4.6.1函數(shù)零點與方程的解(原卷版)

4.6.1函數(shù)零點與方程的解TOC\o"13"\h\z\u題型1求函數(shù)零點 3題型2判斷函數(shù)零點所在區(qū)間 6題型3判斷函數(shù)零點個數(shù) 7◆類型1直接法或方程法 8◆類型2零點存在性定理 8◆類型3圖像法 9◆類型4利用奇偶性對稱性判斷函數(shù)零點個數(shù) 9題型4根據(jù)零點求參數(shù)取值范圍 11◆類型1利用零點存在性定理 11◆類型2圖像法 11題型5零點和差積商問題 12題型6二次函數(shù)零點問題 14題型7復(fù)合函數(shù)零點問題 14知識點一.函數(shù)的零點一般地，如果函數(shù)在實數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個函數(shù)的零點.方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點．注意：①函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根．歸納：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．知識點二.二次函數(shù)的零點二次函數(shù)的零點個數(shù)，方程的實根個數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點兩個不相等的實根兩個零點兩個相等的實根一個二重零點無實根無零點知識點三.二次函數(shù)零點的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點時（不是二重零點），函數(shù)值變號.②相鄰兩個零點之間的所有的函數(shù)值保持同號.知識點四.函數(shù)的零點、方程的解、函數(shù)圖象與x軸的交點方程f(x)＝0的實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)．知識點五.函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．補充：1.平移變換2.對稱變換①y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于x軸對稱))y＝－f(x)的圖像；②y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于y軸對稱))y＝f(－x)的圖像；③y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于原點對稱))y＝－f(－x)的圖像；④y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像eq\o(→,\s\up10(關(guān)于直線y＝x對稱))y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖像．3.翻折變換①y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up11(x軸下方部分翻折到上方),\s\do4(x軸上方部分不變))y＝|f(x)|的圖像；②y＝f(x)的圖像eq\o(→,\s\up11(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do4(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖像題型1求函數(shù)零點【方法總結(jié)】判定函數(shù)fx（1）直接法：直接求解函數(shù)對應(yīng)方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果；（2）數(shù)形結(jié)合法：先令fx=0，將函數(shù)【例題1】（2021·高一課時練習(xí)）下列圖象對應(yīng)的函數(shù)中沒有零點的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)零點的定義結(jié)合函數(shù)圖象觀察即可.【詳解】函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)即函數(shù)的零點．故選:B．【變式11】1.（2018上·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的零點：（1）y=-x（2）y=x（3）y=1-log（4）y=x（5）f(x)=x【答案】（1）-5,4；（2）-2；（3）3；（4）-6；（5）0,1．【分析】(1)直接令y=0解方程即得函數(shù)的零點.(2)直接令y=0解方程即得函數(shù)的零點.(3)直接令y=0解方程即得函數(shù)的零點.(4)直接令y=0解方程即得函數(shù)的零點.(5)分x≤0和【詳解】（1）令y=0，即-x2-x+20=0，解得x1=-5,（2）y=x3+8=(x+2)(x2-2x+4)，令(x+2)(x（3）令1-log3x=0，解得x=3（4）y=x2+4x-12x-2=(x+6)(x-2)x-2．令(x+6)(x-2)（5）當(dāng)x≤0時，令x3=0，得x=0，符合題意；當(dāng)x>0時，令lnx=0，得x=1，符合題意，故所求函數(shù)f(x)=【點睛】（1）本題主要考查函數(shù)的零點，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)求函數(shù)的零點常用解方程的方法.【變式11】2.（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)f(x)=x2【答案】3【分析】根據(jù)零點的定義，求解方程的根即可.【詳解】由f1=1+a+3=0?a=-4，所以令f(x)=x故答案為：3【變式11】3.（2020·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax-b(a≠0)的零點為3，求函數(shù)【答案】0和－1【解析】根據(jù)f(x)＝ax－b(a≠0)的零點為3可得b＝3a.再代入函數(shù)g(x)＝bx2＋ax求解即可.【詳解】由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1).令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－13所以函數(shù)g(x)的零點為0和-1【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的計算,屬于基礎(chǔ)題.【變式11】4.（2023上·北京海淀·高一?？茧A段練習(xí)）若m，n是二次函數(shù)y=x2+3x-6A．3 B．9 C．21 D．33【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】由m，n是二次函數(shù)y=xΔ=9+24=33>0，所以m，n是x2所以m+n=-3,mn=-6，故m2故選：C題型2判斷函數(shù)零點所在區(qū)間【方法總結(jié)】零點存在定理：兩端點值異號【例題2】（2023上·廣東深圳·高一?？计谀┖瘮?shù)fxA．-1,0 B．0,1 C．1,2 D．3,4【變式21】1.（2023上·重慶·高一重慶市潼南中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）若m為函數(shù)fx=logA．12,1 B．(1,32【變式21】2.（2023上·安徽合肥·高一?？茧A段練習(xí)）若x0是方程lnx+x-3=0的實數(shù)解，則A．1,1.5 B．1.5,2C．2,2.5 D．2.5,3【變式21】3.（2019上·安徽銅陵·高一銅陵一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x+2A．1,32 B．32,2【變式21】4.（2021·高一課時練習(xí)）設(shè)x=(log1A．(-3B．(-2C．1,2D．(2【變式21】5.（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程exx10123e0.3712.727.4020.12x+323456A．-1,0 B．0,1C．1,2 D．2,3【變式21】6.（2020·高一課時練習(xí)）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可以判定方程exx-10123e0.3712.277.3920.09x12345A．(-1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)題型3判斷函數(shù)零點個數(shù)【方法總結(jié)】直接法即直接求零點，令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點定理法即利用零點存在性定理，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點圖象法即利用圖象交點的個數(shù)，畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；將函數(shù)f(x)拆成兩個函數(shù)h(x)和g(x)的差，根據(jù)f(x)＝0?h(x)＝g(x)，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)就是函數(shù)y＝h(x)和y＝g(x)的圖象的交點個數(shù)性質(zhì)法即利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù)◆類型1直接法或方程法【例題31】（2023上·北京·高一北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)fxA．0 B．1 C．2 D．3【變式31】1.（2023上·北京·高一北京十四中校考期中）函數(shù)fxA．0 B．1 C．2 D．3【變式31】2.（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)y=xA．0 B．1 C．2 D．3【變式31】3.（2023上·江蘇揚州·高一揚州市廣陵區(qū)紅橋高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fxA．1 B．2 C．3 D．4【變式31】4.（2023上·天津河?xùn)|·高一天津市第五十四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx◆類型2零點存在性定理【例題32】（2023上·陜西榆林·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fxA．1 B．2 C．3 D．4【變式32】1.（2023上·遼寧大連·高一大連八中?？计谥校┖瘮?shù)f(x)=|2A．1 B．2 C．3 D．4【變式32】2.（2022上·新疆阿克蘇·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx=6A．1 B．2 C．3 D．0【變式32】3.（2023上·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)桂華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx【變式32】4.（2023上·安徽亳州·高一蒙城縣第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x2+2x◆類型3圖像法【例題33】（2023·全國·高一課堂例題）函數(shù)fx【變式33】1.（2023上·北京海淀·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fxA．0 B．1 C．2 D．3【變式33】2.（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=52x【變式33】3.（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=5x-5(x≤1)x2A．1 B．2 C．3 D．4【變式33】4.（2023下·江蘇南通·高一金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx◆類型4利用奇偶性對稱性判斷函數(shù)零點個數(shù)【例題34】（2023下·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，fx單調(diào)遞增，且f(-2)=0，f1A．4 B．3 C．2 D．1【變式34】1.（2023上·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意x∈R，都有f(x)=f(2-x)，且當(dāng)x∈(0,1]時，f(x)=2x-1.若函數(shù)g(x)=f(x)-logaA．5<a<9 B．1<a<9C．a(chǎn)>9 D．1<a≤5【變式34】2.（2023上·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=2x+x-3【變式34】3.（2021·高一單元測試）定義在R的奇函數(shù)fx滿足fx+4=fx，且當(dāng)x∈0,2時，f【變式34】4.（2022下·北京·高一?？计谥校┮阎x在R上的函數(shù)fx是周期為3的奇函數(shù).當(dāng)x∈0,32時，fx【變式34】5.（多選）（2023上·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）若fx是定義在R上的奇函數(shù)，fx+2是偶函數(shù)，當(dāng)x∈0,2A．fx在-4,-2上單調(diào)遞減 B．C．fx在-4,4上恰有5個零點 D．f【變式34】6.（多選）（2022上·湖北黃岡·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，fA．x>0時，fx=-xC．fx在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增 D．不等式fx>0題型4根據(jù)零點求參數(shù)取值范圍◆類型1利用零點存在性定理【例題41】（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)=3kx+1在(-1,1)存在零點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A．-13C．13,+∞ D．【變式41】1.（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)=lnx-1x+a【變式41】2.（2021上·內(nèi)蒙古赤峰·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)fx=lnx-2A．2e-1,2 B．1e,1【變式41】3.（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)fx=log2x+A．-∞,-18C．(5,18) D．-18,-5【變式41】4.（2023上·江蘇南京·高一期末）已知fx=ex+4x-3A．-1 B．0 C．1 D．2【變式41】5.（2023上·四川·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=3x-◆類型2圖像法【例題42】（2024上·河南洛陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)fx=exA．-1,2 B．-1,1 C．0,1 D．-1,0【變式42】1.（2023上·甘肅白銀·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx=-x+2,x≥1x2A．0,1 B．-1,0,1 C．0,1 D．0,1【變式42】2.（2023上·河南駐馬店·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=-xx-4,x≥0【變式42】3.．（2023上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx=x【變式42】4.（2023上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)fx=2x+1,x≤0【變式42】5.（2017上·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)fx(1)畫出函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)的值域；(2)求使函數(shù)Fx題型5零點和差積商問題【例題5】（2024上·重慶·高一重慶市第二十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2xx2+1,x≥0-3A．22,+∞ B．22【變式51】1.（2023上·安徽阜陽·高一阜陽市第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)fx=log2x,x>0xA．2,+∞ B．C．2,+∞ D．【變式51】2.（2023上·河南開封·高一河南省杞縣高中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2x-1,x?1log3x-1,x>1，若函數(shù)y=fx-aa∈RA．0,3 B．22,3 C．2【變式51】3.（多選）（2023上·云南·高一云南師大附中?？计谀┮阎瘮?shù)fx=xA．實數(shù)a的取值范圍是-B．函數(shù)fxC．xD．x1+3【變式51】4.（多選）（2023上·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：fx=f2-x，且當(dāng)x≥A．fx的值域為B．fx在(-C．fx在RD．若方程|f(x)|=m有4個不同的解x1,x2,x題型6二次函數(shù)零點問題【例題6】（2023上·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2-ax+4A．8,10 B．8,10 C．4,5 D．4,5【變式61】1.（2024上·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在(0,2)【變式61】2.（2021上·高一課時練習(xí)）已知：f(x)=(x-a)(x-b)-2的零點α,β，那么a，b，α,β大小關(guān)系可能是（

）A．α<a<b<β B．a(chǎn)<α<β<bC．a(chǎn)<α<b<β D．α<a<β<b【變式61】3.（2020上·湖南常德·高一?？茧A段練習(xí)）已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b)，m，n是函數(shù)f(x)的兩個零點(m<n)，則實數(shù)m，n，a，b的大小關(guān)系為（

）A．m<a<b<n B．a(chǎn)<m<n<b C．a(chǎn)<m<b<n D．m<a<n<b【變式61】4.（2023上·廣東汕頭·高一汕頭市潮陽實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax(1)若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若