舉例04多元函數(shù)微積分學(xué)及應(yīng)用03多元函數(shù)的間斷點(diǎn)與分類01多元函數(shù)極限的定義與性質(zhì)02多元函數(shù)連續(xù)性的定義與判定多元函數(shù)極限與連續(xù)性01020304偏導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算全微分的定義與計(jì)算多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念及計(jì)算多元函數(shù)極值問題求解方法010203條件極值的拉格朗日乘數(shù)法最小二乘法在極值問題中的應(yīng)用多元函數(shù)的極值定義與判定二重積分的定義與性質(zhì)二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)）二重積分的應(yīng)用（面積、體積、質(zhì)心等）二重積分計(jì)算方法三重積分的定義與性質(zhì)三重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)與球面坐標(biāo)）三重積分的應(yīng)用（質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等）三重積分計(jì)算方法010204曲線曲面積分計(jì)算方法第一類曲線積分的定義與計(jì)算第二類曲線積分的定義與計(jì)算第一類曲面積分的定義與計(jì)算第二類曲面積分的定義與計(jì)算0305無窮級(jí)數(shù)理論及應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法比較判別法、比值判別法、根值判別法等任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法萊布尼茨判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法等常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法冪級(jí)數(shù)展開與收斂域確定冪級(jí)數(shù)展開泰勒級(jí)數(shù)、麥克勞林級(jí)數(shù)等收斂域確定根據(jù)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，通過求解不等式來確定收斂域一致收斂性定義及性質(zhì)一致收斂性判別法：魏爾斯特拉斯判別法、狄利克雷判別法、阿貝爾判別法等函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別法無窮乘積的定義及性質(zhì)無窮乘積與無窮級(jí)數(shù)的關(guān)系：通過取對(duì)數(shù)等方法將無窮乘積轉(zhuǎn)化為無窮級(jí)數(shù)進(jìn)行處理無窮乘積與無窮級(jí)數(shù)關(guān)系探討無窮級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中應(yīng)用舉例利用已知的無窮級(jí)數(shù)展開式進(jìn)行近似計(jì)算，如計(jì)算圓周率、自然對(duì)數(shù)的底等無窮級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用通過截?cái)嗾`差、舍入誤差等分析近似計(jì)算的精度近似計(jì)算的誤差分析06微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用舉例邊際分析微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用于邊際分析，如計(jì)算邊際成本、邊際收益等，以幫助企業(yè)做出最優(yōu)決策。彈性分析微分可用于計(jì)算需求彈性、供給彈性等，以分析市場價(jià)格的變動(dòng)對(duì)需求和供給的影響。最優(yōu)化問題微分可用于求解經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問題，如最大化利潤、最小化成本等。微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用舉例總收益與總成本計(jì)算積分可用于計(jì)算總收益和總成本，進(jìn)而分析企業(yè)的盈利狀況。長期經(jīng)濟(jì)增長模型積分可用于構(gòu)建長期經(jīng)濟(jì)增長模型，分析經(jīng)濟(jì)增長的趨勢和影響因素。消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余積分可用于計(jì)算消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余，以衡量市場的效率和公平性。積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用舉例微積分可用于求解Black-Scholes等期權(quán)定價(jià)模型，以確定股票期權(quán)的合理價(jià)格。股票期權(quán)定價(jià)微積分可用于求解投資組合優(yōu)化問題，如馬克維茨均值-方差模型，以實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化和收益最大化。投資組合優(yōu)化微積分可用于構(gòu)建利率期限結(jié)構(gòu)模型，分析不同期限債券的收益率和風(fēng)險(xiǎn)。利率期限結(jié)構(gòu)模型微積分在金融領(lǐng)域應(yīng)