通信電子類課后習(xí)題答案

Mathematica

撤號實齡考制軟導(dǎo)

王為洪編

山東水利職業(yè)學(xué)院

2004.6

Mathematica數(shù)學(xué)實驗

計算機科學(xué)的發(fā)展，為我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)提供了一個科學(xué)的現(xiàn)代化的手段.把計算機

引入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，使用計算機進行數(shù)學(xué)運算，這種用計算機代替紙和筆以及部分腦力勞動

進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的手段稱為數(shù)學(xué)實驗.數(shù)學(xué)實驗為從事與數(shù)學(xué)研究有關(guān)的人們提供了實

驗手段和研究工具，有著非常重要的作用，代表著數(shù)學(xué)研究的方向，是未來科學(xué)研究中不可

缺少的方法.本書中，我們主要選擇高等數(shù)學(xué)中的一些基本問題作為實驗內(nèi)容，并采用數(shù)學(xué)

軟件Mathematica作為實驗平臺.

Mathematica是由美國的Wolfram公司開發(fā)的一個功能強大的計算機數(shù)學(xué)系統(tǒng)，以符號

演算見長，也具有高精度的數(shù)值計算功能和強大的繪圖功能.高等數(shù)學(xué)實驗的大部分計算和

繪圖作業(yè)都需要使用Mathematica輔助完成.本書介紹的命令可以適用于Windows操作系統(tǒng)

下的Mathematica4.0.

一、Mathematical。的操作

l.Mathematica4.0的進入與退出

如果你的計算機已經(jīng)安裝了Mathematica4.0,系統(tǒng)會在Windows“開始”菜單的“程序”

子菜單中加入啟動Mathematica4.0的菜單項物Mathematical,用鼠標單擊它就可以啟動

Mathematical。，進入Mathematica4.0的系統(tǒng)工作界面：

圖1Mathematica4.0系統(tǒng)工作界面

Mathematica4.0系統(tǒng)工作界面是Mathematica4.0與用戶的接口，是Mathematica4.0的工

作屏幕.界面上方的主菜單類似于Windows中的Word軟件.其中的空白位置稱為Notebook

用戶區(qū)，在這里可以輸入文本、實際的Mathematica4.0命令和程序等來達到使用

Mathematical。的目的.在用戶區(qū)輸入的內(nèi)容被Mathematica4.0用一個擴展名為".nb”的文

件來記錄，該文件名是退出Mathematica4.0時保存用戶區(qū)輸入內(nèi)容的默認文件名，一般是

"Untitled-Lnb”.

退出Mathematica4.0系統(tǒng)像關(guān)閉Word軟件一樣，只要用鼠標點擊Mathematica4.0系統(tǒng)

集成界面右上角的“關(guān)閉”按鈕即可.關(guān)閉前，屏幕會出現(xiàn)?個對話框，詢問是否保存用戶

區(qū)的內(nèi)容，如果單擊對話框的“Save”按鈕，則出現(xiàn)“另存為”對話框，在對話框中填上合

適的路徑及文件名后，單擊“保存”按鈕，用戶區(qū)中的內(nèi)容便以給定文件名存盤并退出

Mathematical。系統(tǒng)；如果單擊對話框的“Don'tSave”按鈕，則不保存用戶區(qū)的內(nèi)容，直

接退出Mathematica4.0系統(tǒng).

2.表達式的輸入和計算

向Notebook用戶區(qū)寫入文字和數(shù)學(xué)表達式的方式是用鍵盤直接輸入.

［例1］計算18!和66+88

解：在工作窗口中輸入18!

66+88

同時按下Shift鍵和回車鍵進行計算.

系統(tǒng)完成計算后，會輸出結(jié)果并自動在輸入行加入顯示標記在輸出行加入

顯示標記“Out[l]="、"Out[2]=".如:

In[l]:=18!

66+88

Out[l]=6402373705728000

Out[2]=154

二、常數(shù)、變量與函數(shù)

l.Mathematica4.0中的數(shù)據(jù)類型

整數(shù)型：可以表示任意長度的精確整數(shù).如：31558

有理數(shù)型：可以表示任意的既約分數(shù).如：2/3

實數(shù)型：可以表示任意精確度的近似實數(shù).如：E

復(fù)數(shù)型：可以表示復(fù)數(shù).如：2-31

2.系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)常數(shù)

系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)常數(shù)見表1.

表1系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)常數(shù)

符號功能

Pi圓周率n

E自然對數(shù)的底e

Degree度

Infinity無窮大8

-Infinity負無窮大-8

I虛數(shù)單位i

以上均為精確值，在近似計算時可用下式取任意精確度的近似值.

格式1：N[表達式]

功能：以系統(tǒng)默認的精確度輸出表達式的值.

格式2：N[表達式,n]

功能：以n位精確度輸出表達式的值.

[例2]取圓周率n的前20位有效數(shù)字.

解:鍵入：N[Pi,20]

運行后得：3.1415926535897932385

3.變量與函數(shù)的命名規(guī)則

①變量名與函數(shù)名不能以數(shù)字開頭，可以是任意長度的字符串或數(shù)字串，但其中不能有

空格及其它的運算符號.

②系統(tǒng)區(qū)分大小寫，在變量名中，字母大小寫的意義不同，一般規(guī)定系統(tǒng)變量名和系統(tǒng)

函數(shù)名以大寫字母開頭，復(fù)合詞的每個字頭都大寫.為與系統(tǒng)變量和系統(tǒng)函數(shù)相區(qū)別，自定

義的變量與函數(shù)名一般用小寫字母開頭.

③變量名與函數(shù)名一般采用完整的英語單詞.

4.變量賦值與變量替換

?個變量在參與表達式運算或輸出之前，必須先獲得確定的值，可通過變量賦值或變量

替換來實現(xiàn).變量賦值就是把一個值賦予變量，賦值號為“=”.變量替換是在計算表達式時

臨時用一個值替換變量，表達式求值完畢后變量保持原來的性態(tài)，替換形式為：“/.變量

舉例如表2.

表2變量賦值與變量替換實例

格式功能

x=6賦值（將數(shù)值6賦予變量x）

x=表達式賦值（將表達式的值賦予變量X）

x=.取消賦值

表達式/.x->6變量替換（計算時暫時用6替換表達式中的x）

Clear[x]清除X的定義及其賦值

5.四則運算

（1）四則運算符號（表3）

表3四則運算符號

運算符號對應(yīng)函數(shù)

加+Plus

減-Minus

乘*Times

除/Divide

乘方APower

（2）四則運算優(yōu)先級

①乘方〉乘、除〉加、減.

②同級運算從左到右.

③乘方運算從右到左.

④括號最優(yōu)先.

6.Mathematica4.0常用數(shù)學(xué)函數(shù)表（表4）

表4Mathematica4.0常用數(shù)學(xué)函數(shù)表

函數(shù)功能

Sqrt[x]X的算術(shù)平方根

Log[x]x的自然對數(shù)Inx

Log[b,x]以b為底x的對數(shù)logb*

Sin[x]x的正弦sinx

Cos[x]X的余弦COSX

Tan[x]x的正切tanx

Cot[x]X的余切cotx

Sec[x]x的正割secx

Csc[x]X的余割CSCX

ArcSin[x]x的反正弦arcsinx

ArcCos[x]x的反余弦arccosx

ArcTan[x]x的反正切arctanx

ArcCot[x]x的反余切arccotx

Abs[x]X的絕對值1x1

Exp[x]以e為底的指數(shù)函數(shù)e'

Sign[x]符號函數(shù)sgnx

Round[x]接近X的整數(shù)（四舍五入）

Max[xi,X2,X3，..]X],X2,X3…中的最大值

Min|xi,X2,X3.-]X],X2,X3…中的最小值

GCD[ni,n2,n3...]川,112,由…的最大公約數(shù)

LCM[ni,mm…]山,叱,由…的最小公倍數(shù)

n!n的階乘

n!!n的雙階乘

Mod[m,n]m被n整除的余數(shù)，余數(shù)與n的符相同

Quotient[m,n]m/n的整數(shù)部分

Random[]產(chǎn)生0~1之間的隨機數(shù)

Random[Real,x]產(chǎn)生0~x之間的隨機數(shù)

Random[Real,{XhX2}]產(chǎn)生X1~X2之間的隨機數(shù)

Floor[x]不大于X的最大整數(shù)

Ceiling[x]不小于X的最小整數(shù)

7.自定義函數(shù)

格式1：f[x」:=表達式

功能：定義一元函數(shù)f(x)

格式2：f[x_,y_]:=表達式

功能：定義二元函數(shù)f(x,y)

格式3：Clear[f]

功能：取消對f的定義

注意：

①函數(shù)定義中只能使用方括號,如:f[x_]；不能使用圓括號,如：f(x_).

②在定義函數(shù)中f[x」與f[x]意義不同，f[x」中X.稱為形式參數(shù)，當X.取?參數(shù)時，其

右端表達式中的X將會隨所取參數(shù)而變化.而f[x]的定義僅對對象X起作用，當X改變時，其

右端表達式中的X不會改變.

③自定義函數(shù)定義之后，程序執(zhí)行該語句時不產(chǎn)生任何實際操作，也不計算函數(shù)值，僅

僅表明該函數(shù)代表某一表達式.調(diào)用時，只需用實際參數(shù)(變量或數(shù)值)代替形式參數(shù)X.即可.

[例3]比較f[x_]與f[x]的用法:

鍵入：

f[x」:=3x+l(用形式參數(shù)X-定義函數(shù)f(x))

f[l](計算f(D)

fix](計算f(X?

f[yl(計算f(y))

f[Sin[y]](計算f(siny))

g[x]=3x+l(用變量x定義函數(shù)g(x))

g[l]+g[x]+g[y]

運行后分別得：

4

l+3x

l+3y

i+3Sin[y]

l+3x

l+3x+g[l]+g[y]

8.關(guān)系表達式與邏輯表達式(表5,表6)

表5關(guān)系表達式

關(guān)系表達式功能

x=yX等于y

x!=yx不等于y

x>yX大于y

x<yx小于y

x>=yx大于等于y

x<=yx小于等于y

x=y==zx,y,z都相等

x!=y!=zx,y,z都不相等

表6邏輯表達式

邏輯運算符功能邏輯表達式舉例

Not非Not[x==l]

And或&&與x!=0&&y<3或And[x!=0,y<3]

Or或II或x==0lly==0或Or[x=0,y=0]

9.定義分段函數(shù)

定義分段函數(shù)的方法有以下兩種：

(1)在函數(shù)定義表達式的后面加寫符號“/；”，指定自變量的范圍.

[例4]定義分段函數(shù)

,_fx+Vxx>0

)[x2x<0

并求x=4和x=-4時的值.

解：鍵入：

y[x」:=x+Sqrt[x]/;x>=0

y[x_|:=xA2/;x<0

y[4]

y[-4]

運行后得：

6

16

(2)使用函數(shù)Which或If將在分支結(jié)構(gòu)介紹.

三、表的使用方法

1.表的概念

表代表特定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu).它是將若干表達式用{}括起來，構(gòu)成的一個整體對象.表的數(shù)據(jù)

類型是List.表可以用來表示各種對象,如:數(shù)據(jù)表{1,5,9,3.6,3.14}、變量表{x,y,z,t,u,v}、3X

3矩陣{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}、解集{{x->2,y->3}}.

表的成員稱為元素，表中元素的個數(shù)稱為表的長度.若表中的元素還是表，稱其為子表，

子表的元素稱為第二層元素.類似地，可以定義第三層、第四層元素…

2.表的元素的表示(表7)

表7表的元素的表示

格式功能

t[Ln]]表t中的第n個元素

t[[-n||表t中的倒數(shù)第n個元素

First[t]表t中的第1個元素

Last[t]表t中的最后一個元素

t[[i,j]]表t中第i個子表的第j個元素

也,…}]]或由t中的第ngz,…等元素組成的新表

Part[t,{nI,*,…}]

3.表的構(gòu)造方法

(1)直接法

當表中的元素較少時，可采用直接向表中鍵入各個元素的方法建造表，格式為：

表名={元素1,元素2,…}

如:data={張,{1,2,3,4},5678}

(2)利用表的生成函數(shù)Table

當表中的元素較多時，可用表的生成函數(shù)Table來建造表.表的建造使用循環(huán)描述方式來

實現(xiàn)，循環(huán)描述的調(diào)用格式為：

格式：{k,ko,k1,d)

功能：k為循環(huán)變量，必為循環(huán)初值，K為循環(huán)終值，d為步長增量；循環(huán)初值、循環(huán)

終值、步長增量可以取整數(shù)、有理數(shù)或?qū)崝?shù)；當步長為1時可以省略，當循環(huán)初值為1時也

可以省略.例如:

{k,10}表示k的取值范圍是1到10的整數(shù)

{k,3,9}表示k的取值范圍是3,4,5,6,7,8,9

{k,8,6}表示k的取值范圍是空集

用表的生成函數(shù)建造表的格式為：

格式I：Table[通項公式f(n),{n,no,ni,d}]

功能：按照通項公式生成表中的元素，元素的個數(shù)由循環(huán)描述確定.

格式2：Table[f(m,n),{m,mo,mi,di},{n,no,ni,d2}]

功能：生成二重嵌套表.

[例5]構(gòu)造1到10的立方表，步長為2.

解：鍵入：

Table1nA3,{n,1,10,2}]

運行后得：

{1,27,125,343,729}

[例6]構(gòu)造30°到40。之間的余弦函數(shù)表，間隔取為1°.

解：鍵入：

Table[N[Cos[xDegree]],{x,30,40}]

運行后得：

{0.866025,0.857167,0.848048,

0.838671,0.829038,0.819152,0.809017,

0.798636,0.788011,0.777146,0.766044)

4.對表中元素的調(diào)整

在使用表的過程中，調(diào)整表中元素的系統(tǒng)函數(shù)見表8.

表8調(diào)整表中元素的系統(tǒng)函數(shù)

格式功能

Rest[表名]從給定的表中去掉第一個元素

Prepend[表名,a]將元素a加到該表的第一位

Append[表名,a]將元素a加到該表的末尾

Insert[表名,a,k]將元素a加到該表的第k位

ReplacePart[表名,a,k]用元素a替換該表的第k個元素

Take[表名,{m,n}]從給定的表中取出從m位到n位的元素

Drop[表名,{m,n}]從給定的表中去掉從m位到n位的元素

Apply[f,表名]將函數(shù)f作用到該表的每一位元素

[例7]生成1到10的整數(shù)表，取名a,從a中取出第3位到第9位的元素，計算它們的

和.

解：鍵入：

a=Table[n,{n,10}]

a39=Take[a,{3,9)]

Apply[Plus,a39]

運行后得：

{1,2,345,6,7,8,9,10}

{3,4,53,7,8,9}

42

四、程序設(shè)計

在進行較復(fù)雜的操作時，一般要把一系列Mathematica命令組合起來，稱為批命令或程

序.?個程序為了完成其既定的任務(wù)必須有效地控制其流程，下面主要介紹程序設(shè)計中的循

環(huán)結(jié)構(gòu)和分支結(jié)構(gòu).

L循環(huán)結(jié)構(gòu)

當反復(fù)進行同一類操作時可使用循環(huán)結(jié)構(gòu).這里主要介紹三種方式.

(1)函數(shù)Do

格式1：Do[循環(huán)體,[k,k0,k|,d|]

功能：重復(fù)執(zhí)行循環(huán)體，循環(huán)次數(shù)由循環(huán)變量k決定，循環(huán)變量k從k0變化到的，步

長為d.

格式2：Do[循環(huán)體,[k,ko,k

功能：二重循環(huán).

在使用循環(huán)結(jié)構(gòu)時，若要中斷循環(huán)，可使用“B代ak”命令進行中斷，跳出循環(huán)體.使用

格式為“Breaks”.

[例8]已知數(shù)列{a“}滿足a”=-------,《)=x,求a3.

解：鍵入：1+四，1

a=x;Do[a=l/(l+n*a),{n,L3}];

Print「匕3=",a]

運行后得：

1+x

注：若命令后面有分號“：”時不顯示該命令的執(zhí)行結(jié)果，繼續(xù)執(zhí)行下命令.

(2)函數(shù)While

格式：While[條件表達式涵環(huán)體|

功能：對條件表達式進行檢驗，若為真時則繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，否則終止循環(huán).其中循環(huán)

體可以是一條命令，也可以是若干條命令.

[例9]已知1加4=0,給定e=10"，求N,使當n>N時，[■<￡

解：鍵入：〃〃

n=1;While[l/nA2>=10A-4,n=n+1];

Print["n=",n]

運行后得：

n=101

(3)函數(shù)For

格式：For[k=k0,條件表達式,k++,循環(huán)體]

功能：對■條件表達式進行檢驗，若為真時則繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，否則終止循環(huán).k的初始

值為k0,k++表示循環(huán)控制變量k的值加1.

[例10]輸出不大于3的自然數(shù).

解:鍵入：

For[k=l,k<=3,k++,Print[k]]

運行后得：

1

2

3

2.分支結(jié)構(gòu)

在編程時，當需要根據(jù)判別條件來確定程序流向時，可使用分支結(jié)構(gòu).

(1)函數(shù)函

格式：If[條件表達式，命令1,命令2,命令3]

功能：首先對條件表達式進行檢驗，若值為真，則執(zhí)行命令1,若值為假，則執(zhí)行命令

2,若不能判斷，則執(zhí)行命令3.

[例11]定義分段函數(shù)

X1x<0

>，=Ux>05

解：健入：

y[x_]:=If[x<0,xA2,xA(l/2)]

y[-2]

y[4|

運行后得：

4

2

(2)函數(shù)Which

格式：Which[條件表達式1,命令1,條件表達式2,命令2,...]

功能：依次對條件表達式進行檢驗，當首次遇到條件表達式為真時，執(zhí)行相應(yīng)的命令.

[例12]使用Which定義分段函數(shù)

"x<0

y-<Vxx>2

x0<x<2

并求x=-l和x=15時的值.

解：鍵入：

y[x_]:=Which[x<0,xA2,x>2,Sqrt[x],x>=0&&x<=2,x]

y[-H

y[i5]

運行后得：

715

3.輸出

Mathematica命令的顯示結(jié)果是表達式的值，若想改變輸出形式，可用函數(shù)Print.該函數(shù)

具有計算功能，對于表達式，先計算然后輸出結(jié)果；對于字符串，原樣輸出.

格式:Print[表達式1,表達式2,…]

功能：依次輸出表達式1,表達式2,…

[例13]鍵入：

Print["2+6=",2+6]

運行后得：2+6=8

習(xí)題一

上機完成如下的實驗任務(wù):

1.定義分段函數(shù)

并求x=-2和x=2時的值.

2.定義分段函數(shù)

-(x+1)x<-i

y=<y/l-x2-1<x<1

0x>1

并求x=-2,x=0和x=4時的值.

3.生成1到9的整數(shù)表，取名a,并構(gòu)造a中元素的平方表.

4,定義分段函數(shù)

xz+ly

_____x____x>0,y>0

+2y+1

r+y+i

x>0,y<0

3sin(x+y)x<0,y<0

并求x=2,y=-3時的值.ioo

5.分別用D。函數(shù)、While函數(shù)和For函數(shù)求

6.編程求工〃!

實驗一一元函數(shù)作圖

實驗?zāi)康模菏箤W(xué)生掌握在Mathematica系統(tǒng)下繪制??元函數(shù)圖形的基本方法.

實驗內(nèi)容：Mathematica系統(tǒng)提供了多種繪制一元函數(shù)圖形的工具，具體如下：

1.顯函數(shù)作圖

格式：Plot[f[x],{x,a,b}]

功能：作一元函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖形，其中{x,a,b}表示x的變化范圍，即作圖

區(qū)間.

[例1]作出y=cotx在[-2n,2頁]上的圖形.

解：鍵入：

Plot[Cot[x],{x,-2Pi,2Pi}]

運行后得：

Plot函數(shù)還可以在同一坐標系中作出多個函數(shù)的圖像.

格式：P10t[{fi[x]吐[x],...},{XAb}]

功能:同時畫y="x),y=f2(x),…在區(qū)間[a,b]上的圖形.

[例2]同時畫出y=x?和y=6在區(qū)間。2]上的圖形.

解：鍵入：

Plot[{x^2,Sqrt[x]},{x,0,2}]

運行后得：

2.參數(shù)方程作圖

Plot函數(shù)只能繪制一元顯函數(shù)的圖形.Mathematica系統(tǒng)還提供了用于參數(shù)方程作圖的函

數(shù)ParametricPlot口，其調(diào)用格式為：

格式:ParametricPlot[{/?),g(f)}]

功能：作出由參數(shù)方程⑺所確定的函數(shù)在心,川上的圖形.

\y=g(t)

[例刃作橢圓！x=2cos’的圖形

y=sint

解：鍵入：

ParametricPlot[{2Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi}]

運行后得：

圖4

習(xí)題二

上機完成如下的實驗任務(wù):

作下列函數(shù)的圖形：

l.y=x3-5x2+3x+5

2.y=xsin4x

4Jx=2cos31

y=2sin31

5k=2(r-sinr)

[y-2(1-cosr)

實驗二一元函數(shù)極限的計算

實驗?zāi)康模菏箤W(xué)生掌握使用Mathematica軟件進行極限計算的基本方法.

實驗內(nèi)容：求極限命令的調(diào)用格式為：

格式1：Limit[f[x],x->x0]

功能：求極限lim/(x),其中由減號與大于號組成.

格式2：Limit[f[x],x->xo,Directions1]

功能：求左極限煙"(X)

格式3：Limit[f[x],x->xo?Direction->-1]

功能：求右極限hm/(x)

[例]計算下列極限

e'-1

(l)lim-——(2)lim2r

XT。Xxf0+

-Jx+2

(3)lim-----------------(4)lim(l+-)3H

一x-\M—>00〃

(5)lim(J產(chǎn)

(6)limex

解：鍵入：

Limit[(Exp|x]-l)/x,x->0]

Limit[2A(l/x),x->0,Direction->-1]

Limit[(Sqrt[x+2]-Sqrt[3])/(x-l),x->l]

Limit[(1+l/n)A(3n),n->Infinity]

Limit[((2x-l)/(2x+l))A(x+l),x->+Infinity]

Limit[Exp[l/x],x->0,Directions1]

運行后得：

I

co

1

23

a3

1

a

0

習(xí)題三

上機完成如下的實驗任務(wù):

計算下列極限:

c「X-cosX

2.lim-----------

18X

3.lim(-),anv

XTO+x

4.limlnxln(l-x)

x->r

5+1嚴

'?理(〃+2)/

tanx-sinx

6.lim------------

x—>0X

rsinx

7.lim——

x->0X

8.lim~~——;

6/—12x+1

實驗三導(dǎo)數(shù)的計算

實驗?zāi)康模菏箤W(xué)生掌握使用Mathematica軟件求導(dǎo)數(shù)的方法.

實驗內(nèi)容：

格式1：D[f[x],x]

功能:求y=f(x)對x的導(dǎo)數(shù).

格式2：D[f[x],{x,n}]

功能：求y=f(x)對x的n階導(dǎo)數(shù).

[例1]求y=xD的導(dǎo)數(shù)及5階導(dǎo)數(shù).

解：鍵入：

D[xAn,x]

D[x^n,{x,5)J

運行后得：

nx-|+"

(-4+n)(-3+n)(-2+n)(-l+n)nx-5+n

[例2]求y=sin2xcos3x在x=n處的導(dǎo)數(shù).

解法一：鍵入：

u=D[Sin[2x]Cos[3x],x]

u/.x->Pi

運行后得：

2Cos[2x]Cos[3x]-3Sin[2x]Sin[3x]

-2

或鍵入：

D[Sin[2x]Cos[3x],x]/.x->Pi

運行后得：

-2

求f(x)的導(dǎo)數(shù)也可以用f」x],求f(x)在X。處的導(dǎo)數(shù)也可以用flx。].同理，求二階導(dǎo)數(shù)

可用f‘'[x]和f”[xo],….(注意二階導(dǎo)數(shù)的符號''為連續(xù)輸入兩個單引號，而不能一次輸入一

個雙引號.)

解法二：鍵入：

f[x_]:=Sin[2x]Cos[3x]

f'[x]

f[Pi]

f”[x]

f”[Pi]

運行后得：

2Cos[2x]Cos[3x]-3Sin[2x]Sin[3x]

-2

-13Cos[3x]Sin[2x]-12Cos[2x]Sin[3x]

0

習(xí)題四

上機完成如下的實驗任務(wù)：

1.計算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=x2+xlnx

(2)arcsin—+yJ\-x2

2

⑶工產(chǎn)、

(4)y=ln3(x2)

(5)y=x2sin—

x

2.計算下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：

2

(l)y=excosx

(2)y=x2sin2x

(3)y=xcosx

實驗四導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

實驗?zāi)康模菏箤W(xué)生掌握使用Mathematica軟件求一元函數(shù)極值和拐點的方法.

實驗內(nèi)容：

[例]求f(x)=x3-3x2-9x+5的極值、拐點.

解：鍵入：

f!x_]:=xA3-3xA2-9x+5

m=Solve[f,[x]==0,x];

xl=x/.m[[l]];

x2=x/.m[[2]];

pl=fM[xl];

p2=f”[x2];

Which[pl=0,Print[shixiao],pl>0,Print[<*xl=?,,x1,4t,jixiaozhi

",jidazhi

Which[p2==0,Print[shixiao],p2>0,Print[^x2=\x2,4t,jixiaozhi

f]x2]=,,,fIx2]],p2<0,Print[44x2=,\x2,4\jidazhif[x2]=,,,f[x2]]]

ml=Solve[f,,[x]==0,x];

x3=x/.ml[[1]];

q=f,,[x3-0.1]*f,>[x3+0.1];

Which[q<0,Print[4iguaidianC,x3,V,f[x3],4y],q>O,Print[wuguaidian]]

運行后得：

xl=-l,jidazhif[xl]=10

x2=3,jixiaozhiffx2]=-22

guaidian(l,-6)

習(xí)題五

上機完成如下的實驗任務(wù)：

求下列函數(shù)的極值、拐點：

l.y=x-x-x+1

2.y=x3-5x2+3x+5

3.y=2x3+3x2-12x+14

4.y=x3-6x2+9x-5

實驗五一元函數(shù)積分的計算

實驗?zāi)康模菏箤W(xué)生掌握使用Mathematica軟件求一元函數(shù)積分的方法.

實驗內(nèi)容：

1.不定積分的計算

格式:Integrate[f[x],x]

功能：計算不定積分

[例1]計算:

(1)卜(sinx)2dx

解：鍵入：

Integrate[x*Sin[x]A2,x]

運行后得：

484

⑵售吧1x

J(l+x)7x

解：鍵入：

Integrate[ArcTan[Sqrt[x]]/((1+x)*Sqrt[x]),x]

運行后得：

ArcTad

(3)/sinxdx

解：鍵入：

Integrate[Exp[x]*Sin[x],x]

運行后得：

22

(4)J/'(x)/"(xWx

解：鍵入：

Integrate[f*[x]f[x],x]

運行后得：

2

2.定積分的計算

格式：Integrate[f[x],{x,ab}]

功能：計算定積分f/(x)dx

[例2]計算下列定積分：

(1)J飛4-x?dx

解：鍵入：

Integrate[Sqrt[4-xA2],{x,0,2}]

運行后得：

P

冗

(2)fe2xsinxdx

解：鍵入：

Integrate[Exp[2x]Sin[x],{x,0,Pi/2}]

運行后得：

p

——1+-2--a--

55

3.廣義積分的計算

[例引計算下列廣義積分

⑴[cosxdx

解：鍵入：

lntegrate[Cos[x|,{x,-Infinity,0}]

運行后得：

Integrate::idiv:IntegralofCosnotconvergeonWo.

T

上面的提示意思是：積分發(fā)散.

解：鍵入：

Integrate[l/xA4,{x,lJnfinity}]

運行后得：

工

解：鍵入：

Integrate[l/Sqrt[l-xA2],{x,O,l}]

運行后得：

P

~2

dx

(1-x)3

解：鍵入:

Integrate!l/(l-x)A3,{x,0,2}|

運行后得：

Integrate::idivIntegralofesnotconvergeon

MIL.

上面的提示意思是：積分發(fā)散.

習(xí)題六

上機完成如下的實驗任務(wù)：

計算下列積分：

1.f--------------,dx

」(arcsinx)2V1-%2

2.廠cos—dx

J2

3.[xarctanxdx

5.e-^dx

6.f,dx

J

7.1Vx(l+4x)dx

(?1+Inx,

8.----------dx

4x

9.[Ix-1Idx

10.f11-xIJ(x-4)2dr

實驗六解常微分方程

實驗?zāi)康模菏箤W(xué)生掌握使用Mathematica軟件解常微分方程的基本方法.

實驗內(nèi)容：

1.常微分方程的通解

格式1：DSolve[微分方程,y[x],x]

功能：求微分方程的通解(符號形式).

格式2：DSolve[微分方程,y,x|

功能：求微分方程的通解(純函數(shù)形式).

[例1]求y”_6y+9y=e3*的通解.

解：鍵入：

DSoIve[y"[x]-6y>[x]+9y[x]==EA(3x),y,x]

運行后得：

或鍵入：

DSolve[y”[x]-6y'[x]+9y[x]=EA(3x),y[x],x]

運行后得：

皿K的2

其中C[l],C[2]是兩個待定常數(shù).

2.使用初始條件求微分方程的特解

格式1：DSolve[｛微分方程，初始條件｝,y[x],x]

功能：求微分方程滿足初始條件的特解.

格式2：DSolve[｛微分方程，初始條件｝,y,x|

功能：求微分方程滿足初始條件的特解.

[例2]求微分方程爐=4)，滿足初始條件y(0)=l,y'(0)=2的特解.

解：犍入：

DSolve[｛y"[x]==4*y[x],y[0]=1,y'⑼==2｝,y[x],x]

運行后得：

習(xí)題七

上機完成如下的實驗任務(wù)：

1.求微分方程y'+y+xy2=0的通解.

2.求微分方程y+3y=8的通解及滿足初始條件y(0)=2的特解.

3.求微分方程y'—ytanx-secx的通解及滿足初始條件y(0)句的特解.

4.求微分方程y'_4y+3=0的通解及滿足初始條件y(0)=6,y(0)=10的特解.

5.求微分方程/'-/=x的通解及滿足初始條件y(0)=0,y'(0)=1的特解.

實驗七級數(shù)運算

實驗?zāi)康模菏箤W(xué)生掌握使用Mathematica軟件進行某級數(shù)展開及基級數(shù)求和的方法.

實驗內(nèi)容：Mathematica軟件能對幕級數(shù)進行加、減、乘、除、乘方、微分、積分等多種運

算.下面著重介紹函數(shù)的幕級數(shù)展開及募級數(shù)求和.

1.函數(shù)展開為幕級數(shù)

格式：Series[f[x],{x,x(),n}J

功能：在點x=xo處將函數(shù)y=f(x)展開成n階的塞級數(shù).

[例1]將下列函數(shù)在指定點按指定階數(shù)展開成幕級數(shù).

(l)sinx,xo=O,n=5

⑵ln(x+l),xo=O,n=8

解：鍵入：

Series[Sin[x],{x,0,5}]

Series[Log[x+1],{x,0,8}]

運行后得：

x3x5+。灶

X———+-------

6120

X2X3X4X5X6X7X8Uf

X-——+——-——+——-—+——-—+O

2345678

[例2]將函數(shù)y=—!—在x=l處展開成x-1的三次塞.

解：鍵入：x+5

Series[l/(x+5),{x,l,3}]

運行后得：

1X-1+1

36-2161296

2.幕級數(shù)求和

格式:Sum[un,{n,k,m)]

功能：求級數(shù)的和X”.

n=k

[例3]求塞級數(shù)Z—W的和函數(shù).

〃=i〃x2

解：鍵入：

Sum[xAn/(n*2An),{nJinfinity}]

運行后得：

-Log」-，、J

00

[例4]求級數(shù)的和函數(shù)?

解：鍵入："=1

Sum[n*xAn,{nJ,Infinity}]

運行后得：

習(xí)題八

上機完成如下的實驗任務(wù)：

將下列函數(shù)在指定點按指定階數(shù)展開成幕級數(shù):

l.y=—!—在x=l處展開成3階的募級數(shù).

x—5

71

2.y=cosx在x=一處展開成5階的曷級數(shù).

4

3.求毒級數(shù)￡(〃+13"的和函數(shù).

n=0

4.求幕級數(shù)＜四Zl%2"-2的和函數(shù)

〃二1乙

實驗八多元函數(shù)作圖

實驗?zāi)康模菏箤W(xué)生掌握在Mathematica系統(tǒng)下繪制多元函數(shù)圖形的基本方法.

實驗內(nèi)容：Mathematica系統(tǒng)提供了多種繪制多元函數(shù)圖形的工具，具體如下：

1.空間曲面的顯函數(shù)作圖

格式：Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]

功能：作出二元顯函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域[a,b]X[c,d]上的圖形，其中{x,a,b},{y,c,d}表示x

和y的變化范圍，即xOy平面的矩形區(qū)域.

[例1]作z=x?+y3的圖形.

解:鍵入:

Plot3D[xA2+yA3,{x,-5,5},{y,-5,5}]

運行后得：

圖5

2.空間曲面及空間曲線的參數(shù)方程作圖

(1)作一個雙參數(shù)方程所表示的圖形

格式：ParametricPlot3D[(f[u,v],g[u,v],h[u,v]},{u,Uo,U|},{v,Vo,V,}]

x=/(M,v)

功能：作出由參數(shù)方程.y=g(u,v)所確定的曲面?其中[u,uo,uj,{v,v(),vi}表示u和v

的取值范圍.

Z=h(u,v)

[例2]作z=x2繞z軸的旋轉(zhuǎn)面圖形.

解：鍵入：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],rA2},{r,0,2},{t,0,2Pi}]

運行后得：

2

2

圖6

(2)作單參數(shù)方程所表示的空間曲線

格式：ParametricPlot3D[{f[t],g[t],h[t]},{t,to,t!}]

x=f(t)

功能：作參數(shù)方程b，=g(f)所確定的空間曲線在區(qū)間色上]上的圖形.

x=2cos/

[例引作螺旋線]>=2sinf的圖形.

z=Q.2t

解：鍵入：

ParametricPlot3D[{2Cos[t],2Sin[t],0.2t),{t,0,4Pi}]

運行后得：

3.Show函數(shù)

在繪圖過程中，有時要把繪過的圖形重新調(diào)出，或?qū)σ牙L圖形作修改，或把繪過的幾幅

圖形組合在一起，這時可使用Show函數(shù).Show函數(shù)的使用格式為：

格式1：Show[圖形的名稱]

功能：再現(xiàn)一個已作好的圖形.

格式2：Show[圖形1,圖形2,…]

功能：再現(xiàn)一組已作好的圖形(圖形1,圖形2,…).

[例4J分別作出柱面x2+y2=l和拋物面z=2-x?-y2的圖形，并使用Show函數(shù)將兩張曲面

拼合在一起.

解：鍵入：

g1=ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],z},{t,0,2Pi},{z,0,2}]

AA

g2=Plot3D[2-x2-y2,{x,-l,l},{y,-l,l)|

Show(gl,g2]

運行后得：

1

圖8

習(xí)題九

上機完成如下的實驗任務(wù):

1.作下列函數(shù)的圖形

22

⑵Z二_2_

86

x=rsinr

(3)(y=rcost

z=t

x=3rsin/

(4)<y=2rcost

z=4/

2.使用Show函數(shù)將下列兩曲面拼合在一起.

22_____

(Dz=±+匕與Z=4-+),2

22V

(2)z=x2+y2與z=6-x2-y2

實驗九偏導(dǎo)數(shù)及全微分

實驗?zāi)康模菏箤W(xué)生掌握利用Mathematica軟件進行多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分的計算.

實驗內(nèi)容：

1.偏導(dǎo)數(shù)

格式1：D[f,x]

功能：計算函數(shù)f關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù).

格式2：D[f,xi,x2,...]

功能：計算函數(shù)f關(guān)于X|,X*…的高階混合偏導(dǎo)數(shù).

格式3：D[f,{Xi,n}]

功能：計算函數(shù)f關(guān)于Xi的n階偏導(dǎo)數(shù).

[例11計算下列偏導(dǎo)數(shù)

(l)u=exy\求u對z的偏導(dǎo)數(shù).

(2)z=x3y+y3,求z對x,y的二階混合偏導(dǎo)數(shù).

(3)z=x2+y2,求z對x的二階偏導(dǎo)數(shù).

(4)f(x,y)=x2y+y2,求f1(l,2).

(5)f(x,y)=x2y+xy2,求f”xy(l,2).

解：鍵入：

D[Exp[x*y*z],z]

D[xA3*y4-yA3,x,y]

D[xA2+yA2,{x,2}]

D[xA2*y+yA2,y]/.{x->l,y->2}

D[x八2*y+x*yA2,x,y]/.{x->1,y->2}

運行后得：

exyzxy

3x2

2

5

6

2.全微分

格式：Dt[f[x,y]]

功能：求f的全微分.

[例2]設(shè)z=arcsin(x+y),求z的全微分.

解：鍵入：

Dt[ArcSin[x+y]]

運行后得：

習(xí)題十

上機完成如下的實驗任務(wù)：

ydzd2Zd2Z

1.設(shè)z=arctan士，求二，二萬，二^7

xSxdydxdy

2.設(shè)z=cos&77,求—

dxdydx