四川省眉山市2023屆高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)(理)試題（解析版）

眉山市高中2023屆第一次診斷性考試

數(shù)學(xué)(理工類)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知i是虛數(shù)單位，若”+2i與1+加互為共軌復(fù)數(shù)，則(。+的)=()

A.5-4iB.5+4iC.-3-4zD.-3+4i

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念可求得a力的值，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求得結(jié)果.

【詳解】由已知可得所以(。+萬)2=(1—2i)2=l—4i+4i2=—3—4i.

故選：C

2.已知集合4={小2+x-6<。},8={止1<%<3},則AD5=()

A.(-3,3)B.(-2,3)C.(—1,5)D.(-5,3)

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合A,根據(jù)并集的運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】解d+x—6<0可得，一3<%<2,所以A={x|-3<x<2},

所以AUJB={x|-3<x<2}u{x|-1<x<3}={x|-3<x<3}.

故選：A.

3.采購經(jīng)理指數(shù)(PMI),是通過對企業(yè)采購經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企

業(yè)采購、生產(chǎn)、流通等各個環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國際上通用的檢測宏觀經(jīng)濟(jì)走勢的先行

指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測、預(yù)警作用.制造業(yè)PMI高于50%時，反映制造業(yè)較上月擴(kuò)張；低于50%,

則反映制造業(yè)較上月收縮.下圖為我國2021年1月一2022年6月制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)統(tǒng)計圖.

4(%)

2021年1月一2022年6月制造業(yè)指數(shù)(PMI)

50

4511___iiii___iiii___1?,11111___1?

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1月2月3月4月5月6月

2021年2022年

根據(jù)統(tǒng)計圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁棡?)

A.2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮

B.2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張

C.2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮

D.2022年6月PMI重回臨界點(diǎn)以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴(kuò)張

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，將各個月的制造業(yè)指數(shù)與5()%比較，即可得到答案.

【詳解】對于A項，由統(tǒng)計圖可以得到，只有9月份的制造業(yè)指數(shù)低于5()%,故A項錯誤；

對于B項，由統(tǒng)計圖可以得到，10月份的制造業(yè)指數(shù)低于50%,故B項錯誤；

對于C項，由統(tǒng)計圖可以得到，1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于50%,故C項錯誤；

對于D項，由統(tǒng)計圖可以得到，從4月份的制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢，且在2022年6月PMI超過5()%,

故D項正確.

故選：D

4.已知函數(shù)f(x)=2x+*(xeR),則“力的圖象()

A.關(guān)于直線x=l對稱B.關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱C.關(guān)于直線x=0對稱D.關(guān)于原點(diǎn)對稱

【答案】A

【解析】

【分析】求出“2-x)以及"-力的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的對稱性，即可判斷各項，得到結(jié)果.

444

【詳解】對于A項，由已知可得，/(2-x)=22-v+^7=4-^V-+^=2'+^=/(%),

所以/(x)的圖象關(guān)于直線X=1對稱，故A項正確;

對于B項，因為〃2一%)=2、+',則于(2-尤)=一/⑺,故B項錯誤;

對于C項，f(-.V)=2'+-―^=4-2A+—,則/(—x)。/(X),故C錯誤;

對于D項，因為/(_1)=4.2<+埃，貝U/(T)KX),故D錯誤.

故選:A

【點(diǎn)睛】設(shè)/(力的定義域為O.

對于VXGO,若“2a-x)=/(x)恒成立，則/(力的圖象關(guān)于直線x=a對稱;

對于Vxe。，若,f(2ar)=—/(x)恒成立，則/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。,0)對稱.

5.黨的二十大報告既鼓舞人心，又催人奮進(jìn).為學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，某宣講小分隊將5名宣講員分

配到4個社區(qū)，每個宣講員只分配到1個社區(qū)，每個社區(qū)至少分配1名宣講員，則不同的分配方案共有()

A.480種B.240種C.120種D.60種

【答案】B

【解析】

【分析】先選出2人為1組有C；種，再將4組人員分配到4個社區(qū)有A：,根據(jù)分步計數(shù)原理，即可求出

結(jié)果.

【詳解】5名宣講員分配到4個社區(qū)，每個社區(qū)至少1人，則分配方式為1,1,1,2,

先選出2人為1組有C；=10種，再將4組人員分配到4個社區(qū)有A：=24,

所以不同的分配方案共有10x24=240.

故選：B.

6.函數(shù)〃月=與竺土在區(qū)間［一2兀,2兀］上的圖象大致為()

e'+e'

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號分析判斷.

2(-X)3COS(-X)_2X3COSX

【詳解】IS)=-"x)'

e-JC+evex+e-x

.??/（X）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，C、D錯誤;

又：若XG（O,2K|時，2/>0,ev+e^>0,

當(dāng)工6（0,5）1；（沫,2兀）時,

cosx>0,cosx<0,

.?.當(dāng)T（）g]u]￡,2兀卜，〃x）>0,當(dāng)爸時，/。）<0,

A錯誤，B正確;

故選：B.

7.已知sin（a+：）=；,則sin（2a+的值為（）

.7472?45/2

D?---------

999

【答案】D

【解析】

【分析】以a+,IT為整體，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式運(yùn)算求解.

(5兀、兀7

【詳解】Vsin2?+—=sin+—=cos2a+—=l-2sin2a+—=l-2x]一

I6J2I6；I6)⑶9

故選：D.

8.如圖所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”

最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，….如圖所示的程序框圖，輸出的S即為小球總數(shù),

則5=（）

A.35C.84D.120

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)第〃層小球個數(shù)為凡，根據(jù)程序框圖可知，輸出的5=%+4+%+4+%+4,求出各個數(shù)

即可得到.

(〃22).

【詳解】設(shè)第〃層小球個數(shù)為見，由題意可知，an-an_}=n

根據(jù)程序框圖可知，輸出的S=%+。2+。3++。5+。6，

又4=1,4=3,%=6,a4=a3+4=10,tz5=+5=15,&=%+6=21,

所以5=1+3+6+10+15+21=56.

故選：B.

9.過拋物線C：V=2Px(p>0)的焦點(diǎn)產(chǎn)且傾斜角為銳角的直線4與C交于兩點(diǎn)A,8(橫坐標(biāo)分別為乙，

乙，點(diǎn)A在第一象限)，4為C的準(zhǔn)線，過點(diǎn)A與4垂直的直線與4相交于點(diǎn)例.若|AE|=|FM|,則&=

XB

()

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可求得直線4的斜率為6，則直線4的方程為y二3.,聯(lián)立直線與拋物線的方程,

可求出貓，與，即可解得結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線4的斜率為攵，傾斜角為。，0＜。＜^

由拋物線的定義知，|AM|=|A尸又|A目=|EW|,所以△酢M為等邊三角形，且AM/戊軸，所以

0=/.FAM=三，則左=tan8=G.

FR,。)，則直線4的方程為丫=可無一"

y2=2px

聯(lián)立直線4的方程與拋物線的方程，y_b可得12》2—20川+3P2=0,

33

解得X=-P'X]=—,顯然x4＞Xg,所以x.—p,Xp—~，

2'626

3

2

所乩=

-一=9.

1

6P

故選：C.

10.如圖,在長方體ABC。-4MCQ中，底面ABCQ為正方形，E,F分別為用弓，CQ的中點(diǎn)，直線BE

與平面A3用4所成角為45，給出下列結(jié)論:

①EFII平面BBRD；②EF工4G；

③異面直線8E與。尸所成角為60;④三棱錐3—CEE的體積為長方體體積的

其中，所有正確結(jié)論的序號是()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】取BC中點(diǎn)為G,可證明平面EFG〃平面BgR。，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可判斷①；可證明

4。1，平面84。。，即可判斷②；可證明四邊形BE"”是平行四邊形，即可得到。進(jìn)而可得

NHA/即等于所求角，求出該角即可判斷③；以BCE為底,即可求出三棱錐的體積，進(jìn)而判斷④.

【詳解】

取中點(diǎn)為G,連結(jié)EG,EG.

對于①，因為E,R,G分別是Bq,CD.BC中點(diǎn)，所以EG//BBI,FG//BD,

因為u平面BBRD,EG<Z平面BBRD,所以EGH平面BBRD,

同理，EG〃平面BBQD.

因為，EGu平面EFG,FGu平面EFG,EG\FG=G,所以平面EFG〃平面

又五戶u平面EFG,所以E尸〃平面所以①正確；

對于②，由已知可得四邊形AMGA是正方形，^,0,1

又BBY±平面A4G2,AGu平面，所以BB】_LAG,

因為BQiu平面BBQ。，BB]u平面BBtDtD,BBtCBtDt=B],所以AG平面BBRD,

又EF//平面BBQQ,所以E/J.AG，故②正確；

對于③，取A。中點(diǎn)為H，連結(jié)BH,D[H,D]E,HF.

ULMUUUUUUUUU1UULUUUUUUUUULUUUU]UUUBI]UlllUUU'UU1UULU

因為8￡=8耳-E4，HD\=DD「DH，BB】=DD、，EB、=~CA、DA=DH,所以BE=HR，

所以BE〃HA且BE=H2,

所以四邊形BEDXH是平行四邊形，則D.H//BE,所以異面直線BE與DF所成角即等于直線DtH與RF

所成角NHDF,

因為直線8E與平面4所成角為45，與。|，平面46q4,所以NE3g=45,所以gE=8g,

設(shè)45=2，則=4E=；BG=1,則DF=RH=FH=&

所以V?！笨跒榈冗吶切危訬4D7=6()°,故③正確；

對于④，設(shè)長方體體積為V,則V=C￡>XBCXCCL

因為CO_L平面BCGB,,則VB_CEF=VF_BCE=^XCFXSVBCE=|XCFX|BCXCC,

=^xCDxBCxCC]=^V,故④正確.

故①②③④正確.

故選：D.

22

11.已知橢圓c：0+方=l(a>Z?>0)的左焦點(diǎn)為耳，離心率為e,直線y=^(AHO)與C交于點(diǎn)M,

41

N,且,NM與N=120。.當(dāng)—/一02取最小值時，橢圓c的離心率為()

38

A|B.—C.3D.顯

2223

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線和橢圓的對稱性可得名為平行四邊形，再由NMF\N及向量的數(shù)量積可求。2,再應(yīng)用

基本不等式,取等條件計算即可.

【詳解】因為直線y=-(AwO)與C交于點(diǎn)M，N,

設(shè)。為MN的中點(diǎn)，由0為6月的中點(diǎn)，故四邊形加耳叫為平行四邊形.

則因N|=|咋由橢圓定義得用+附閭=2”

設(shè)|監(jiān)|=m,\MF,\=因為耳"Nf；=g,所以6M(ENbl,又因NM￡N=120。

在△6M心中，NK“E=60,應(yīng)用余弦定理

22

內(nèi)=nr+/-2mncosZF{MF2=m+n-〃2力=（加+〃）~-3mn

所以4c2=-8,又因為匕2+,所以從=2

12212a2-2/2

—a-e——a---------------=-------1---1=0

88a28a2

2Q1

當(dāng)且僅當(dāng)幺=W,即/=4時g/一取最小值,此時，=〃一k=4—2=2

8a28

則”消

001

12.設(shè)a=0.035,^=2.25(e-l)>c=41nl.01,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】

7

【分析】構(gòu)建/(x)=ln(x+l)-7X,求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可證c>a,再構(gòu)建

O

1I

g(x)=e*-e*x—l，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可證，再證

1014

eool-l<O.Ole4<—,即可得匕<a.

9

/\\7q(\171-7x

【詳解】構(gòu)建〃x)=ln(x+l)-則了=

當(dāng)0<x<3時，則用勾>0,故在(0,；)上單調(diào)遞增，

???O.Olefo,1,則”().01)>/(0)=0,即In1.01—%

>0,

.,.41n1.01>0.035,即c>a,

I2

構(gòu)建g(x)=e"—/工一1'則g'(x)=e'-e4'

當(dāng)0<x<；時，則g'(x)<0,故g(x)在(0,；)上單調(diào)遞減,

0.01e（0q）,則g（0.01）<g（0）=0,即—o.oie”一1<0

eool-l<O.Ole^'

又匕j=必>3>e,則e久匕

V9J65619

e°*l<0.011〈等，故2.25（e°°i

1）<0.035,即b<a,

綜上所述：h<a<c.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

7

①若證c>4,構(gòu)建/(x)=ln(x+l)—G%，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析判斷；

O

1

②若證b<a,構(gòu)建g(x)=e「_e4x_l，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析判斷，并根據(jù)題意適當(dāng)放縮證明.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x-2y-4<0

13.若x,y滿足約束條件<x-y—220,則z=2x-3y的最大值為.

y<0

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，通過平行y=]]確定z的最大值.

【詳解】如圖，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，

x~~~2y*-4=0x—4

聯(lián)立方程〈八，解得<—,、，即C(4,o),

y=o[y=o

2「z、2z

由z=2x-3y,即曠=.表示斜率左=一，橫截距為一的直線/,

3\2y32

通過平移可得當(dāng)直線/過點(diǎn)C時;橫截距最大，即z最大，故Zm”=2x4—3x0=8.

故答案為：8.

14.已知向量〃=(1,3),b則向量〃與向量人的夾角為

【答案】彳##135

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求夾角即可得到.

【詳解】由已知可得，a2=(l,3>(2,T)=lx2+3x(T)=—10,|?|=Vl2+32=V10,

慟=百+(-盯=26,

-10_72

則由4小=卜1?忖cos(a肪可得，cos(a-b

710x275-2

所以，向量Q與向量的夾角為一7.

故答案為：—.

4

15.若函數(shù)/(x)=sins+Gcos5(⑦>())的最小正周期為兀，則滿足條件“/(x+°)是偶函數(shù)”的

9的一個值為(寫出一個滿足條件的9即可).

■jr5兀77rTEKTT

【答案】—(答案不唯一，也可以寫一工，—,符合'+「，ZeZ即可)

121212122

【解析】

【分析】化簡可得〃x)=2sin(s+?,又根據(jù)周期可得〃尤)=25m(2%+1)，即可得到

/(x+8)=2sin(2x+20+l],根據(jù)偶函數(shù)可得夕=]+?,keZ.

【詳解】/(x)=sinox+Gcoscox=2—sins+——coscoxs+n,

223

又了(九)的最小正周期為兀，所以得=兀，則口=2,所以/(x)=2sin(2x+mj,

所以/(x+0)=2sin2x+2°+；).

又因為/(x+0)是偶函數(shù)，所以應(yīng)滿足20+1=]+E，keZ,

所以有夕;專+5,ZeZ.

兀

故答案為：一.

12

16.已知0是邊長為3的正三角形ABC的中心，點(diǎn)P是平面ABC外一點(diǎn)，P01平面ABC,二面角

P-AB-。的大小為60。，則三棱錐P-A8C外接球的表面積為.

【答案】竺49兀

4

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析可得二面角P-AB-C的平面角為N~DC=60。，進(jìn)而可得相關(guān)長度，再結(jié)合球

的性質(zhì)可得MC2=MO2+OC2,可得球的半徑，即可得結(jié)果.

【詳解】：。是正三角形A8C的中心，則。4=O3=OC,

PA=PB=PC,

取AB的中點(diǎn)O,連接PD,C。，則尸。即二面角P-AB-。的平面角為NPDC=60°，

由正三角形ABC的邊長為3,則OC=2OD=也,PO=y/3OD=-,

2

三棱錐P—ABC為正三棱錐，則三棱錐P—ABC的外接球的球心/在直線尸。上，設(shè)三棱錐產(chǎn)一ABC的

外接球的半徑為R,

222

'：MC=MO+OC>則R2=(3—R]+3，解得R=Z,

12)4

,49

二三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4無R-=一兀.

4

49

故答案為：—兀.

4

p

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：球的相關(guān)性質(zhì)：

①球的截面均為圓面；

②球心與截面圓心的連線垂直于該截面.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計.現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y（單位：萬元/噸）

及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù).現(xiàn)分別用兩種模型①y=-+a,②y=4+c進(jìn)行擬

合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值:

20.202020

Z(—)2

Xy7-歹)(蒼-可)

/=1/=!/=1/=!

14.5100.086650.04-4504

1

表中4=一,

X,

>（._y）2

2

若用尸---------刻畫回歸效果，得到模型①、②的a值分別為Rj=o.7891,/?2=0.9485.

9）2

/=1

（1）利用居2和比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求y關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時y的預(yù)

報值.

附：對于一組數(shù)據(jù)（4，/），（%，％），…，其回歸直線$=&+6x的斜率和截距的最小二乘法

EU--^）（x-y）

估計分別為8=J-----------,a=y-px.

￡（玉-對

1=1

【答案】（1）選擇模型②，理由見解析；

（2）6.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知&2〉a2,根據(jù)R2的意義，即可得出模型②的擬合效果好，選擇模型②；

（2）>與，可用線性回歸來擬合，有3=濟(jì)+￡,求出系數(shù)）,3,得到回歸方程夕=100，+2,即可得到成

本費(fèi)y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量X的回歸方程為￡=U獨(dú)+2,代入x=25,即可求出結(jié)果.

x

【小問1詳解】

應(yīng)該選擇模型②.

由題意可知，R2?>R］，則模型②中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和￡（為一￡）2比模型①中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方

i=l

和小，即模型②擬合效果好.

【小問2詳解】

由已知成本費(fèi)y與，可用線性回歸來擬合，有$=命+2.

X

20

?（%一）（一）4

由已知可得，2=且05-----------=大二=10°，

V—/—\20.04

zu-o

1=｛

所以1=夕一辦=1（）一l（）（）x（）.（）8=2,

則y關(guān)于t的線性回歸方程為9=100,+2.

成本費(fèi)y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量X的回歸方程為9=W2+2,

X

當(dāng)％=25（噸）時，y=+2=6（萬元/噸）.

所以，同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時y的預(yù)報值為6萬元/噸.

18.已知｛〃〃｝為等差數(shù)列，且。］=1,4=3（〃4—%）?

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

2

（2）若數(shù)列也｝滿足：b,+2b2+2b3+...+2'-'b?=eN*）,求也｝前〃項和S”.

【答案】（1）an=n

（2）S=1-—

"2"

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式運(yùn)算求解；（2）先根據(jù)前"項和與通項之間的關(guān)系求得“=1,

2

可得｛〃,｝為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前"項和公式運(yùn)算求解.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛為｝的公差為"，

：4=3（%一4），則q+5d=64,即4=4=1,

：.an=\+n-\=n,

故數(shù)列｛q｝的通項公式an=n.

【小問2詳解】

n

?.?白+2打+4+…+2-'bn=,

當(dāng)〃=1時，則。］="=’；

122

當(dāng)〃22時，則4+2%+224+…+,

兩式相減得2"-'bn=%；紅=g,則〃=g；

綜上所述：2=3.

1

h],、11

又：寸=上「=5,故數(shù)列出｝是以首項仇=,，公比4=2的等比數(shù)歹I，

r

???數(shù)列｛〃｝的前〃項和

2

19.已知二ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c從下列三個條件中選擇一個并解答問題:

①如乂=*+乎②CnC=R

beabaca

01

③。-,一。+—bc=abcosC.

2

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若c=3,且d48c的面積為3j§，求_A8C的周長.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

JT

【答案】(1)An1；

⑵7+713.

【解析】

【分析】(1)如選擇①，由已知可得2acosA=ccos3+/?cosC,根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式的

逆用，即可得出cosA=/,進(jìn)而求出A；如選擇②，由已知可得acosC-怎sinC=Z?-2c，根據(jù)正弦

定理以及兩角和的正弦公式，即可得出cosA+&sinA=2,利用輔助角公式可得sin(A+看)=1,根據(jù)

角的范圍即可求出A；如選擇③，由余弦定理可得，a2-c2+-bc^a'+b'~C',化簡即有

22

222

bc=b+c-a＞進(jìn)而求出cosA=,，即可求出A；

2

(2)根據(jù)三角形的面積公式5ABC=；"csinA即可求出匕=4,根據(jù)余弦定理即可求出。=屈，進(jìn)而即

可得到；ABC的周長.

【小問1詳解】

"、，……-2cosAcos3cosCccosB+bcosC

如選擇①，有------=------+------=----------------,

beahacabc

即2acosA=ccosB+Z;cosC,

由正弦定理可得，2sinAcosA=sinCcos5+sin3cosC=sin(B+C)=sinA,

又sinAoO,所以cosA=4，

2

TT

因為0＜4＜兀，所以A=1.

b2c

如選擇②，由cosC—J§sinC==^可得，acosC—百asinC=6—2c，

a

由正弦定理可得，sinAcosC—5/3sinAsinC=sinB-2sinC，

又sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinCcosA+百sinAsinC=2sinC，又sinCw(),

所以cosA+GsinA=2,即2x—cosA+--sinA=2sinIA+—j=2,

122JI6/

因為0<AVTI,所以一—<—，所以A+二=色，解得A==.

666623

如選擇③，a2-c2+—hc=abcosC.

2

u?，人」+—r/曰2217i。一+8一一C~6?"+Z?_-C~

由余弦定理可得，a~—c~+—hc=ab-----------=-----------，

22ab2

整理可得，bc=b2+c2—a2所以cosA="+'----=-^-=—?

2bc2hc2

因為0<A<7I,所以A=1jr.

【小問2詳解】

由(1)知，A=],又c=3,且，ABC的面積為3指，

所以有S7ABe=g8csinA=gx3"x^^=3\^，解得匕=4,

由余弦定理可得，?2=^2+c2-2Z?ccosA=42+32-2x4x3x1=13,

2

所以a=y/\3>

所以-ABC的周長L=a+b+c=7+而.

20.如圖，四棱錐P—ABC。的底面是矩形，底面4BC￡>,PD=AD=6AB.

AB

(1)試在棱3c上確定一點(diǎn)M,使得平面A4MJ_平面PHO,并說明理由.

（2）在第（1）間的條件下，求二面角M-F4-C的余弦值.

【答案】（1）答案見詳解;

37105

35

【解析】

【分析】（1）當(dāng)M為棱8c上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)時，根據(jù)三角形相似，可推出NABO+NM48=90°，

即AM_L8D，進(jìn)而證明A加工平面/W,從而得到面面垂直；

（2）以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量以及平面CR4的法向量，

再根據(jù)圖形判斷二面角為銳角，即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

當(dāng)M為棱BC上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)時，平面RUf,平面P8Z）

%=旦=氏

證明：若〃為棱BC上靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，AD=6AB，所以瓦7一14

—ADrl

又F=j3,NDAB=NABM=90'，所以ZMBs.ABM.

AB

所以NM4B=NBD4.

又NABr>+NBD4=90°，所以乙48。+/叔48=90°，所以

因為產(chǎn)。，底面ABC。，AMu平面ABCD,所以

因為BDu平面PDu平面PBD,BDPD=D,所以AM_Z平面P&X

又AWu平面所以平面平面P8Q.

【小問2詳解】

由（1）,連結(jié)AC,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以D4,OC,OP所在的直線為x,y,z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=1,則AD=百，A(百,0,0),尸((),(),6),C(0,l,0),M

\

uuuruuu

AM=1,0,AP=(一6,0,6),AC=(-V3,l,o).

丁'

7

n,-AM-0手+廠。

設(shè)平面MPA的法向量為=(%,y,zJ,則,即

?AP=0—>/3%1+=0

令%=3,則〃]=卜,6,3).

明?AC-0-=0

設(shè)平面CR4的法向量為%=(乙，％，Z2)，則,,即《

—+'J^Z]0

n2-AP^0

?。?1,則%=(i,G,i).

U111_____

3+3+33V105

則cos

721x75-35

顯然二面角M-E4-C為銳角，所以二面角M-曰一C的余弦值為竺叵.

35

入+1.

21.已知函數(shù)/(x)=xe'-a

(2)

⑴若戶一1是/(x)的極小值點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)若x20,/(x)>0,求a的取值范圍.

【答案】(1)?<-；

e

⑵

【解析】

【分析】⑴求導(dǎo)可得了'(x)=(x+l)(e'-a),然后分為aWO、a>0進(jìn)行分類討論，當(dāng)a〉0時，導(dǎo)函

數(shù)有兩個解，對兩個解的大小關(guān)系進(jìn)行討論，即可得到a的取值范圍；

(2)當(dāng)a?l時，可知/'(%)20恒成立，則單調(diào)遞增，只需“0)20即可，代入得到。的范圍.當(dāng)a>l

時，由(1)知，當(dāng)x=lna時，/(x)取得極小值，也即為最小值.根據(jù)題意，只需滿足/(x%,,=/(lna)20,

整理即可得到關(guān)于。的不等式，求解即可得到.

【小問1詳解】

由已知可得，/(x)定義域為R.

(x)=e*+xex-a(x+1)=(x+1乂e*-a).

①當(dāng)aWO,則e'_a>0恒成立，解/'(x)=0可得m—1，

解片x)>0,可得尤>一1；解r(x)<0,可得x<-l.

顯然m-1是/(x)的極小值點(diǎn)，滿足條件.

②當(dāng)a>0時:解/'(x)=()可得玉=-1,x2=lna.

(1)當(dāng)山4<—1,即0<a<：時，解制x)>0,可得x<lna或x>—1；

解/'(x)<0,可得lna<x<—1.此時m-1是/(x)的極小值點(diǎn)，滿足條件；

(ii)當(dāng)lna=—1,即“=!時，/'(x)"恒成立，無極值點(diǎn)；

e

(iii)當(dāng)lna>-l,即。>工時，解了<勾>0,可得x>lna或x<-l；

解/''(x)<0,可得-l<x<lna.此時％=-1是/(x)的極大值點(diǎn)，與己知不符.

綜上所述，a的取值范圍為

e

【小問2詳解】

由(1)知,r(x)=(x+D(e*-a),

因為尤20,所以e'>1，

①當(dāng)aKl時，可知/'(力20恒成立，則“X)單調(diào)遞增.

故xNO時，/(x)>/(0)=a>0,所以，OWaWl滿足條件.

②當(dāng)a>1時，可知0<x<lna時，f'(x)<0,〃x)單調(diào)遞減；x>lna時，附x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

所以，在區(qū)間［0,+。)上，當(dāng)x=Ina時，/(x)取得極小值，也即為最小值.

由于xNO,7(x)zo恒成立，

則=/(Ina)=ln<2-elna-?^ln2?+lna-l^>0,

即有alna—Irra+Ina-1j20,整理可得In2a<2>

因為a>l,lna>（）,所以有0<lna?&，解得

綜上所述，〃的取值范圍為［0,e近］.

【點(diǎn)睛】求解不等式在區(qū)間上恒成立問題，常常轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題：即借助導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單

調(diào)性，研究函數(shù)的極值、最值，列出關(guān)系式，即可求得參數(shù)的范圍.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題記分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

v—+1COSOL

.（f為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的

）y=Esina

8

正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕92=-----------,直線/與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),

5-3cos20

M（V3,0）.

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若=求直線/的斜率.

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）±^-

一2

【解析】

x=pcos0

【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)直角的轉(zhuǎn)化<y=psin。，運(yùn)算求解；（2）聯(lián)立直線/的參數(shù)方程和

222